Гипербола

В математике гипербола ( / h aɪ ˈ p ɜːr b ə l ə / ( слушать ) ; мн . гиперболы или гиперболы / - l iː / ( слушать ) ; прил . гиперболический / ˌ h aɪ p ər ˈ b ɒ l ɪ k / ( слушай ) ) — тип гладкой кривой, лежащей в плоскости, определяемый его геометрическими свойствами или уравнениями , для которых он является набором решений. Гипербола состоит из двух частей, называемых связанными компонентами или ответвлениями, которые являются зеркальным отражением друг друга и напоминают две бесконечные дуги . Гипербола — один из трех видов конического сечения , образованный пересечением плоскости и двойного конуса . (Другие конические сечения — парабола и эллипс . Окружность — частный случай эллипса.) Если плоскость пересекает обе половины двойного конуса, но не проходит через вершины конусов, то коника — гипербола. .

Каждая ветвь гиперболы имеет два плеча, которые становятся более прямыми (меньшая кривизна) дальше от центра гиперболы. Диагонально противоположные рукава, по одному от каждой ветви, в пределе стремятся к общей линии, называемой асимптотой этих двух рукавов. Таким образом, есть две асимптоты, пересечение которых находится в центре симметрии гиперболы, которую можно рассматривать как зеркальную точку, относительно которой каждая ветвь отражается, образуя другую ветвь. В случае кривой асимптотами являются две оси координат . ^[2]${\ Displaystyle у (х) = 1 / х}$

Гиперболы разделяют многие аналитические свойства эллипсов, такие как эксцентриситет , фокус и директриса . Как правило, соответствие может быть сделано не более чем изменением знака в каком-либо термине. Многие другие математические объекты берут свое начало в гиперболе, например, гиперболические параболоиды (седловидные поверхности), гиперболоиды («мусорные корзины»), гиперболическая геометрия ( знаменитая неевклидова геометрия Лобачевского ), гиперболические функции (sinh, ch, tanh и т. д.). .) и гировекторные пространства (геометрия, предложенная для использования как в теории относительностии квантовая механика , которая не является евклидовой ).

Слово «гипербола» происходит от греческого ὑπερβολή , означающего «свергнутый» или «чрезмерный», от которого также происходит английский термин гипербола . Гиперболы были открыты Менехмом при его исследованиях проблемы удвоения куба , но тогда назывались сечениями тупых конусов. ^[3] Термин «гипербола», как полагают, был придуман Аполлонием Пергским (ок. 262–ок. 190 до н. э.) в его окончательной работе о конических сечениях « Коники » . ^[4] Названия двух других общих конических сечений, эллипса и параболы ., происходят от соответствующих греческих слов «недостаточный» и «прикладной»; все три названия заимствованы из более ранней пифагорейской терминологии, которая относилась к сравнению стороны прямоугольников фиксированной площади с заданным отрезком линии. Прямоугольник может быть «приложен» к отрезку (то есть иметь равную длину), быть короче отрезка или превышать отрезок. ^[5]

Гипербола может быть определена геометрически как набор точек ( геометрическое место точек ) на евклидовой плоскости:

Гипербола — незамкнутая кривая с двумя ветвями, пересечение плоскости с обеими половинами двойного конуса . Плоскость не обязательно должна быть параллельна оси конуса; гипербола будет симметричной в любом случае.

Гипербола (красная): особенности

Гипербола: определение по расстояниям точек до двух фиксированных точек (фокусов).

Гипербола: определение с круговой направляющей

Вращение системы координат для описания прямоугольной гиперболы как графика функции

Три прямоугольные гиперболы с осями координат в качестве асимптот красного цвета: A = 1; пурпурный: А = 4; синий: А = 9${\ Displaystyle у = А / х}$

Гипербола: свойство директрисы

Гипербола: определение со свойством директрисы

Пучок коник с общей вершиной и общей полуширочайшей прямой кишкой

Гипербола: построение директрисы

Гипербола (красная): два вида конуса и две сферы Данделина d ₁ , d ₂

Гипербола: конструкция штифта и струны

Гипербола: поколение Штейнера

Гипербола y = 1/ x : поколение Штейнера

Гипербола: теорема о вписанном угле

Гипербола как аффинный образ единичной гиперболы

Гипербола как аффинный образ y = 1/ x

Построение касательной: асимптоты и P заданы → касательная

Точечное построение: даны асимптоты и P _{1 →} P ₂

Гипербола: касательная-асимптота-треугольник

Гипербола: полуоси a , b , линейный эксцентриситет c , полуширокая прямая кишка p

Гипербола: 3 свойства

Здесь a = b = 1 , что дает единичную гиперболу синего цвета и сопряженную гиперболу зеленого цвета, имеющих одни и те же красные асимптоты.

Гипербола: полярные координаты с полюсом = фокус

Гипербола: полярные координаты с полюсом = центр

Луч через единичную гиперболу в точке , где удвоенная площадь между лучом, гиперболой и -осью. Для точек на гиперболе ниже оси - площадь считается отрицательной.${\ Displaystyle х ^ {2} \ - \ у ^ {2} \ = \ 1}$${\ Displaystyle (\ сп \, а, \, \ зп \, а)}$${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle х}$${\ Displaystyle х}$

Гипербола: касательная делит пополам линии, проходящие через фокусы

Гипербола: середины параллельных хорд лежат на прямой.

Гипербола: середина хорды является серединой соответствующей хорды асимптоты.

Гипербола с ортооптическим (пурпурным)

Гипербола: полюс-полярное отношение

Синусоидальные спирали : равносторонняя гипербола ( n = −2 ), прямая ( n = −1 ), парабола ( n = −1/2 ), кардиоида ( n = 1/2 ), окружность ( n = 1 ) и лемниската Бернулли ( n = 2 ), где r ⁿ = −1 ⁿ cos nθ в полярных координатах и ​​их эквиваленты в прямоугольных координатах.

Центральная проекция кругов на сферу: центр проекции O находится внутри сферы, плоскость изображения красного цвета.
В качестве изображений кругов получаются круг (пурпурный), эллипсы, гиперболы и линии. Частный случай параболы в этом примере не фигурирует.
(Если бы центр O находился на сфере, все изображения кругов были бы кругами или линиями; см. стереографическую проекцию ).

Гиперболы как линии склонения на солнечных часах

Зона контакта горизонтальной ударной волны сверхзвукового самолета с плоской землей (желтая) является частью гиперболы, поскольку земля пересекает конус параллельно его оси.

Разделение угла на три части (AOB) с использованием гиперболы с эксцентриситетом 2 (желтая кривая)