Поверхность общего типа

В алгебраической геометрии , поверхность общего типа является алгебраической поверхностью с размерностью Кодаиры 2. Из - за теоремами Их любого компактного комплексного многообразия размерности 2 и с кодаировым-фактически будет алгебраическая поверхность, и в некотором смысле большинство поверхностей в этом класс.

Классификация [ править ]

Гизекер показал, что существует грубая схема модулей для поверхностей общего типа; это означает, что для любых фиксированных значений чисел Черна существует квазипроективная схема, классифицирующая поверхности общего типа с этими числами Черна. Явное описание этих схем остается очень сложной проблемой, и есть несколько пар чисел Черна, для которых это было сделано (кроме тех случаев, когда схема пуста). Есть некоторые признаки того, что эти схемы в целом слишком сложны, чтобы их можно было описать явно: известные верхние границы для числа компонентов очень велики, некоторые компоненты могут быть неуменьшены. ${\ displaystyle c_ {1} ^ {2}, c_ {2},}$ повсюду компоненты могут иметь много разных размеров, и несколько частей, которые были подробно изучены, имеют тенденцию выглядеть довольно сложными.

Числа Черна минимальных комплексных поверхностей

Изучение того, какие пары чисел Черна могут встречаться для поверхности общего типа, известно как « география чисел Черна », и на этот вопрос есть почти полный ответ. Есть несколько условий , что Черно число из с минимальной комплексной поверхностью общего типа должно удовлетворять:

${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} \ Equiv 0 {\ pmod {12}}}$ (так как он равен 12χ)
${\ displaystyle c_ {1} ^ {2}, c_ {2} \ geqslant 0}$
${\ Displaystyle c_ {1} ^ {2} \ leqslant 3c_ {2}}$ ( неравенство Богомолова-Мияока-Яу )
${\ displaystyle 5c_ {1} ^ {2} -c_ {2} +36 \ geqslant 12q \ geqslant 0}$ где q - неровность поверхности ( неравенство Нётер ).

Многие (а возможно, и все) пары целых чисел, удовлетворяющие этим условиям, являются числами Черна для некоторой комплексной поверхности общего типа. Напротив, для почти сложных поверхностей единственное ограничение:

{\ displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} \ Equiv 0 {\ pmod {12}},}

и это всегда можно реализовать. ^[1]

Примеры [ править ]

Это лишь небольшая часть из довольно большого числа найденных примеров поверхностей общего типа. Многие из исследованных поверхностей общего типа лежат на (или около) краях области возможных чисел Черна. В частности, поверхности Хорикавы лежат на «линии Нётер» или рядом с ней, многие из перечисленных ниже поверхностей лежат на прямой с минимально возможным значением для общего типа, а поверхности на этой прямой являются частными единичного шара в C ² (и являются особенно сложно найти). ${\ displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} = 12 \ chi = 12,}$ ${\ displaystyle 3c_ {2} = c_ {1} ^ {2}}$

Поверхности с χ = 1 [ править ]

Эти поверхности, расположенные на «нижней левой» границе диаграммы, были детально изучены. Для этих поверхностей со вторым классом Черна может быть любое целое число от 3 до 11. Поверхности со всеми этими значениями известны; Вот несколько из множества изученных примеров:

c ₂ = 3: ложная проективная плоскость (поверхность Мамфорда). Первый пример был найден Мамфордом с использованием p -адической геометрии, а всего существует 50 примеров. Они имеют те же числа Бетти, что и проективная плоскость, но не гомеоморфны ей, поскольку их фундаментальные группы бесконечны.
c ₂ = 4: Поверхности Бовиля названы в честь Арно Бовиля и имеют бесконечную фундаментальную группу.
c ₂ ≥ 4: Бурниатные поверхности
c ₂ = 10: поверхности Кампеделли . Поверхности с одинаковыми числами Ходжа называются числовыми поверхностями Кампеделли .
c ₂ = 10: Катанские поверхности односвязны.
c ₂ = 11: поверхности Годо . Циклическая группа порядка 5 свободно действует на поверхности Ферма точек в P ^3, удовлетворяющих путем отображения в где ρ - корень пятой степени из 1. Фактор по этому действию является исходной поверхностью Годо . Другие поверхности, построенные аналогичным образом с такими же числами Ходжа, также иногда называют поверхностями Годо. Поверхности с одинаковыми числами Ходжа (например, поверхности Барлоу) называются числовыми поверхностями Годо . Фундаментальная группа (исходной поверхности Годо) циклическая порядка 5. ${\ Displaystyle (ш: х: у: г)}$ ${\ displaystyle w ^ {5} + x ^ {5} + y ^ {5} + z ^ {5} = 0}$ ${\ Displaystyle (ш: х: у: г)}$ $(w:\rho x:\rho ^{2}y:\rho ^{3}z)$
c ₂ = 11: поверхности Барлоу односвязны. Вместе с поверхностью Крейгеро-Гаттаццо это единственные известные примеры односвязных поверхностей общего типа с p _g = 0.
Поверхности Тодорова служат контрпримерами к заключению теоремы Торелли.

Другие примеры [ править ]

Поверхности Кастельнуово : Другой экстремальный случай, Кастельнуово доказал, что если каноническое расслоение очень обильно для поверхности общего типа, топоверхность Кастельнуово - это поверхности общего типа, такие, что каноническое расслоение очень обильно и что $c_{1}^{2}\geqslant 3p_{g}-7.$ $c_{1}^{2}=3p_{g}-7.$
Полные пересечения : гладкое полное пересечение гиперповерхностей степенейв P ⁿ является поверхностью общего типа, если только степени не равны (2), (3), (2, 2) (рациональные), (4), (3, 2) , (2, 2, 2) (размерность Кодаира 0). Полные перекрестки все односвязны. Частным случаем являются гиперповерхности : например, в P ³ неособые поверхности степени не менее 5 относятся к общему типу (неособые гиперповерхности степени 4 - это поверхности K3 , а степени менее 4 - рациональные ). $d_{1}\geqslant d_{2}\geqslant \cdots \geqslant d_{n-2}\geqslant 2$
Поверхности Фано прямых на трехмерной кубике.
Модульные поверхности Гильберта в основном имеют общий тип.
Поверхности Хорикавы - это поверхности с q = 0 иили(что означает, что они более или менее находятся на краю «линии Нётер» области возможных значений чисел Черна). Все они просто связаны, и Хорикава дал их подробное описание. $p_{g}={\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+2$ ${\tfrac {1}{2}}c_{1}^{2}+{\tfrac {3}{2}}$
Произведения: произведение двух кривых как минимум 2 рода является поверхностью общего типа.
Двойные накрытия неособых кривых степени 2 m в P ² имеют общий тип, если (для 2 m = 2 они рациональны, для 2 m = 4 они снова рациональны и называются двойными плоскостями дель Пеццо , а для 2 m = 6 они являются K3-поверхностями .) Они односвязны и имеют числа Черна $2m\geqslant 8.$ $c_{1}^{2}=2(m-3)^{2},c_{2}=4m^{2}-6m+6.$

Канонические модели [ править ]

Бомбьери (1973) доказал, что мультиканоническое отображение φ _nK для комплексной поверхности общего типа является бирациональным изоморфизмом на ее образ всякий раз, когда n ≥ 5, а Экедаль (1988) показал, что тот же результат все еще верен в положительной характеристике. Для некоторых поверхностей это не бирациональный изоморфизм, когда n равно 4. Эти результаты следуют из теоремы Рейдера .

См. Также [ править ]

Классификация Энрикеса-Кодаира
Список алгебраических поверхностей

Заметки [ править ]

↑ Ван Де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 55 (6): 1624–1627. Bibcode : 1966PNAS ... 55.1624V . DOI : 10.1073 / pnas.55.6.1624 . PMC 224368 . PMID 16578639 .

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-57739-0 , ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Бомбьери, Энрико (1973), "Канонические модели поверхностей общего типа" , публикации Mathématiques де l'IHES , 42 (42): 171-219, DOI : 10.1007 / BF02685880 , MR 0318163 , S2CID 56081921
Экедалу, Торстен (1988), "Канонические модели поверхностей общего типа в положительной характеристике" , публикации Mathématiques де l'IHES , 67 (67): 97-144, DOI : 10.1007 / BF02699128 , MR 0972344 , S2CID 54756971
П. Гриффитс ; Дж. Харрис (1994), Принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, ISBN 0-471-05059-8
Исковских В.А. (2001) [1994], "Алгебраическая поверхность общего типа" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Ван Де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 55 (6): 1624–1627. Bibcode : 1966PNAS ... 55.1624V . DOI : 10.1073 / pnas.55.6.1624 . PMC 224368 . PMID 16578639 .

[1]