В математике , то гипотеза Herzog-Schönheim является комбинаторной проблемой в области теории групп , поставленная Марсель Herzog и Йоханан Schönheim в 1974 году [1]
Позволять быть группой , и пусть
конечная система левых смежных классов по подгруппам из .
Герцог и Шёнхайм предположили, что если образует перегородку из с участием , то (конечные) индексы не может быть отличным. Напротив, если разрешены повторяющиеся индексы, то разбить группу на смежные классы легко: если любая подгруппа в с индексом тогда можно разделить на левые классы .
Субнормальные подгруппы
В 2004 году Чжи-Вэй Сунь доказал расширенную версию гипотезы Герцога – Шёнхейма в случае, когдаявляются субнормальны в. [2] Основная лемма в доказательстве Сана утверждает, что если субнормальны и имеют конечный индекс в , тогда
и поэтому
Теорема Мирского – Ньюмана.
Когда аддитивная группа целых чисел, смежные классы - арифметические прогрессии . В этом случае гипотеза Герцога-Шёнхейма утверждает, что каждая покрывающая система , семейство арифметических прогрессий, которые вместе покрывают все целые числа, должна либо покрывать некоторые целые числа более одного раза, либо включать по крайней мере одну пару прогрессий, которые имеют такую же разницу, Другие. Этот результат был предположен в 1950 году Полом Эрдёшем и вскоре после этого доказан Леоном Мирски и Дональдом Дж. Ньюманом . Однако Мирский и Ньюман так и не опубликовали свое доказательство. Такое же доказательство было независимо найдено Гарольдом Давенпортом и Ричардом Радо . [3]
В 1970 году на советской математической олимпиаде была поставлена задача геометрической раскраски, эквивалентная теореме Мирского – Ньюмана: предположим, что вершины правильного многоугольника раскрашены таким образом, что каждый цветовой класс сам образует вершины правильного многоугольника. Затем существуют два класса цветов, которые образуют конгруэнтные многоугольники. [3]
Рекомендации
- ^ Herzog, M .; Шёнхейм, Дж. (1974), "Исследовательская задача № 9", Canadian Mathematical Bulletin , 17 : 150. Цитируется Sun (2004) .
- ^ Sun, Zhi-Wei (2004), «О гипотезе Герцога-Шёнхейма для равномерных покрытий групп», Journal of Algebra , 273 (1): 153–175, arXiv : math / 0306099 , doi : 10.1016 / S0021-8693 ( 03) 00526-X , Руководство по ремонту 2032455.
- ^ а б Сойфер, Александр (2008), «Глава 1. История цветных многоугольников и арифметических прогрессий», The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colourful Life of its Creators , New York: Springer, pp. 1–9, ISBN 978-0-387-74640-1.