Нечеткое множество

В математике нечеткие множества ( также известные как неопределенные множества ) — это множества , элементы которых имеют степени принадлежности. Нечеткие множества были введены независимо Лотфи А. Заде и Дитером Клауа  [ де ] в 1965 году как расширение классического понятия множества. ^{[1] [2]} В то же время Салий (1965) определил более общий тип структуры, названный L - отношением , которое он изучал в абстрактном алгебраическом контексте. Нечеткие отношения, которые теперь используются во всей нечеткой математике.и имеют приложения в таких областях, как лингвистика ( De Cock, Bodenhofer & Kerre 2000 ), принятие решений ( Kuzmin 1982 ) и кластеризация ( Bezdek 1978 ), являются частными случаями L - отношений, когда L представляет собой единичный интервал [0, 1 ].

В классической теории множеств принадлежность элементов к множеству оценивается в бинарных терминах в соответствии с бивалентным условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству. Напротив, теория нечетких множеств позволяет постепенно оценивать принадлежность элементов к множеству; это описывается с помощью функции принадлежности со значением в реальном единичном интервале [0, 1]. Нечеткие множества обобщают классические множества, поскольку индикаторные функции (также известные как характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают значения только 0 или 1. ^[3] В теории нечетких множеств классические двухвалентные множества обычно называются четкими наборами. Теория нечетких множеств может использоваться в широком диапазоне областей, в которых информация является неполной или неточной, например, в биоинформатике . ^[4]

Нечеткое множество — это пара , где есть множество (часто требуется, чтобы оно было непустым ) и функция принадлежности. Референтный набор (иногда обозначаемый или ) называется универсумом дискурса , а для каждого значения называется степенью принадлежности к . Функция называется функцией принадлежности нечеткого множества .${\ Displaystyle (U, м)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle м \ двоеточие U \ стрелка вправо [0,1]}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ Омега}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle х \ в U,}$${\ Displaystyle м (х)}$${\ Displaystyle х}$${\ Displaystyle (U, м)}$${\ Displaystyle м = \ му _ {А}}$${\ Displaystyle А = (U, м)}$

Для конечного множества нечеткое множество часто обозначается как${\ Displaystyle U = \ {x_ {1}, \ точки, x_ {n} \},}$${\ Displaystyle (U, м)}$${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

Некоторые ключевые разработки во введении концепций нечетких множеств. ^[11]