Грибовская двусмысленность

В калибровочной теории , особенно в неабелевых калибровочных теориях, часто встречаются глобальные проблемы при фиксации калибровки . Фиксация калибра означает выбор представителя с каждой калибровочной орбиты , то есть выбор участка пучка волокон.. Пространство представителей является подмногообразием (расслоения в целом) и представляет собой условие фиксации калибровки. В идеале каждая калибровочная орбита будет пересекать это подмногообразие один и только один раз. К сожалению, это часто невозможно глобально для неабелевых калибровочных теорий из-за топологических препятствий, и лучшее, что можно сделать, - это сделать это условие истинным локально. Подмногообразие, фиксирующее калибровку, может вообще не пересекать калибровочную орбиту или пересекать ее более одного раза. Трудность возникает из-за того, что условие фиксации калибровки обычно задается как какое-то дифференциальное уравнение, например, что расходимость обращается в нуль (как в калибровке Ландау или Лоренца ). Решения этого уравнения могут закончиться указанием нескольких разделов или, возможно, вообще ни одного. Это называется двусмысленностью Грибова.(им. Владимира Грибова ).

Неоднозначности Грибова приводят , среди прочего, к непертурбативному нарушению БРСТ- симметрии.

Одним из способов решения проблемы неоднозначности Грибова является ограничение соответствующих функциональных интегралов одной областью Грибова , граница которой называется горизонтом Грибова . Тем не менее, можно показать, что эта проблема не решается даже при сведении региона к первому Грибовскому району . Единственная область, для которой разрешается эта неоднозначность, - это фундаментальная модульная область ( FMR ).

Фон [ править ]

При проведении вычислений в калибровочных теориях обычно необходимо выбрать калибровку. Калибровочные степени свободы не имеют прямого физического значения, но они являются артефактом математического описания, которое мы используем для работы с рассматриваемой теорией. Чтобы получить физические результаты, эти избыточные степени свободы должны быть отброшены подходящим способом.

В абелевой калибровочной теории (т.е. в КЭД ) достаточно просто выбрать калибровку. Популярной является калибровка Лоренца , которая имеет то преимущество, что она инвариантна по Лоренцу . В неабелевых калибровочных теориях (таких как КХД ) ситуация более сложная из-за более сложной структуры неабелевой калибровочной группы.${\ Displaystyle \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$

Формализм Фаддеева – Попова, разработанный Людвигом Фаддеевым и Виктором Поповым , позволяет решить проблему выбора калибровки в неабелевых теориях. Этот формализм вводит оператор Фаддеева – Попова, который по сути является определителем Якоби преобразования, необходимого для приведения калибровочного поля к желаемой калибровке. В так называемой калибровке Ландау ^{[примечание 1]} этот оператор имеет вид${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ ;,}$

где - ковариантная производная в присоединенном представлении. Затем определитель этого оператора Фаддеева – Попова вводится в интеграл по путям с использованием фантомных полей .${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab}}$

Этот формализм, однако, предполагает, что выбор калибровки (подобный ) уникален, т. Е. Для каждой физической конфигурации существует ровно одна, которая соответствует ей и удовлетворяет условию калибровки. Однако в неабелевых калибровочных теориях типа Янга – Миллса это не так для большого класса калибров ^{[1] [2] [3],} как было впервые указано Грибовым. ^[4]${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$${\ Displaystyle А _ {\ mu} ^ {а}}$

Конструкция Грибова [ править ]

Грибов рассмотрел вопрос о том, сколько различных калибровочных копий этой конфигурации при определенной физической конфигурации удовлетворяет калибровочному условию Ландау . Никаких конфигураций без представителей не известно. ^[5] Вполне возможно, что их больше одного.${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A _ {\ mu} ^ {a} = 0}$

Рассмотрим два калибровочных поля и , и предположим, что они оба подчиняются калибровочному условию Ландау. Если это калибровочная копия , у нас будет (при условии, что они бесконечно близки друг к другу):${\ Displaystyle А _ {\ mu} ^ {а}}$${\ displaystyle {A _ {\ mu} ^ {a}} '}$${\ displaystyle {A _ {\ mu} ^ {a}} '}$${\ Displaystyle А _ {\ mu} ^ {а}}$

${\ displaystyle {A _ {\ mu} ^ {a}} '= A _ {\ mu} ^ {a} + {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ omega ^ {b}}$

для какой-то функции . ^{[примечание 2]} Если оба поля подчиняются калибровочному условию Ландау, мы должны иметь, что${\ displaystyle \ omega ^ {b}}$

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {D}} _ {\ mu} ^ {ab} \ omega ^ {b} = 0 \ ;,}$

и, таким образом, оператор Фаддеева – Попова имеет по крайней мере одну нулевую моду. ^[5] Если калибровочное поле бесконечно мало, этот оператор не будет иметь нулевых мод. Множество калибровочных полей, в которых оператор Фаддеева – Попова имеет свою первую нулевую моду (при старте из начала координат), называется «горизонтом Грибова». Множество всех калибровочных полей, в которых оператор Фаддеева – Попова не имеет нулевых мод (что означает, что этот оператор положительно определен), называется «первой областью Грибова» . ^[6]${\ displaystyle \ Omega}$

Если калибровочные поля имеют калибровочные копии, эти поля будут пересчитаны в интеграле по путям. Грибов утверждал, что для того, чтобы противостоять этому перерасчету, мы должны ограничить интеграл по путям до первой области Грибова. Для этого он рассмотрел призрачный пропагатор, который представляет собой вакуумное математическое ожидание для обратного оператора Фаддеева – Попова. Если этот оператор всегда положительно определен, фантомный пропагатор не может иметь полюсов - это называется «условием отсутствия полюсов». В обычной теории возмущений (с использованием обычного формализма Фаддеева – Попова) у пропагатора действительно есть полюс, что означает, что мы покинули первую область Грибова и пересчитали некоторые конфигурации. ^[7]

Получив пертурбативное выражение для фантомного пропагатора, Грибов обнаружил, что это неполюсное условие приводит к условию вида ^{[7] [8]}

${\displaystyle \langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d}q}{(2\pi )^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a}(q)\right\rangle <1\;,}$

где N - количество цветов (которое равно 3 в КХД), g - калибровочная сила связи, V - объем пространства-времени (который стремится к бесконечности в большинстве приложений) и d - количество пространственно-временных измерений (которое равно 4 в реальном мире). Функционал - это сокращение для выражения в угловых скобках. Чтобы наложить это условие, Грибов предложил ввести ступенчатую функцию Хевисайда, содержащую указанное выше, в интеграл по путям в его представлении Фурье :${\displaystyle \sigma [A]}$

${\displaystyle H(1-\sigma [A])=\int _{-i\infty +\epsilon }^{+i\infty +\epsilon }{\frac {d\beta }{2\pi i\beta }}e^{\beta (1-\sigma [A])}\;.}$

В этом выражении параметр называется «параметром Грибова». Затем выполняется интегрирование по этому параметру Грибова методом наискорейшего спуска . Этот метод дает уравнение для параметра Грибова, которое называется уравнением разрыва. Подстановка решения этого уравнения обратно в интеграл по путям дает модифицированную калибровочную теорию.${\displaystyle \beta }$

С модификацией, проистекающей из параметра Грибова, оказывается, что глюонный пропагатор изменен на ^{[7] [9]}

${\displaystyle D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\delta ^{ab}\left(\delta _{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {2Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}{\frac {\beta _{0}}{k^{2}}}}}\;,}$

где это значение, которое решает уравнение разрыва. Призрачный пропагатор также модифицируется и, в одном цикле, отображает поведение . ^[10]${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \propto 1/k^{4}}$

Действия Грибова – Цванцигера [ править ]

Несколько лет спустя Даниэль Цванцигер также рассмотрел проблему Грибова. Он использовал другой подход. Вместо того чтобы рассматривать фантомный пропагатор, он вычислил наименьшее собственное значение оператора Фаддеева – Попова как пертурбативный ряд по глюонному полю. Это дало некоторую функцию, которую он назвал «функцией горизонта», и ожидаемое значение вакуума этой функции горизонта должно быть ограничено максимум до единицы, чтобы оставаться в пределах первой области Грибова. ^[11] Это условие может быть выражено путем введения функции горизонта в интеграл по путям (аналогично тому, как Грибов сделал то же самое) и наложения определенного уравнения зазора на вакуумную энергию результирующей теории. ^[12]Это дало новый интеграл по путям с измененным действием, которое, однако, является нелокальным. В первом порядке результаты идентичны тем, которые ранее нашел Грибов.

Чтобы упростить работу с найденным действием, Цванцигер ввел локализующие поля. Как только действие стало локальным, можно было доказать, что полученная теория перенормируема ^[13] - то есть все бесконечности, порожденные петлевыми диаграммами, могут быть поглощены мультипликативным изменением содержания (константы связи, нормализации поля, параметра Грибова), уже присутствующего в теория без дополнительных дополнений.

Цванцигер, кроме того, отметил, что получившийся глюонный пропагатор не допускает спектрального представления Келлена – Лемана , которое сигнализирует о том, что глюон больше не может быть физической частицей. ^[13] Это часто интерпретируется как ограничение цвета .

Недвижимость первого Грибовского района [ править ]

Поскольку первая область Грибова играет ключевую роль в разрешении двусмысленности Грибова, за годы, прошедшие после первой статьи Грибова, она привлекла к себе дополнительное внимание. Калибровку Ландау можно определить как калибровку, которая экстремизирует функционал

${\displaystyle ||A||^{2}=\int d^{d}xA_{\mu }^{a}(x)A_{\mu }^{a}(x)\;.}$

Простой экстремум (максимум или минимум) этого функционала - обычная калибровка Ландау. Требование минимума (что равносильно требованию, чтобы оператор Фаддеева – Попова был положительным) приводит к тому, что он попадает в первую область Грибова. ^[6]

Однако это условие все еще включает относительные минимумы. Было показано, что все еще существуют копии Грибова в пределах первой области Грибова, которые связаны друг с другом топологически тривиальным калибровочным преобразованием. ^[14] Пространство калибровочных функций, которые абсолютно минимизируют функционал, определенный выше, называется «фундаментальной модулярной областью». Однако неизвестно, как ограничить интеграл по путям этой областью.${\displaystyle ||A||^{2}}$

Было показано, что первая область Грибова ограничена во всех направлениях ^[15] , так что никакие произвольно большие конфигурации поля не принимаются во внимание при ограничении интеграла по путям для этой области. ^[16] Кроме того, первая область Грибова является выпуклой, и все физические конфигурации имеют внутри нее по крайней мере одного представителя. ^[17]

Более поздние разработки [ править ]

В 2013 году было доказано, что два формализма - формализм Грибова и Цванцигера - эквивалентны всем порядкам теории возмущений. ^[18]

Одной из проблем формализма Грибова – Цванцигера является нарушение BRST-симметрии . ^[19] Это нарушение можно интерпретировать как нарушение динамической симметрии . ^[20] Нарушение является «мягким» (т.е. пропорционально параметру с положительной размерностью массы, в данном случае параметру Грибова), так что перенормируемость все еще может быть доказана. Однако унитарность по-прежнему проблематична.

Долгое время моделирование на решетке, казалось, показывало, что модифицированные пропагаторы глюонов и призраков, предложенные Грибовым и Цванцигером, были правильными. Однако в 2007 году компьютеры стали достаточно мощными, чтобы исследовать область малых импульсов, где пропагаторы наиболее модифицированы, и оказалось, что картина Грибова – Цванцигера неверна. Вместо этого, пропагатор глюона переходит в постоянное значение, когда импульс становится равным нулю, а пропагатор-призрак по-прежнему движется как 1 / k ² при малых импульсах. ^[21] Это справедливо как для 3-х, так и для 4-х измерений пространства-времени. ^[22] Было предложено решение этого несоответствия путем добавления конденсатов к действию Грибова – Цванцигера. ^[23]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Капри, Марсио А.Л .; Дудал, Дэвид; Guimarães, Marcelo S .; Palhares, Letícia F .; Сорелла, Сильвио П. (2013). «Доказательство во всем порядке эквивалентности неполюса Грибова и условий горизонта Цванцигера». Phys. Lett. B . 719 : 448–453. arXiv : 1212,2419 . Bibcode : 2013PhLB..719..448C . DOI : 10.1016 / j.physletb.2013.01.039 .
• Куккьери, Аттилио; Мендес, Тереза ​​(2007). «Что случилось с ИК-глюонами и фантомными пропагаторами в калибровке Ландау? Загадочный ответ из огромных решеток». PoS . LAT2007: 297. arXiv : 0710.0412 . Bibcode : 2007slft.confE.297C .CS1 maint: ref=harv (link)
• Дель'Антонио, Джанфаусто; Цванцигер, Даниэль (1989). «Эллипсоидальная граница на горизонте Грибова противоречит пертурбативной ренормгруппе». Ядерная физика Б . 326 : 333–350. Bibcode : 1989NuPhB.326..333D . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90135-1 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Грибов, Владимир Н. (1978). «Квантование неабелевых калибровочных теорий». Ядерная физика Б . 139 : 1–19. Bibcode : 1978NuPhB.139 .... 1G . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (78) 90175-X .CS1 maint: ref=harv (link)
• T. Heinzl. Гамильтонов подход к проблеме Грибова. Nuclear Physics B (Proc.Suppl) 54A (1997) 194-197, arXiv: hep-th / 9609055
• Кондо, http://www.icra.it/MG/mg12/talks/sqg5_kondo.pdf (второй слайд)
• Маас, Аксель (2013). «Калибровочные бозоны при нулевой и конечной температуре». Отчеты по физике . 524 : 203–300. arXiv : 1106.3942 . Полномочный код : 2013PhR ... 524..203M . DOI : 10.1016 / j.physrep.2012.11.002 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Певица, Исадор М. (1978). «Несколько замечаний по поводу двусмысленности Грибова». Сообщения по математической физике . 60 : 7–12. Bibcode : 1978CMaPh..60 .... 7S . DOI : 10.1007 / BF01609471 .CS1 maint: ref=harv (link)
• ван Баал, Пьер (1992). «Еще (мысли о) копиях Грибова». Nucl. Phys. B . 369 : 259–275. Bibcode : 1992NuPhB.369..259V . CiteSeerX  10.1.1.35.6645 . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (92) 90386-P .CS1 maint: ref=harv (link)
• Вандерсикель, Неле (2011). Исследование действия Грибова – Цванцигера: от пропагаторов к глюболам (Диссертация). Гентский университет. arXiv : 1104.1315 . Bibcode : 2011arXiv1104.1315V .CS1 maint: ref=harv (link)
• Вандерсикель, Неле; Цванцигер, Даниэль (2012). «Проблема Грибова и динамика КХД». Phys. Rep . 520 : 175–251. arXiv : 1202,1491 . Bibcode : 2012PhR ... 520..175V . DOI : 10.1016 / j.physrep.2012.07.003 .CS1 maint: ref=harv (link)
• Цванцигер, Даниэль (1989). «Локальное и перенормируемое действие из горизонта Грибова». Ядерная физика Б . 323 : 513–544. Bibcode : 1989NuPhB.323..513Z . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90122-3 .CS1 maint: ref=harv (link)