Когда величина растет к сингулярности при конечном изменении (" сингулярность за конечное время "), говорят, что она претерпевает гиперболический рост . [1] Точнее, обратная функция имеет гиперболу как график и особенность в 0, что означает, что предел as бесконечен: любой подобный граф, как говорят, демонстрирует гиперболический рост.
Описание [ править ]
Если выход функции обратно пропорционален ее входу или обратно пропорционален разнице от заданного значения , функция будет демонстрировать гиперболический рост с особенностью в .
В реальном мире гиперболический рост создается определенными механизмами нелинейной положительной обратной связи . [2]
Сравнение с другими приростами [ править ]
Подобно экспоненциальному росту и логистическому росту , гиперболический рост очень нелинейен , но отличается в важных отношениях. Эти функции можно перепутать, поскольку экспоненциальный рост, гиперболический рост и первая половина логистического роста являются выпуклыми функциями ; однако их асимптотическое поведение (поведение при увеличении входных данных) резко отличается:
- логистический рост ограничен (имеет конечный предел, даже если время стремится к бесконечности),
- экспоненциальный рост возрастает до бесконечности, когда время стремится к бесконечности (но всегда конечен в течение конечного времени),
- гиперболический рост имеет особенность за конечное время (вырастает до бесконечности за конечное время).
Приложения [ править ]
Население [ править ]
Некоторые математические модели предполагают, что до начала 1970-х годов население мира претерпевало гиперболический рост (см., Например, « Введение в социальную макродинамику » Андрея Коротаева и др. ). Также было показано, что до 1970-х гг. Гиперболический рост мирового населения сопровождался квадратично-гиперболическим ростом мирового ВВП , и разработан ряд математических моделей, описывающих как это явление, так и выход Мировой Системы из режима обострения. наблюдается в последние десятилетия. Гиперболический рост мирового населения и квадратично-гиперболический рост мирового ВВПНаблюдаемые до 1970-х годов, Андрей Коротаев и его коллеги коррелируют с нелинейной положительной обратной связью второго порядка между демографическим ростом и технологическим развитием, описываемой цепочкой причинно-следственных связей: технологический рост приводит к увеличению пропускной способности земли для людей, что приводит к большему количеству людей, что приводит к большему количеству изобретателей, что, в свою очередь, ведет к еще большему технологическому росту и так далее. [3] Было также продемонстрировано, что гиперболические модели этого типа могут быть использованы для довольно точного описания общего роста планетарной сложности Земли с 4 миллиардов лет до нашей эры до настоящего времени. [4] Другие модели предполагают экспоненциальный рост, логистический рост или другие функции.
Теория массового обслуживания [ править ]
Другой пример гиперболического роста можно найти в теории массового обслуживания : среднее время ожидания случайно прибывающих клиентов гиперболически растет как функция среднего коэффициента загрузки сервера. Особенность в этом случае возникает, когда средний объем работы, поступающей на сервер, равен его вычислительной мощности. Если потребности в обработке превышают возможности сервера, тогда не существует четко определенного среднего времени ожидания, поскольку очередь может неограниченно расти. Практическое значение этого конкретного примера состоит в том, что для высоконагруженных систем очередей среднее время ожидания может быть чрезвычайно чувствительным к производительности обработки.
Кинетика ферментов [ править ]
Еще один практический пример гиперболического роста можно найти в кинетике ферментов . Когда скорость реакции (называемая скоростью) между ферментом и субстратом наносится в зависимости от различных концентраций субстрата, получается гиперболический график для многих более простых систем. Когда это происходит, считается, что фермент следует кинетике Михаэлиса-Ментен .
Математический пример [ править ]
Функция
демонстрирует гиперболический рост с особенностью в момент времени : в пределе as функция стремится к бесконечности.
В более общем смысле функция
демонстрирует гиперболический рост, где - коэффициент масштабирования .
Обратите внимание, что эту алгебраическую функцию можно рассматривать как аналитическое решение для дифференциала функции: [5]
Это означает, что при гиперболическом росте абсолютная скорость роста переменной x в момент t пропорциональна квадрату значения x в момент t.
Соответственно квадратично-гиперболическая функция выглядит следующим образом:
См. Также [ править ]
- Экспоненциальный рост
- Логистический рост
- Математическая особенность
Ссылки [ править ]
- Общий
- Александр В. Марков , Андрей В. Коротаев (2007). «Морское биоразнообразие фанерозоя следует гиперболической тенденции». Палеомир . Том 16. Выпуск 4. Страницы 311-318].
- Кремер, Майкл . 1993. «Рост населения и технологические изменения: один миллион до нашей эры до 1990 года», Ежеквартальный журнал экономики 108 (3): 681-716.
- Коротаев А. , Малков А., Халтурина Д. 2006. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мировой системы. Москва: УРСС. ISBN 5-484-00414-4 .
- Рейн Таагепера (1979) Люди, навыки и ресурсы: модель взаимодействия для роста мирового населения. Технологическое прогнозирование и социальные изменения 13, 13-30.
- Специфический
- ^ См., Например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мировой системы . М .: Издательство УРСС, 2006. С. 19-20.
- ^ См., Например, Александр В. Марков и Андрей В. Коротаев (2007). «Морское биоразнообразие фанерозоя следует гиперболической тенденции». Палеомир. Том 16. Выпуск 4. Страницы 311–318 .
- ^ См., Например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мировой системы . Москва: Издательство УРСС, 2006; Коротаев А.В. Компактная макромодель эволюции мировой системы // Journal of World-Systems Research 11/1 (2005): 79–93. Архивировано 25 сентября 2009 года в Wayback Machine ; для подробного математического анализа этой проблемы см . Компактную математическую модель экономического и демографического роста мировой системы, 1 CE - 1973 CE. «Международный журнал математических моделей и методов прикладных наук». 2016. Т. 10. С. 200-209 .
- ^ Сингулярность 21-го века и ее последствия для большой истории: повторный анализ . Журнал большой истории 2/3 (2018): 71 - 118.
- ^ См., Например, Коротаев А., Малков А., Халтурина Д. Введение в социальную макродинамику: компактные макромодели роста мировой системы . М .: Издательство УРСС, 2006. С. 118–123.