Постоянная Джелфонд-Шнайдер или Гильберт число [1] это два к мощности на квадратный корень из двух :
- 2 √ 2 = 2,665 144 142 690 225 188 650 297 249 8731 ...
который оказался трансцендентное число от Родион Кузьмин в 1930 году [2] В 1934 году Александр Джелфонд и Теодор Шнайдер независимо друг от друга доказали более общую теорему Джелфонд-Schneider , [3] , который решил часть седьмой проблемы Гильберта описано ниже.
Характеристики
Квадратный корень из постоянной Gelfond-Шнайдер является трансцендентным числом
- 1,632 526 919 438 152 844 77 ....
Эту же константу можно использовать для доказательства того, что «иррациональное, возведенное в иррациональную силу, может быть рациональным», даже без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство проводится следующим образом: либо рационально, что доказывает теорему, или иррационально (как оказалось), и тогда
является иррациональным для иррациональной силы, которая является рациональной, что доказывает теорему. [4] [5] Доказательство неконструктивно , так как не говорит, какой из двух случаев верен, но оно намного проще, чем доказательство Кузьмина .
Седьмая проблема Гильберта
Часть седьмой из двадцати трех проблем Гильберта, поставленных в 1900 году, заключалась в том, чтобы доказать или найти контрпример к утверждению, что a b всегда трансцендентно для алгебраического a ≠ 0, 1 и иррационального алгебраического b . В своем обращении он привел два явных примера, один из которых - постоянная Гельфонда – Шнайдера 2 √ 2 .
В 1919 году он прочитал лекцию по теории чисел и высказал три гипотезы: гипотезу Римана , Великую теорему Ферма и трансцендентность 2 √ 2 . Он упомянул аудитории, что не ожидал, что кто-то в зале проживет достаточно долго, чтобы увидеть доказательство этого окончательного результата. [6] Но доказательство трансцендентности этого числа было опубликовано Кузьминым в 1930 году, [2] еще при жизни самого Гильберта . А именно, Кузьмин доказал случай, когда показатель b является действительным квадратичным иррациональным , который позже был расширен на произвольный алгебраический иррациональный b Гельфондом и Шнайдером.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Курант, Р .; Роббинс, Х. (1996), Что такое математика ?: Элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, стр. 107
- ^ а б Р.О. Кузьмин (1930). «О новом классе трансцендентных чисел» . Известия Академии Наук СССР, сер. матем . 7 : 585–597.
- ^ Александр Гельфонд (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert" . Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Класс математических наук и др . VII (4): 623–634.
- ^ Джарден, Д. (1953), «Куриоза: простое доказательство того, что степень иррационального числа в иррациональной экспоненте может быть рациональной», Scripta Mathematica , 19 : 229.
- ^ Джонс, JP; Toporowski, S. (1973), "иррациональные числа", American Mathematical Monthly , 80 : 423-424, DOI : 10,2307 / 2319091 , MR 0314775,
- ↑ Дэвид Гильберт, Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 .
дальнейшее чтение
- Рибенбойм, Пауло (2000). Мои числа, мои друзья: Популярные лекции по теории чисел . Universitext. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98911-0. Zbl 0947.11001 .
- Тийдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда – Бейкера и его приложениях». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . XXVIII.1. Американское математическое общество . С. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. Zbl 0341.10026 .