Интеграл Петтиса

В математике , то интеграл Pettis или Гельфанда-Pettis интеграл , названный в честь Израиля М. Гельфанда и Билли Джеймс Петтиса , расширяет определение интеграла Лебега к вектор-функций на пространстве с мерой , за счет использования двойственности . Интеграл был введен Гельфандом для случая, когда пространство меры является интервалом с мерой Лебега . Интеграл также называется слабым интегралом в отличие от интеграла Бохнера , который является сильным интегралом.

Определение [ править ]

Пусть где - пространство с мерой и является топологическим векторным пространством (TVS) с непрерывным двойственным пространством, которое разделяет точки (т. Е. Если не равно нулю, то существует такое, что ), например, является нормированным пространством или (в более общем случае) является локально хаусдорфовым пространством. выпуклые ТВС. Оценка функционала может быть записана как пара двойственности : ${\ displaystyle f: от X \ до V}$${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle V ^ {\ prime}}$${\ displaystyle x \ in V}$${\ Displaystyle л \ в V ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle л (х) \ neq 0}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ langle \ varphi, х \ rangle = \ varphi [x]}$.

Отображение называется слабо измеримым, если для всех скалярнозначное отображение является измеримым отображением . Слабо измеримое отображение называется слабо интегрируем на , если существует какие - то такое , что для всех скалярного многозначного отображения является Лебегу (то есть ) и ${\ displaystyle f: от X \ до V}$${\displaystyle \varphi \in V^{\prime },}$${\displaystyle \varphi \circ f}$${\displaystyle f:X\to V}$${\displaystyle X}$${\displaystyle e\in V}$${\displaystyle \varphi \in V^{\prime },}$${\displaystyle \varphi \circ f}$${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$

${\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\operatorname {d} \mu (x).}$

Отображение называется интегрируемым по Петтису, если для всех, а также для каждого существует такой вектор , что для всех${\displaystyle f:X\to V}$${\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}$${\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}$${\displaystyle A\in \Sigma }$${\displaystyle e_{A}\in V}$${\displaystyle \varphi \in V^{\prime },}$

${\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\operatorname {d} \mu (x).}$

В этом случае мы называем интеграл Петтиса от на общих обозначениях для интеграла Петтиса включают ${\displaystyle e_{A}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle e_{A}}$

${\displaystyle \int _{A}f\operatorname {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\operatorname {d} \mu (x),\quad {\text{and, in case that A=X is understood,}}\quad \mu [f].}$

Чтобы понять мотивацию определения «слабо интегрируемого», рассмотрим особый случай, когда - лежащее в основе скалярное поле; то есть, где или В этом случае каждый линейный функционал на имеет форму для некоторого скаляра (то есть является просто скалярным умножением на константу), условие ${\displaystyle V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} }$${\displaystyle V=\mathbb {C} .}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi (y)=sy}$${\displaystyle s\in V}$${\displaystyle \varphi }$

" для всех "${\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\operatorname {d} \mu (x)}$${\displaystyle \varphi \in V^{\prime },}$

упрощается до

" для всех скаляров "${\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\operatorname {d} \mu (x)}$${\displaystyle s.}$

В частности, в этом частном случае он слабо интегрируется на тогда и только тогда, когда интегрируем по Лебегу.${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

Свойства [ править ]

• Непосредственным следствием определения является то, что интегралы Петтиса совместимы с непрерывными линейными операторами: если является линейным и непрерывным и интегрируемым по Петтису, то интегрируем ли он также и по Петтису и:${\displaystyle \Phi :V_{1}\to V_{2}}$${\displaystyle f:X\to V_{1}}$${\displaystyle \Phi \circ f}$

${\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}$

• Стандартная смета

${\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leqslant \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)}$

для действительных и комплекснозначных функций обобщается на интегралы Петтиса в следующем смысле: для всех непрерывных полунорм и всех интегрируемых по Петтису${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:X\to V,}$

${\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leqslant {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}$

держит. Правая часть - это нижний интеграл Лебега от -значной функции, т. Е.${\displaystyle [0,\infty ]}$

${\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \right|h:X\to [0,\infty ]{\text{ is measurable and }}0\leqslant h\leqslant g\right\}.}$

Необходим нижний интеграл Лебега, потому что подынтегральное выражение может быть неизмеримым. Это следует из теоремы Хана-Банаха, потому что для каждого вектора должен существовать непрерывный функционал, такой что и для всех . Применение этого к нему дает результат.${\displaystyle p\circ f}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \varphi \in V^{\ast }}$${\displaystyle \varphi (v)=p(v)}$${\displaystyle w\in V,}$ ${\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)}$${\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }$

Теорема о среднем значении [ править ]

Важным свойством является то, что интеграл Петтиса относительно конечной меры содержится в замыкании выпуклой оболочки значений, масштабируемых мерой области интегрирования:

${\displaystyle \mu (A)<\infty \implies \int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {co(f(A))}}}$

Это следствие теоремы Хана-Банаха и обобщает теорему о среднем значении для интегралов вещественнозначных функций : если тогда замкнутые выпуклые множества являются просто интервалами и для неравенств ${\displaystyle V=\mathbb {R} ,}$${\displaystyle f:X\to [a,b],}$

${\displaystyle \mu (A)a\leqslant \int _{A}f\,d\mu \leqslant \mu (A)b}$

держать.

Существование [ править ]

• Если конечномерно, то интегрируемо по Петтису тогда и только тогда, когда каждая из координат интегрируема по Лебегу.${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

• Если является интегрируемым по Петтису и является измеримым подмножеством , то по определению и также интегрируемы по Петтису и${\displaystyle f}$${\displaystyle A\in \Sigma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{|A}:A\to V}$${\displaystyle f\cdot 1_{A}:X\to V}$

${\displaystyle \int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}$

• Если топологическое пространство, его Борель - алгебра , мера Борель , которая присваивает конечные значения на компакты, являются квазиполным (т.е. каждой ограниченной сетью Коши сходится) и если непрерывно с компактным носителем, то Петтис интегрируемым.${\displaystyle X}$${\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

• В более общем смысле: If является слабо измеримым и существует компактное, выпуклое и нулевое множество, такое что , то интегрируемо по Петтису.${\displaystyle f}$${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C}$${\displaystyle f}$

Закон больших чисел для интегрируемых по Петтису случайных величин [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством, и позвольте быть топологическим векторным пространством с двойственным пространством, которое разделяет точки. Пусть будет последовательностью интегрируемых по Петтису случайных величин, и запишем интеграл Петтиса от (по ). Обратите внимание, что это (неслучайный) вектор в , а не скалярное значение.${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v_{n}\colon \Omega \to V}$${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$${\displaystyle v_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}$${\displaystyle V}$

Позволять

${\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}}$

обозначают выборочное среднее. По линейности интегрируемо по Петтису и ${\displaystyle {\bar {v}}_{N}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}$

Предположим, что частичные суммы

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]}$

абсолютно сходятся в топологии в том смысле, что все перестановки суммы сходятся к одному вектору . Слабый закон больших чисел подразумевает это для каждого функционала . Следовательно, в слабой топологии на .${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda \in V}$${\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}$${\displaystyle \varphi \in V^{*}}$${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }$${\displaystyle X}$

Без дальнейших предположений возможно, что не сходится к . ^{[ необходима цитата ]} Чтобы добиться сильной конвергенции, необходимо больше предположений. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}$${\displaystyle \lambda }$

См. Также [ править ]

• Векторная мера
• Слабо измеримая функция

Ссылки [ править ]

• Джеймс К. Брукс, Представления слабых и сильных интегралов в банаховых пространствах , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки 63, 1969, 266–270. Полный текст MR 0274697
• Исраэль М. Гельфанд , Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires , Commun. Inst. Sci. Математика. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Математика. Харьков, И.В. Сер. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202 
• Мишель Талагран , Интегральная теория Петтиса и теория меры , Мемуары AMS, No. 307 (1984) Руководство по ремонту 0756174
• Соболев, В.И. (2001) [1994], "Интеграл Петтиса" , Энциклопедия математики , EMS Press