Ряд Гильберта и многочлен Гильберта

В коммутативной алгебре , то функция Гильберта , то многочлен Гильберта , и ряд Гильберта из градуированной коммутативной алгебры конечно порожденной над полем три тесно связаны понятиями , которые измеряют рост размерности однородных компонент алгебры.

Эти понятия были распространены на фильтрованные алгебры и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами .

Типичные ситуации, в которых используются эти понятия, следующие:

• Фактор однородного идеала в виде многомерного многочлена кольца , градуированный по полной степени.
• Фактор по идеалу многомерного кольца многочленов, отфильтрованный по полной степени.
• Фильтрация локального кольца по степеням его максимального идеала . В этом случае многочлен Гильберта называется многочленом Гильберта – Самуэля .

Гильберт серия алгебры или модуля является частным случаем ряда Гильберта-Пуанкар одного градуированного векторного пространства .

Многочлен Гильберта и ряды Гильберта важны в вычислительной алгебраической геометрии , поскольку они являются самым простым известным способом вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, определяемого явными полиномиальными уравнениями. Кроме того, они предоставляют полезные инварианты для семейств алгебраических многообразий, потому что плоское семейство имеет один и тот же многочлен Гильберта над любой замкнутой точкой . Это используется в построении схемы Гильберта и схемы Quot .${\ displaystyle \ pi: X \ to S}$${\ displaystyle s \ in S}$

Определения и основные свойства [ править ]

Рассмотрим конечно порожденную градуированную коммутативную алгебру S над полем K , конечно порожденную элементами положительной степени. Это значит, что

${\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {я \ geq 0} S_ {я}}$

и это .${\ displaystyle S_ {0} = K}$

Функция Гильберта

${\ Displaystyle HF_ {S}: п \ longmapsto \ dim _ {K} S_ {n}}$

отображает целое число n в размерность K- векторного пространства S _n . Ряд Гильберта, который в более общем контексте градуированных векторных пространств называется рядами Гильберта – Пуанкаре , является формальным рядом

${\ Displaystyle HS_ {S} (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} HF_ {S} (n) t ^ {n}.}$

Если S порождается h однородными элементами положительных степеней , то сумма ряда Гильберта является рациональной дробью${\ displaystyle d_ {1}, \ ldots, d_ {h}}$

${\ displaystyle HS_ {S} (t) = {\ frac {Q (t)} {\ prod _ {i = 1} ^ {h} \ left (1-t ^ {d_ {i}} \ right)} },}$

где Q - многочлен с целыми коэффициентами.

Если S порождается элементами степени 1, то сумма ряда Гильберта может быть переписана как

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

где Р есть многочлен с целыми коэффициентами, и это размерность Крулля из S .${\displaystyle \delta }$

В этом случае разложение этой рациональной дроби в ряд будет

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)}$

где

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}}$

является биномиальным коэффициентом для и равен 0 в противном случае.${\displaystyle n>-\delta ,}$

Если

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

коэффициент дюйма , таким образом ,${\displaystyle t^{n}}$${\displaystyle HS_{S}(t)}$

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

Поскольку член индекса i в этой сумме является полиномом от n степени со старшим коэффициентом. Это показывает, что существует единственный полином с рациональными коэффициентами, который равен для достаточно большого n . Этот многочлен является многочленом Гильберта и имеет вид${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$${\displaystyle \delta -1}$${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$${\displaystyle HP_{S}(n)}$${\displaystyle HF_{S}(n)}$

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.}$

Наименьшее n ₀ такое, что при n ≥ n ₀ , называется гильбертовой регулярностью . Это может быть меньше чем .${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$${\displaystyle \deg P-\delta +1}$

Многочлен Гильберта является числовым многочленом , поскольку размеры являются целыми числами, но многочлен почти никогда не имеет целочисленных коэффициентов ( Schenck 2003 , стр. 41).

Все эти определения могут быть распространены на конечно порожденные градуированные модули над S с той лишь разницей, что множитель t ^m появляется в ряду Гильберта, где m - минимальная степень образующих модуля, которая может быть отрицательной.

Функция Гильберта , то ряд Гильберта и Гильберт многочлен из фильтрованной алгебры является ассоциированной градуированной алгеброй.

Гильберта многочлен проективного многообразия V в Р ^п определяется как многочлен Гильберта на однородное координатное кольцо из V .

Градуированная алгебра и кольца многочленов [ править ]

Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам являются типичными градуированными алгебрами. И наоборот, если S является градуированной алгеброй , порожденная над полем K по п однородных элементы г ₁ , ..., г _п степени 1, то отображение , которое посылает Й _я на г _я определяет гомоморфизм градуированных колец из на S . Его ядро является однородным идеалом I , и это определяет изоморфизм градуированной алгебры между и S .${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\displaystyle R_{n}/I}$

Таким образом, градуированные алгебры, порожденные элементами степени 1, являются с точностью до изоморфизма факторами колец многочленов по однородным идеалам. Поэтому в оставшейся части статьи мы ограничимся факторами колец многочленов по идеалам.

Свойства ряда Гильберта [ править ]

Аддитивность [ править ]

Ряды Гильберта и полиномы Гильберта аддитивны относительно точных последовательностей . Точнее, если

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

является точной последовательностью градуированных или отфильтрованных модулей, то мы имеем

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

а также

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Это сразу следует из того же свойства размерности векторных пространств.

Частное по ненулевому делителю [ править ]

Пусть A - градуированная алгебра и f - однородный элемент степени d в A, не являющийся делителем нуля . Тогда у нас есть

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Из аддитивности на точной последовательности

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

где стрелка с надписью f - это умножение на f , а это градуированный модуль, который получается из A сдвигом степеней на d , чтобы умножение на f имело степень 0. Это означает, что${\displaystyle A^{[d]}}$${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Ряд Гильберта и многочлен Гильберта кольца многочленов [ править ]

Ряд Гильберта кольца многочленов в неизвестном является ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

Отсюда следует, что многочлен Гильберта равен

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

Доказательство того, что ряд Гильберта имеет эту простую форму, получается путем рекурсивного применения предыдущей формулы для фактора по ненулевому делителю (здесь ) и замечая, что${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

Форма и размер рядов Гильберта [ править ]

Градуированная алгебра A, порожденная однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля нуль, если максимальный однородный идеал, то есть идеал, порожденный однородными элементами степени 1, нильпотентен . Отсюда следует, что размерность A как K- векторного пространства конечна, а ряд Гильберта A является многочленом P ( t ) такой, что P (1) равен размерности A как K- векторного пространства.

Если размерность Крулля A положительна, существует однородный элемент f степени один, который не является делителем нуля (фактически, почти все элементы степени один обладают этим свойством). Размерность Крулля A / (f) - это размерность Крулля A минус один.

Аддитивность рядов Гильберта показывает это . Итерируя это количество раз, равное размерности Крулля алгебры A , мы в конечном итоге получим алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой является многочленом P ( t ) . Это показывает , что ряд Гильберта А является${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

где многочлен Р ( т ) таково , что Р (1) ≠ 0 и d представляет размерность Крулля А .

Эта формула для ряда Гильберта означает, что степень многочлена Гильберта равна d , а его старший коэффициент равен .${\displaystyle {\frac {P(1)}{d!}}}$

Степень проективного многообразия и теорема Безу [ править ]

Ряд Гильберта позволяет нам вычислить степень алгебраического многообразия как значение числителя ряда Гильберта в 1. Это также дает довольно простое доказательство теоремы Безу .

Чтобы показать связь между степенью проективного алгебраического множества и рядом Гильберта, рассмотрим проективное алгебраическое множество V , определенное как множество нулей однородного идеала , где k - поле, и пусть будет кольцо регулярных функции на алгебраическом множестве.${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

В этом разделе не требуется ни неприводимости алгебраических множеств, ни простоты идеалов. Кроме того, поскольку ряды Гильберта не изменяются расширением поля коэффициентов, поле k предполагается, без ограничения общности, алгебраически замкнутым.

Размерности д из V равна размерности Крулля минус один из R , а степень V есть число точек пересечения, подсчитанных с учетом кратности, из V с пересечением гиперплоскостей в общем положении . Это предполагает существование в R , из стандартной последовательности из д + 1 однородных многочленов степени один. Из определения регулярной последовательности следует существование точных последовательностей${\displaystyle d}$ ${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

для Отсюда следует, что ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},}$

где это числитель рядов Гильберта R .${\displaystyle P(t)}$

Кольцо имеет размерность Крулля один и представляет собой кольцо регулярных функций проективного алгебраического множества размерности 0, состоящее из конечного числа точек, которые могут быть кратными. Как относится к стандартной последовательности, ни одна из этих точек не принадлежат к гиперплоскости уравнения Дополнения этой гиперплоскости является аффинным пространством , которое содержит Это делает в аффинное алгебраическое множество , которое имеет в своем кольце регулярных функций. Линейный многочлен не является делителем нуля в , поэтому имеется точная последовательность${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle h_{d}}$${\displaystyle h_{d}=0.}$${\displaystyle V_{0}.}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$${\displaystyle h_{d}-1}$${\displaystyle R_{1},}$

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

откуда следует, что

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

Здесь мы используем ряды Гильберта фильтрованных алгебр и тот факт, что ряд Гильберта градуированной алгебры также является ее рядом Гильберта как фильтрованной алгебры.

Таким образом , это артиново кольцо , которое является к -векторному пространством размерности P (1) , и Жордан-Гельдер теорема может быть использован для доказательства того, что Р (1) , является степенью алгебраического множества V . Фактически, кратность точки - это количество вхождений соответствующего максимального идеала в композиционный ряд .${\displaystyle R_{0}}$

Для доказательства теоремы Безу можно поступить аналогично. Если - однородный многочлен степени , не являющийся делителем нуля в R , точная последовательность ${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

показывает, что

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

Если посмотреть на числители, это доказывает следующее обобщение теоремы Безу:

Теорема - Если F является однородным многочленом степени , которая не является делителем нуля в R , то степень пересечения V с гиперповерхности , определенной является произведением степени V по${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta .}$

В более геометрической форме это можно переформулировать так:

Теорема. Если проективная гиперповерхность степени d не содержит неприводимой компоненты алгебраического множества степени δ , то степень их пересечения равна dδ .

Обычная теорема Безу легко выводится, если начать с гиперповерхности и пересечь ее с n - 1 другими гиперповерхностями, одной за другой.

Полное пересечение [ править ]

Проективное алгебраическое множество является полным пересечением, если его определяющий идеал порождается регулярной последовательностью . В этом случае существует простая явная формула для ряда Гильберта.

Пусть будет K однородные многочлены , соответственных степеней настройки один имеет следующие точные последовательности ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

Аддитивность рядов Гильберта влечет, таким образом,

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

Простая рекурсия дает

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.}$

Это показывает, что полное пересечение, определяемое регулярной последовательностью k многочленов, имеет коразмерность k , и что его степень является произведением степеней многочленов в последовательности.

Связь со свободными разрешениями [ править ]

Каждый градуированный модуль M над градуированным регулярным кольцом R имеет градуированную свободную резольвенту , что означает, что существует точная последовательность

${\displaystyle 0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,}$

где - градуированные свободные модули , а стрелки - градуированные линейные отображения нулевой степени.${\displaystyle L_{i}}$

Из аддитивности рядов Гильберта следует, что

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

Если - кольцо многочленов, и если известны степени базисных элементов, то формулы предыдущих разделов позволяют вывести из. Фактически, из этих формул следует, что если градуированный свободный модуль L имеет базис из h однородных элементов степени, то его ряд Гильберта равен ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle L_{i},}$${\displaystyle HS_{M}(t)}$${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.}$

Эти формулы можно рассматривать как способ вычисления рядов Гильберта. Это случается редко, поскольку в известных алгоритмах вычисление ряда Гильберта и вычисление свободного разрешения начинаются с одного и того же базиса Грёбнера , из которого ряд Гильберта может быть непосредственно вычислен с вычислительной сложностью не выше чем сложность вычисления свободного разрешения.

Вычисление рядов Гильберта и многочленов Гильберта [ править ]

Многочлен Гильберта легко выводится из ряда Гильберта (см. Выше ). В этом разделе описывается, как можно вычислить ряд Гильберта в случае частного кольца многочленов, отфильтрованного или градуированного по общей степени.

Итак , пусть K поле, быть полиномом кольцо и я идеал в R . Пусть H однородный идеал , порожденный однородными частями высшей степени элементов I . Если я однородно, то Н = I . Наконец , пусть Б будет базисом Грёбнера из I для мономиального упорядочения рафинирования полной степени частичного упорядочения и G (однородный) идеал , порожденный ведущих мономами элементов B .${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Вычисление ряда Гильберта основано на том факте, что фильтрованная алгебра R / I и градуированные алгебры R / H и R / G имеют один и тот же ряд Гильберта .

Таким образом, вычисление ряда Гильберта сводится посредством вычисления базиса Гребнера к той же задаче для идеала, порожденного одночленами, что обычно намного проще, чем вычисление базиса Гребнера. Вычислительная сложность всего расчета зависит главным образом от регулярности, что степень числителя рядов Гильберта. Фактически базис Грёбнера может быть вычислен линейной алгеброй над многочленами степени, ограниченной регулярностью.

Вычисление рядов Гильберта и многочленов Гильберта доступно в большинстве систем компьютерной алгебры . Например, как в Maple, так и в Magma эти функции называются HilbertSeries и HilbertPolynomial .

Обобщение на когерентные пучки [ править ]

В алгебраической геометрии градуированные кольца, порожденные элементами степени 1, образуют проективные схемы с помощью конструкции Proj, в то время как конечно порожденные градуированные модули соответствуют когерентным пучкам. Если это когерентный пучок над проективной схеме X , мы определим многочлен Гильберта как функции , где χ является эйлерова характеристика когерентного пучка, и в Серра твист . Эйлерова характеристика в этом случае является корректно определенным числом по теореме Гротендика о конечности .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$

Эта функция действительно является полиномом. ^[1] При больших m это согласуется с dim по теореме Серра об исчезновении . Если M - конечно порожденный градуированный модуль и связанный с ним когерентный пучок, два определения полинома Гильберта совпадают.${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$

Оцениваемые бесплатные разрешения [ править ]

Поскольку категория когерентных пучков на проективном многообразии эквивалентна категории градуированных модулей по модулю конечного числа градуированных частей, мы можем использовать результаты предыдущего раздела для построения многочленов Гильберта когерентных пучков. Например, полное пересечение нескольких степеней имеет разрешение${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

См. Также [ править ]

• Регулярность Кастельнуово – Мамфорда.
• Схема гильберта
• Схема котировки

Ссылки [ править ]

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии , Graduate Texts in Mathematics, 150 , New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 0-387-94268-8, MR  1322960.
• Шенк, Хэл (2003), Computational Algebraic Geometry , Cambridge : Cambridge University Press , CiteSeerX  10.1.1.57.7472 , ISBN 978-0-521-53650-9, Руководство по ремонту  0011360
• Стенли, Ричард (1978), "функции Гильберта градуированных алгебр", Успехи математических наук , 28 (1), стр 57-83,. DOI : 10,1016 / 0001-8708 (78) 90045-2 , МР  0485835.