| Великая антипризма | |
|---|---|
 ( Каркас диаграммы Шлегеля ) | |
| Тип | Равномерный 4-многогранник |
| Единый индекс | 47 |
| Клетки | 100 + 200 ( 3.3.3 ) 20 ( 3.3.3.5 )  |
| Лица | 20 {5} 700 {3} |
| Края | 500 |
| Вершины | 100 |
| Фигура вершины | Sphenocorona |
| Группа симметрии | Ионная уменьшенная группа Кокстера [[10,2 + , 10]] порядка 400 |
| Символ Шлефли | s {5} .s {5} (расширенный) |
| Характеристики | выпуклый |
 Сетка показывает два непересекающихся кольца 10 антипризм. 200 тетраэдров (желтые) находятся в торцевом контакте с антипризмами, а 100 тетраэдров (красные) контактируют только с другими тетраэдрами. | |
В геометрии , то великое антипризма или пятиугольная двойная antiprismoid является равномерным 4-многогранником (4-мерный равномерный многогранник ) ограничен на 320 клеток : 20 пятиугольных антипризм , и 300 тетраэдров . Это аномальный, неизвитоффовский однородный 4-многогранник, открытый в 1965 году Конвеем и Гаем . [1] [2] Топологически, при высшей симметрии, пятиугольные антипризмы имеют симметрию D 5d и есть два типа тетраэдров, один с S 4симметрии и симметрии C s .
Альтернативные имена [ править ]
- Пятиугольная двойная антипризмоидная Норман У. Джонсон
- Гэп (Джонатан Бауэрс: за грандиозную антипризму) [3]
Структура [ править ]
20 уложенных друг на друга пятиугольных антипризм входят в два непересекающихся кольца по 10 антипризм в каждом. Антипризмы в каждом кольце соединены друг с другом своими пятиугольными гранями. Два кольца взаимно перпендикулярны по структуре, подобной дуопризме .
300 тетраэдров соединяют два кольца друг с другом и расположены в 2-мерном расположении, топологически эквивалентном 2-тору и гребню дуоцилиндра . Их можно разделить на три группы. 100 сопрягаются по граням с одним кольцом, 100 сопрягаются по граням с другим кольцом, а 100 центрируются точно в средней точке дуоцилиндра и сопрягаются по краям с обоими кольцами. Этот последний набор образует плоский тор и может быть «развернут» в плоский квадратный массив 10 × 10 тетраэдров, которые встречаются только на своих ребрах и вершинах. См. Рисунок ниже.
Кроме того, 300 тетраэдров можно разделить на 10 непересекающихся спиралей Бордейка – Кокстера по 30 ячеек каждая, которые закрываются друг за другом. Две пятиугольные антипризменные трубки плюс 10 спиралей до н.э. образуют нерегулярное дискретное расслоение Хопфа большой антипризмы, которое Хопф отображает на грани пятиугольной антипризмы. Две трубки соответствуют двум пятиугольным граням, а спирали 10 г. до н.э. соответствуют 10 треугольным граням.
Структура большой антипризмы аналогична трехмерной антипризме . Однако большая антипризма - единственный выпуклый однородный аналог антипризмы в 4-х измерениях (хотя 16-ячеечную можно рассматривать как обычный аналог двуглавой антипризмы ). Единственный невыпуклый однородный 4-мерный аналог антипризмы использует пентаграммические скрещенные антипризмы вместо пятиугольных антипризм и называется пентаграммической двойной антипризмой .
Фигура вершины [ править ]
Вершинная фигура большой антипризмы - сфенокорона или рассеченный правильный икосаэдр : правильный икосаэдр с удаленными двумя соседними вершинами. Вместо них 8 треугольников заменены парой трапеций с длинами ребер φ, 1, 1, 1 (где φ - золотое сечение ), соединенных вместе вдоль их ребра длиной φ, чтобы получить тетрадекаэдр , грани которого представляют собой 2 трапеции. и 12 оставшихся равносторонних треугольников .
12 ( 3.3.3 ) | 2 ( 3.3.3.5 ) | Рассеченный правильный икосаэдр |
Строительство [ править ]
Большую антипризму можно построить, уменьшив 600-элементную : вычтя 20 пирамид, основания которых являются трехмерными пятиугольными антипризмами. И наоборот, два кольца пятиугольных антипризм в большой антипризме могут быть триангулированы 10 тетраэдрами, соединенными с треугольными гранями каждой антипризмы, и кругом из 5 тетраэдров между каждой парой антипризм, соединяющим 10 тетраэдров каждой, давая 150 тетраэдров на звенеть. Они вместе с 300 тетраэдрами, которые соединяют два кольца вместе, дают 600 тетраэдров 600-ячеечной ячейки.
Это уменьшение может быть реализовано путем удаления двух колец из 10 вершин из 600-ячеек, каждое из которых лежит во взаимно ортогональных плоскостях. Каждое кольцо удаленных вершин создает на выпуклой оболочке стопку пятиугольных антипризм . Это соотношение аналогично тому, как пятиугольную антипризму можно построить из икосаэдра , удалив две противоположные вершины, тем самым удалив 5 треугольников из противоположных `` полюсов '' икосаэдра, оставив 10 экваториальных треугольников и два пятиугольника сверху и снизу.
( Курносая 24-ячейка также может быть построена путем другого уменьшения 600-ячеек, удалив 24 икосаэдрических пирамиды. Точно так же это может быть реализовано как взятие выпуклой оболочки из вершин, оставшихся после 24 вершин, соответствующих таковым у вписанных 24 вершин. -ячейки , удаляются из 600-ячеек.)
В качестве альтернативы, он также может быть построен из десятиугольного дитетрагольтриата (выпуклая оболочка двух перпендикулярных неоднородных дуопризм 10-10, где соотношение двух декагонов находится в золотом сечении ) посредством процесса чередования . В декагональных призмах чередуются в пятиугольные антипризмы , то прямоугольные trapezoprisms чередуются в тетраэдры с двумя новыми регулярными тетраэдрами (представляющих собой не-corealmic треугольной бипирамиды), созданные в удаленных вершинах. Это единственное однородное решение для p-угольных двойных антипризмоидов наряду с его конъюгатом, пентаграмматическим двойным антипризмоидом из декаграмматического дитетраголтриата.
| 600 ячеек | Великая антипризма |
|---|---|
| Самолет Кокстера H 4 | |
| 20-угольный | |
| Плоскость Кокстера H 3 (небольшое смещение) | |
Прогнозы [ править ]
Это две перспективные проекции, проецирующие многогранник в гиперсферу и применяющие стереографическую проекцию в трехмерном пространстве.
Каркас, вид на одну из пятиугольных антипризматических колонн. | с прозрачными треугольными гранями |
Ортографическая проекция Центрирована на гиперплоскости антипризмы в одном из двух колец. | Трехмерная орфографическая проекция 100 из 120 вершин с 600 ячейками и 500 ребер {488 из 1/2 (3-Sqrt [5]) и 12 из 2 / (3 + Sqrt [5])}. |
См. Также [ править ]
- 600 ячеек
- Курносый 24-элементный
- Равномерный 4-многогранник
- Дуопризма
- Дуоцилиндр
Заметки [ править ]
- ^ JH Конвей и MJT Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , Труды коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965. (Майкл Гай - сын Ричарда К. Гая )
- ^ Conway, 2008, p.402-403 Большой антипризма
- ^ Клитцинг, Ричард. «4D выпуклая полихора Большая антипризма» .
Ссылки [ править ]
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] 2.8 Великая Антипризма
- Аномально выпуклый однородный полихорон - Модель 47 , Георгий Ольшевский.
- Клитцинг, Ричард. «Разрыв четырехмерных однородных многогранников (полихор)» .
- Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26) Великая Антипризма
- Великая антипризма и кватернионы [1] Мехмет Коджа, Мудхахир Аль-Аджми, Назифе Оздес Коджа (2009); Мехмет Коджа и др. 2009 J. Phys. A: Математика. Теор. 42 495201
Внешние ссылки [ править ]
- В Чреве Великой Антипризмы (средняя часть, описывающая аналогию с икосаэдром и пятиугольной антипризмой)
| Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Правильный многоугольник | Треугольник | Квадрат | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
| Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
| Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
| Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
| Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
| Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
| Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
| Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
| Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
| Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
| Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений | ||||||||||||
