Неравенство Богомолова – Мияока – Яу.

В математике неравенство Богомолова – Мияока – Яу - это неравенство

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}}$

между Черны числами от компактных сложных поверхностей из общего типа . Его главный интерес состоит в том, как он ограничивает возможные топологические типы лежащего в основе вещественного 4-многообразия. Это было независимо доказано Шинг-Тунг Яу  ( 1977 , 1978 ) и Йойчи Мияока  ( 1977 ) после того, как Антониус Ван де Вен ( 1966 ) и Федор Богомолов  ( 1978 ) доказали более слабые версии с заменой константы 3 на 8 и 4.

Арманд Борель и Фридрих Хирцебрух показали, что неравенство является наилучшим, найдя бесконечно много случаев, в которых выполняется равенство. Неравенство ложно в положительной характеристике: Уильям Э. Лэнг ( 1983 ) и Роберт В. Истон ( 2008 ) привели примеры поверхностей в характеристике p , таких как обобщенные поверхности Рейно , для которых оно не работает.

Формулировка неравенства

Традиционная формулировка неравенства Богомолова – Мияока – Яу выглядит следующим образом. Пусть X - компактная комплексная поверхность общего типа , и пусть c ₁ =  c ₁ ( X ) и c ₂ =  c ₂ ( X ) - первый и второй классы Черна комплексного касательного расслоения поверхности. потом

${\displaystyle c_{1}^{2}\leq 3c_{2}.}$

Более того, если выполняется равенство, то X - фактор шара. Последнее утверждение является следствием дифференциально-геометрического подхода Яу, основанного на его разрешении гипотезы Калаби .

Поскольку - топологическая характеристика Эйлера и по теореме о сигнатуре Тома – Хирцебруха, где - сигнатура формы пересечения на вторых когомологиях, неравенство Богомолова – Мияока – Яу также может быть записано как ограничение на топологический тип поверхности общего тип:${\displaystyle c_{2}(X)=e(X)}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}(X)=2e(X)+3\sigma (X)}$${\displaystyle \sigma (X)}$

${\displaystyle \sigma (X)\leq {\frac {1}{3}}e(X),}$

более того, если универсальное покрытие представляет собой шар.${\displaystyle \sigma (X)=(1/3)e(X)}$

Вместе с неравенством Нётер неравенство Богомолова – Мияока – Яу устанавливает границы при поиске сложных поверхностей. Отображение топологических типов, которые реализуются как сложные поверхности, называется географией поверхностей . видеть поверхности общего типа .

Поверхности с c ₁ ² = 3 c ₂

Если X - поверхность общего типа с , так что равенство выполняется в неравенстве Богомолова – Мияока – Яу, то Яу (1977) доказал, что X изоморфно факторпространству единичного шара по бесконечной дискретной группе. Примеры поверхностей, удовлетворяющих этому равенству, найти сложно. Борель (1963) показал, что существует бесконечно много значений c${\displaystyle c_{1}^{2}=3c_{2}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }^{2}}$²
₁= 3 c ₂ , для которого существует поверхность. Дэвид Мамфорд  ( 1979 ) нашел фальшивую проективную плоскость с c²
₁= 3 c ₂ = 9, что является минимально возможным значением, поскольку c²
₁+ c ₂ всегда делится на 12, и Prasad & Yeung (2007) , Prasad & Yeung (2010) , Donald I. Cartwright и Tim Steger ( 2010 ) показали, что существует ровно 50 ложных проективных плоскостей.

Бартель, Хирцебрух и Хёфер (1987) дали метод поиска примеров, который, в частности, дает поверхность X с c²
₁= 3 с ₂ = 3 ² 5 ⁴ . Исида (1988) нашел отношение этой поверхности к c²
₁= 3 c ₂ = 45, а неразветвленные накрытия этого фактора дают примеры с c²
₁= 3 c ₂ = 45 k для любого натурального числа k . Дональд И. Картрайт и Тим Стегер ( 2010 ) нашли примеры с c²
₁= 3 c ₂ = 9 n для каждого натурального числа n .

использованная литература

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Бартель, Готфрид; Хирцебрух, Фридрих ; Хёфер, Томас (1987), Geradenkonfigurationen und Algebraische Flächen , Аспекты математики, D4, Брауншвейг: Friedr. Vieweg & Sohn, ISBN 978-3-528-08907-8, Руководство по ремонту  0912097
• Богомолов, Федор А. (1978), "Голоморфные тензоры и векторные расслоения на проективных многообразиях", Известия Академии Наук СССР. Серия Математическая , 42 (6): 1227–1287, ISSN  0373-2436 , MR  0522939
• Борель, Арманд (1963), "Компактные формы Клиффорда-Клейна симметричных пространств", Топология , 2 (1-2): 111-122, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (63) 90026-0 , ISSN  0040-9383 , Руководство по ремонту  0146301
• Картрайт, Дональд I .; Стегер, Тим (2010), «Перечисление 50 фальшивых проективных плоскостей», Comptes Rendus Mathématique , Elsevier Masson SAS, 348 (1): 11–13, DOI : 10.1016 / j.crma.2009.11.016
• Истон, Роберт В. (2008), «Поверхности, нарушающие Богомолова-Мияока-Яу в положительной характеристике», Труды Американского математического общества , 136 (7): 2271–2278, arXiv : math / 0511455 , doi : 10.1090 / S0002- 9939-08-09466-5 , ISSN  0002-9939 , MR  2390492 , S2CID  35276117
• Ishida, Masa-нори (1988), "Эллиптическая поверхность покрыта фальшивой проективной плоскости Мамфорда", Тохоку математический журнал , вторая серия, 40 (3): 367-396, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178227980 , ISSN  0040-8735 , Руководство по ремонту  0957050
• Лэнг, Уильям Э. (1983), "Примеры поверхностей общего типа с векторными полями", Арифметика и геометрия, Vol. II , Прогр. Math., 36 , Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 167–173, MR  0717611
• Мияока, Йоичи (1977), «О числах Черна поверхностей общего типа», Inventiones Mathematicae , 42 (1): 225–237, Bibcode : 1977InMat..42..225M , doi : 10.1007 / BF01389789 , ISSN  0020- 9910 , Руководство по ремонту  0460343 , S2CID  120699065
• Мамфорд, Дэвид (1979), «Алгебраическая поверхность с K обильным, (K 2 ) = 9, p g = q = 0» , Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 101 (1): 233–244, DOI : 10,2307 / 2373947 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2373947 , МР  0527834
• Прасад, Гопал; Йунг, Сай-Ки (2007), «Поддельные проективные плоскости», Inventiones Mathematicae , 168 (2): 321–370, arXiv : math / 0512115 , Bibcode : 2007InMat.168..321P , doi : 10.1007 / s00222-007- 0034-5 , Руководство по эксплуатации  2289867 , S2CID  1990160
• Прасад, Гопал; Йунг, Сай-Ки (2010), «Дополнение к« Поддельным проективным плоскостям » », Inventiones Mathematicae , 182 (1): 213–227, arXiv : 0906.4932 , Bibcode : 2010InMat.182..213P , doi : 10.1007 / s00222- 010-0259-6 , МР  2672284 , S2CID  17216453
• Ван де Вен, Антониус (1966), "О числах Черна некоторых комплексных и почти комплексных многообразий", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , Национальная академия наук, 55 (6): 1624–1627 , Bibcode : 1966PNAS ... 55.1624V , DOI : 10.1073 / pnas.55.6.1624 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  57245 , MR  0198496 , КУП  224368 , PMID  16578639
• Яу, Шинг Тунг (1977), «Гипотеза Калаби и некоторые новые результаты в алгебраической геометрии», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , National Academy of Sciences, 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS ... 74.1798Y , DOI : 10.1073 / pnas.74.5.1798 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  67110 , MR  0451180 , КУП  431004 , PMID  16592394
• Яу, Шинга Танг (1978), «О кривизны Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексного уравнения Монжа-Ампера я.», Коммуникации на чистой и прикладной математики , 31 (3): 339-411, DOI : 10.1002 / СРА .3160310304 , ISSN  0010-3640 , Руководство по ремонту  0480350