В функциональном анализе , разделе математики , теорема Хеллингера – Теплица утверждает, что всюду определенный симметричный оператор в гильбертовом пространстве со скалярным произведениемявляется ограниченным . По определению, оператор является симметричным , если
для всех х , у в области А . Отметим, что симметричные всюду определенные операторы обязательно являются самосопряженными , поэтому эту теорему можно также сформулировать следующим образом: всюду определенный самосопряженный оператор ограничен. Теорема названа в честь Эрнста Дэвида Хеллингера и Отто Теплица .
Эту теорему можно рассматривать как непосредственное следствие теоремы о замкнутом графике , поскольку самосопряженные операторы замкнуты . В качестве альтернативы это можно аргументировать, используя принцип равномерной ограниченности . При доказательстве теоремы полагаются на предположение о симметрии, следовательно, на структуру внутреннего продукта. Важно также то, что данный оператор A определен всюду (и, в свою очередь, полнота гильбертовых пространств).
Теорема Хеллингера – Теплица обнаруживает определенные технические трудности в математической формулировке квантовой механики . Наблюдаемые в квантовой механике соответствуют самосопряженным операторам в некотором гильбертовом пространстве, но некоторые наблюдаемые (например, энергия) не ограничены. Согласно Хеллингеру – Теплицу такие операторы не могут быть определены всюду (но они могут быть определены на плотном подмножестве ). Возьмем, к примеру, квантовый гармонический осциллятор . Здесь Гильберта пространство L 2 ( R ), пространство квадратично интегрируемых функций на R , а оператор энергии Н определяется ( в предположении , единицы выбраны таким образом, что ℏ = т = ω = 1)
Этот оператор является самосопряженным и неограниченным (его собственные значения 1/2, 3/2, 5/2, ...), поэтому он не может быть определен на всем L 2 ( R ).
Рекомендации
- Рид, Майкл и Саймон, Барри: Методы математической физики, Том 1: Функциональный анализ. Academic Press, 1980. См. Раздел III.5.
- Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.