Пространство Гротендика

В математике , Гротендик пространство , названный в честь Александра Гротендиком , является банахово пространство X , в котором каждое слабо * сходящаяся в сопряженном пространстве X * сходится относительно слабой топологии в X *.

Характеристики [ править ]

Пусть X - банахово пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X - пространство Гротендика,
2. для любого сепарабельного банахова пространства Y любой линейный ограниченный оператор из X в Y является слабо компактным , то есть образ ограниченного подмножества X является слабо компактным подмножеством Y ,
3. для каждой слабо компактно порождаемой банахово пространство Y , каждый ограниченный линейный оператор из X в Y является слабо компактным .
4. всякая слабая * -непрерывная функция на двойственном X * слабо интегрируема по Риману.

Примеры [ править ]

• Каждое рефлексивное банахово пространство является пространством Гротендика. Наоборот, из теоремы Эберлейна – Шмулиана следует, что сепарабельное пространство Гротендика X должно быть рефлексивным, поскольку тождество из X в X в этом случае слабо компактно.
• Пространства Гротендика, которые не являются рефлексивными, включают пространство C ( K ) всех непрерывных функций на компакте Стоунана K и пространство L ^∞ ( μ ) для положительной меры μ (компакт Стоунана - это компакт Хаусдорфа, в котором закрытие каждого открытого набора открыто).
• Жан Бургейн доказал, что пространство H ^∞ ограниченных голоморфных функций на диске является пространством Гротендика. ^[1]

См. Также [ править ]

• Данфорд – Петтис собственность

Ссылки [ править ]

• Дж. Дистель, Геометрия банаховых пространств , Избранные темы, Springer, 1975.
• Дж. Дистель, Дж. Дж. Уль: Векторные меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, 1977 г. ISBN  978-0-8218-1515-1 .
• Шоу, С.-Й. (2001) [1994], "Пространство Гротендика" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Нисар А. Лоне, о слабой интегрируемости по Риману слабых * - непрерывных функций. Средиземноморский математический журнал, 2017.