Обобщенное распределение Парето

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Обобщенное распределение Парето»  -  новости  · газеты  · книги  · научный сотрудник  · JSTOR ( март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Обобщенное распределение Парето

Функция плотности вероятности Функции распределения GPD для различных значений и${\ displaystyle \ mu = 0}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ xi}$
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ Displaystyle \ му \ в (- \ infty, \ infty) \,}$ местоположение ( реальный ) масштаб (реальный) ${\ Displaystyle \ сигма \ в (0, \ infty) \,}$ ${\ Displaystyle \ хи \ в (- \ infty, \ infty) \,}$ форма (реальная)
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ geqslant \ му \, \; (\ xi \ geqslant 0)}$ ${\ Displaystyle \ му \ leqslant x \ leqslant \ mu - \ sigma / \ xi \, \; (\ xi <0)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sigma}} (1+ \ xi z) ^ {- (1 / \ xi +1)}}$ куда ${\ Displaystyle Z = {\ гидроразрыва {x- \ mu} {\ sigma}}}$
CDF	${\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)}$
Медиана	${\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}}$
Режим
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)}$
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2(1+\xi ){\sqrt {1-2\xi }}}{(1-3\xi )}}\,\;(\xi <1/3)}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {3(1-2\xi )(2\xi ^{2}+\xi +3)}{(1-3\xi )(1-4\xi )}}-3\,\;(\xi <1/4)}$
Энтропия	${\displaystyle \log(\sigma )+\xi +1}$
MGF	${\displaystyle e^{\theta \mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(\theta \sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
CF	${\displaystyle e^{it\mu }\,\sum _{j=0}^{\infty }\left[{\frac {(it\sigma )^{j}}{\prod _{k=0}^{j}(1-k\xi )}}\right],\;(k\xi <1)}$
Метод моментов	${\displaystyle \xi ={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {(E[X]-\mu )^{2}}{V[X]}}\right)}$ ${\displaystyle \sigma =(E[X]-\mu )(1-\xi )}$

В статистике , то обобщенное распределение Парето (GPD) представляет собой семейство непрерывных вероятностных распределений . Его часто используют для моделирования хвостов другого распределения. Он определяется тремя параметрами: положением , масштабом и формой . ^{[1] [2]} Иногда это определяется только масштабом и формой ^[3], а иногда только параметром формы. В некоторых ссылках параметр формы указывается как . ^[4]${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \kappa =-\xi \,}$

Определение [ править ]

Стандартная кумулятивная функция распределения (cdf) GPD определяется ^[5]

${\displaystyle F_{\xi }(z)={\begin{cases}1-\left(1+\xi z\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

где поддержка для и для . Соответствующая функция плотности вероятности (PDF) есть${\displaystyle z\geq 0}$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle 0\leq z\leq -1/\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

${\displaystyle f_{\xi }(z)={\begin{cases}(1+\xi z)^{-{\frac {\xi +1}{\xi }}}&{\text{for }}\xi \neq 0,\\e^{-z}&{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

Характеристика [ править ]

Связанное семейство распределений в масштабе местоположения получается заменой аргумента z на и соответствующей корректировкой опоры.${\displaystyle {\frac {x-\mu }{\sigma }}}$

Интегральная функция распределения из ( , и ) является${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{for }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

где поддержка - когда и когда .${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geqslant \mu }$${\displaystyle \xi \geqslant 0\,}$${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

Функция плотности вероятности (PDF) равна${\displaystyle X\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi )}$

${\displaystyle f_{(\mu ,\sigma ,\xi )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}}$,

опять же, когда и когда .${\displaystyle x\geqslant \mu }$${\displaystyle \xi \geqslant 0}$${\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi }$${\displaystyle \xi <0}$

PDF-файл является решением следующего дифференциального уравнения : ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f'(x)(-\mu \xi +\sigma +\xi x)+(\xi +1)f(x)=0,\\f(0)={\frac {\left(1-{\frac {\mu \xi }{\sigma }}\right)^{-{\frac {1}{\xi }}-1}}{\sigma }}\end{array}}\right\}}$

Особые случаи [ править ]

• Если форма и расположение равны нулю, GPD эквивалентно экспоненциальному распределению .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mu }$
• По форме и расположению GPD эквивалентен распределению Парето с масштабом и формой .${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle \mu =\sigma /\xi }$${\displaystyle x_{m}=\sigma /\xi }$${\displaystyle \alpha =1/\xi }$
• Если , , , то [1] . (exGPD означает экспоненциальное обобщенное распределение Парето .)${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle Y=\log(X)\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$
• GPD аналогичен распределению Burr .

Генерация обобщенных случайных величин Парето [ править ]

Генерация случайных величин GPD [ править ]

Если U будет равномерно распределена на (0, 1], то

${\displaystyle X=\mu +{\frac {\sigma (U^{-\xi }-1)}{\xi }}\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi \neq 0)}$

и

${\displaystyle X=\mu -\sigma \ln(U)\sim GPD(\mu ,\sigma ,\xi =0).}$

Обе формулы получены путем обращения cdf.

В Matlab Statistics Toolbox вы можете легко использовать команду «gprnd» для генерации обобщенных случайных чисел Парето.

GPD как смесь экспоненциально-гамма [ править ]

Случайная величина GPD также может быть выражена как экспоненциальная случайная величина с параметром распределенной скорости гамма.

${\displaystyle X|\Lambda \sim Exp(\Lambda )}$

и

${\displaystyle \Lambda \sim Gamma(\alpha ,\beta )}$

тогда

${\displaystyle X\sim GPD(\xi =1/\alpha ,\ \sigma =\beta /\alpha )}$

Однако обратите внимание, что, поскольку параметры для гамма-распределения должны быть больше нуля, мы получаем дополнительные ограничения, которые: должны быть положительными.${\displaystyle \xi }$

Экспоненциальное обобщенное распределение Парето [ править ]

Возведенное в степень обобщенное распределение Парето (exGPD) [ править ]

PDF (экспоненциальное обобщенное распределение Парето) для различных значений и .${\displaystyle exGPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$

Если , , , то распределяется в соответствии с экспоненцируются обобщенным распределение Парето , обозначаемое , .${\displaystyle X\sim GPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle Y=\log(X)}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$

Функция плотности вероятности (PDF) для , равна${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )\,\,(\sigma >0)}$

${\displaystyle g_{(\sigma ,\xi )}(y)={\begin{cases}{\frac {e^{y}}{\sigma }}{\bigg (}1+{\frac {\xi e^{y}}{\sigma }}{\bigg )}^{-1/\xi -1}\,\,\,\,{\text{for }}\xi \neq 0,\\{\frac {1}{\sigma }}e^{y-e^{y}/\sigma }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0,\end{cases}}}$

где поддержка для , и для .${\displaystyle -\infty <y<\infty }$${\displaystyle \xi \geq 0}$${\displaystyle -\infty <y\leq \log(-\sigma /\xi )}$${\displaystyle \xi <0}$

Для всех , то становится параметром места. См. Правую панель для PDF, когда форма положительная.${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \log \sigma }$${\displaystyle \xi }$

ExGPD имеет конечные моменты всех порядков для всех и .${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle -\infty <\xi <\infty }$

Дисперсия из как функции . Обратите внимание, что разница зависит только от . Красная пунктирная линия представляет оцененную дисперсию , то есть .${\displaystyle exGPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \psi ^{'}(1)=\pi ^{2}/6}$

Момент-Производящая функция от IS ${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$

${\displaystyle M_{Y}(s)=E[e^{sY}]={\begin{cases}-{\frac {1}{\xi }}{\bigg (}-{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}^{s}B(s+1,-1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi <0,\\{\frac {1}{\xi }}{\bigg (}{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}^{s}B(s+1,1/\xi -s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,1/\xi ),\xi >0,\\\sigma ^{s}\Gamma (1+s)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}s\in (-1,\infty ),\xi =0,\end{cases}}}$

где и обозначают бета-функцию и гамма-функцию соответственно.${\displaystyle B(a,b)}$${\displaystyle \Gamma (a)}$

Ожидаемое значение из , зависит от масштаба и формы параметров, в то время как участвует через функцию дигаммы :${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle E[Y]={\begin{cases}\log \ {\bigg (}-{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}+\psi (1)-\psi (-1/\xi +1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi <0,\\\log \ {\bigg (}{\frac {\sigma }{\xi }}{\bigg )}+\psi (1)-\psi (1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi >0,\\\log \sigma +\psi (1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

Обратите внимание, что при фиксированном значении для , the играет как параметр местоположения в экспоненциальном обобщенном распределении Парето.${\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \log \ \sigma }$

Дисперсия из , зависит от параметра формы только через функцию полигаммы порядка 1 (также называются тригамма-функция ):${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle exGPD}$ ${\displaystyle (}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle )}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle Var[Y]={\begin{cases}\psi ^{'}(1)-\psi ^{'}(-1/\xi +1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi <0,\\\psi ^{'}(1)+\psi ^{'}(1/\xi )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi >0,\\\psi ^{'}(1)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}\xi =0.\end{cases}}}$

На правой панели показано отклонение как функцию от . Обратите внимание на это .${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \psi ^{'}(1)=\pi ^{2}/6\approx 1.644934}$

Обратите внимание, что роли параметра масштаба и параметра формы под ним можно интерпретировать раздельно, что может привести к надежной и эффективной оценке, чем при использовании [2] . Роли этих двух параметров связаны друг с другом (по крайней мере, до второго центрального момента); см. формулу дисперсии, в которой участвуют оба параметра.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle Y\sim exGPD(\sigma ,\xi )}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X\sim GPD(\sigma ,\xi )}$ ${\displaystyle X\sim GPD(\mu =0,\sigma ,\xi )}$${\displaystyle Var(X)}$

Оценщик Хилла [ править ]

Предположим, что это наблюдения (не обязательно iid) из неизвестного распределения с тяжелым хвостом, такое, что его распределение хвоста регулярно изменяется с индексом хвоста (следовательно, соответствующий параметр формы равен ). Чтобы быть конкретным, распределение хвоста описывается как ${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle 1/\xi }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\bar {F}}(x)=1-F(x)=L(x)\cdot x^{-1/\xi },\,\,\,\,\,{\text{for some }}\xi >0,\,\,{\text{where }}L{\text{ is a slowly varying function.}}}$

В теории экстремальных значений особый интерес представляет оценка параметра формы , особенно когда он положительный (так называемое распределение с тяжелым хвостом).${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

Позвольте быть их условной избыточной функцией распределения. Pickands-Balkema-де Хаана теорема (Pickands, 1975; Balkema и де Хаан, 1974) утверждает , что для большого класса , лежащих в основе функции распределения , и большого , хорошо аппроксимируются обобщенное распределением Парето (GPD), который мотивирован пик над порогом (POT) методы оценки : GPD играет ключевую роль в подходе POT.${\displaystyle F_{u}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle u}$${\displaystyle F_{u}}$${\displaystyle \xi }$

Известным оценщиком, использующим методологию POT, является оценщик Хилла . Техническая формулировка оценки Хилла выглядит следующим образом. Для , записей на -й наибольшее значение . Затем, в этих обозначениях, оценка Хилла (см. Стр. 190 ссылки 5 Эмбрехтса и др. [3] ), основанная на статистике высшего порядка, определяется как${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle X_{(i)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}={\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}(X_{1:n})={\frac {1}{k-1}}\sum _{j=1}^{k-1}\log {\bigg (}{\frac {X_{(j)}}{X_{(k)}}}{\bigg )},\,\,\,\,\,\,\,\,{\text{for }}2\leq k\leq n.}$

На практике оценщик Хилла используется следующим образом. Сначала вычислите оценку для каждого целого числа , а затем постройте упорядоченные пары . Затем выберите из набора оценок Хилла, которые примерно постоянны по отношению к : эти стабильные значения рассматриваются как разумные оценки для параметра формы . Если iid, то оценка Хилла является последовательной оценкой для параметра формы [4] .${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$${\displaystyle k\in \{2,\cdots ,n\}}$${\displaystyle \{(k,{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}})\}_{k=2}^{n}}$${\displaystyle \{{\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}\}_{k=2}^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$${\displaystyle \xi }$

Обратите внимание, что оценщик Хилла использует логарифмическое преобразование для наблюдений . (Оценка Пиканда также использовала логарифмическое преобразование, но немного другим способом [5] .)${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Hill}}}$${\displaystyle X_{1:n}=(X_{1},\cdots ,X_{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {\xi }}_{k}^{\text{Pickand}}}$

См. Также [ править ]

• Распределение заусенцев
• Распределение Парето
• Обобщенное распределение экстремальных значений
• Экспоненциальное обобщенное распределение Парето
• Теорема Пикандса – Балкемы – де Хаана.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Пикандс, Джеймс (1975). «Статистический вывод с использованием статистики крайнего порядка» . Анналы статистики . 3 с : 119–131. DOI : 10.1214 / AOS / 1176343003 .
• Balkema, A .; Де Хаан, Лоренс (1974). «Остаточное время жизни в преклонном возрасте» . Анналы вероятности . 2 (5): 792–804. DOI : 10.1214 / AOP / 1176996548 .
• Ли, Сеюн; Ким, JHK (2018). «Экспоненциальное обобщенное распределение Парето: свойства и приложения к теории экстремальных значений». Коммуникации в статистике - теория и методы . 0 (8): 1–25. arXiv : 1708.01686 . DOI : 10.1080 / 03610926.2018.1441418 . S2CID  88514574 .
• Н.Л. Джонсон; С. Коц; Н. Балакришнан (1994). Непрерывные одномерные распределения Том 1, второе издание . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-58495-7. Глава 20, Раздел 12: Обобщенные распределения Парето.
• Барри С. Арнольд (2011). «Глава 7: Парето и обобщенные распределения Парето» . В Duangkamon Chotikapanich (ред.). Моделирование распределений и кривых Лоренца . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387727967.
• Арнольд, Британская Колумбия; Лагуна, Л. (1977). Об обобщенных распределениях Парето с приложениями к данным о доходах . Эймс, Айова: Государственный университет Айовы, факультет экономики.

Внешние ссылки [ править ]

• Mathworks: обобщенное распределение Парето