Обобщенное гамма-распределение

Обобщенная гамма

Функция плотности вероятности
Параметры	${\ displaystyle a> 0}$ (шкала), ${\ displaystyle d> 0, p> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \; \ в \; (0, \, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {p / a ^ {d}} {\ Gamma (d / p)}} x ^ {d-1} e ^ {- (x / a) ^ {p}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}}$
Режим	${\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0}$
Дисперсия	${\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)}$
Энтропия	${\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)}$

Обобщенная гамма - распределение является непрерывным распределением вероятностей с тремя параметрами. Это обобщение двухпараметрического гамма-распределения . Поскольку многие распределения, обычно используемые для параметрических моделей в анализе выживаемости (например, экспоненциальное распределение , распределение Вейбулла и гамма-распределение ), являются частными случаями обобщенного гамма- распределения , его иногда используют для определения того, какая параметрическая модель подходит для данного набора данные. ^[1] Другой пример - полунормальное распределение .

Характеристики [ править ]

Обобщенная гамма имеет три параметра: , , и . Для неотрицательных х , то функция плотности вероятности обобщенной гаммы является ^[2]${\displaystyle a>0}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle p>0}$

${\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},}$

где обозначает гамма-функцию .${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

Кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},}$

где обозначает нижнюю неполную гамма-функцию .${\displaystyle \gamma (\cdot )}$

Функция квантиль можно найти, отметив , что , где это кумулятивная функция распределения гамма - распределения с параметрами и . Затем квантильная функция задается путем инвертирования с использованием известных соотношений, обратных для составных функций , что дает:${\displaystyle F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \alpha =d/p}$${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},}$

с функцией квантиля для гамма-распределения с .${\displaystyle G^{-1}(q)}$${\displaystyle \alpha =d/p,\,\beta =1}$

Если тогда обобщенное гамма-распределение становится распределением Вейбулла . В качестве альтернативы, если обобщенная гамма становится гамма-распределением . Если и тогда это становится распределением Накагами . ${\displaystyle d=p}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle d=2m}$

Иногда используются альтернативные параметризации этого распределения; например с заменой α = d / p . ^[3] Кроме того, можно добавить параметр сдвига, чтобы область значений x начиналась с некоторого значения, отличного от нуля. ^[3] Если ограничения на знаки a , d и p также снимаются (но α = d / p остается положительным), это дает распределение, называемое распределением Аморосо , в честь итальянского математика и экономиста Луиджи Аморосо , описавшего его в 1925. ^[4]

Моменты [ править ]

Если X имеет обобщенное гамма-распределение, как указано выше, то ^[3]

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.}$

Расхождение Кульбака-Лейблера [ править ]

Если и - функции плотности вероятности двух обобщенных гамма-распределений, то их расходимость Кульбака-Лейблера определяется выражением${\displaystyle f_{1}}$${\displaystyle f_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}}$

где - дигамма-функция . ^[5]${\displaystyle \psi (\cdot )}$

Программная реализация [ править ]

В языке программирования R есть несколько пакетов, которые включают функции для подгонки и генерации обобщенных гамма-распределений. Пакет gamlss в R позволяет подбирать и генерировать множество различных семейств распределений, включая обобщенную гамму (family = GG). Другие варианты в R, реализованные в пакете flexsurv , включают в себя функцию dgengamma , с параметризацией: , , , и в пакете ggamma с параметризацией , , .${\displaystyle \mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}}$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}}$${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}}$${\displaystyle a=a}$${\displaystyle b=p}$${\displaystyle k=d/p}$

См. Также [ править ]

• Обобщенное целочисленное гамма-распределение

Ссылки [ править ]