Межвременной CAPM

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Октябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Intertemporal CAPM»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Межвременные модель определения стоимости финансовых активов , или ICAPM , является альтернативой САРМ , представленной Робертом Мертоном . Это линейная факторная модель с богатством в качестве переменной состояния, которая прогнозирует изменения в распределении будущих доходов или доходов .

В ICAPM инвесторы принимают решения о потреблении на протяжении всего срока службы, когда сталкиваются с более чем одной неопределенностью. Основное различие между ICAPM и стандартным CAPM заключается в дополнительных переменных состояния, которые подтверждают тот факт, что инвесторы хеджируются от дефицита потребления или от изменений в наборе будущих инвестиционных возможностей.

Версия с непрерывным временем [ править ]

Мертон ^[1] рассматривает рынок с непрерывным временем в состоянии равновесия. Переменная состояния (X) следует броуновскому движению :

${\ displaystyle dX = \ mu dt + sdZ}$

Инвестор максимизирует свою полезность Фон Неймана-Моргенштерна :

${\ displaystyle E_ {o} \ left \ {\ int _ {o} ^ {T} U [C (t), t] dt + B [W (T), T] \ right \}}$

где T - временной горизонт, а B [W (T), T] - полезность от богатства (W).

У инвестора есть следующее ограничение на богатство (W). Пусть будет вес, вложенный в актив i. Потом:${\ displaystyle w_ {i}}$

${\ Displaystyle W (t + dt) = [W (t) -C (t) dt] \ sum _ {i = 0} ^ {n} w_ {i} [1 + r_ {i} (t + dt) ]}$

где - доходность актива i. Изменение богатства:${\ displaystyle r_ {i}}$

${\ Displaystyle dW = -C (t) dt + [W (t) -C (t) dt] \ сумма w_ {i} (t) r_ {i} (t + dt)}$

Мы можем использовать динамическое программирование для решения проблемы. Например, если мы рассмотрим серию задач с дискретным временем:

${\ displaystyle \ max E_ {0} \ left \ {\ sum _ {t = 0} ^ {T-dt} \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds + B [W (T), T] \ right \}}$

Тогда разложение Тейлора дает:

${\ displaystyle \ int _ {t} ^ {t + dt} U [C (s), s] ds = U [C (t), t] dt + {\ frac {1} {2}} U_ {t} [C (t ^ {*}), t ^ {*}] dt ^ {2} \ приблизительно U [C (t), t] dt}$

где - значение от t до t + dt.${\ Displaystyle т ^ {*}}$

Предполагая, что отдача следует за броуновским движением :

${\displaystyle r_{i}(t+dt)=\alpha _{i}dt+\sigma _{i}dz_{i}}$

с участием:

${\displaystyle E(r_{i})=\alpha _{i}dt\quad ;\quad E(r_{i}^{2})=var(r_{i})=\sigma _{i}^{2}dt\quad ;\quad cov(r_{i},r_{j})=\sigma _{ij}dt}$

Затем отмена сроков второго и выше порядка:

${\displaystyle dW\approx [W(t)\sum w_{i}\alpha _{i}-C(t)]dt+W(t)\sum w_{i}\sigma _{i}dz_{i}}$

Используя уравнение Беллмана , мы можем переформулировать проблему:

${\displaystyle J(W,X,t)=max\;E_{t}\left\{\int _{t}^{t+dt}U[C(s),s]ds+J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}}$

при условии ограничения богатства, указанного ранее.

Используя лемму Ито, мы можем переписать:

${\displaystyle dJ=J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]=J_{t}dt+J_{W}dW+J_{X}dX+{\frac {1}{2}}J_{XX}dX^{2}+{\frac {1}{2}}J_{WW}dW^{2}+J_{WX}dXdW}$

и ожидаемое значение:

${\displaystyle E_{t}J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_{t}dt+J_{W}E[dW]+J_{X}E(dX)+{\frac {1}{2}}J_{XX}var(dX)+{\frac {1}{2}}J_{WW}var[dW]+J_{WX}cov(dX,dW)}$

После некоторой алгебры ^[2] у нас есть следующая целевая функция:

${\displaystyle max\left\{U(C,t)+J_{t}+J_{W}W[\sum _{i=1}^{n}w_{i}(\alpha _{i}-r_{f})+r_{f}]-J_{W}C+{\frac {W^{2}}{2}}J_{WW}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{i}w_{j}\sigma _{ij}+J_{X}\mu +{\frac {1}{2}}J_{XX}s^{2}+J_{WX}W\sum _{i=1}^{n}w_{i}\sigma _{iX}\right\}}$

где безрисковая доходность. Условия первого порядка:${\displaystyle r_{f}}$

${\displaystyle J_{W}(\alpha _{i}-r_{f})+J_{WW}W\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{*}\sigma _{ij}+J_{WX}\sigma _{iX}=0\quad i=1,2,\ldots ,n}$

В матричной форме мы имеем:

${\displaystyle (\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })={\frac {-J_{WW}}{J_{W}}}\Omega w^{*}W+{\frac {-J_{WX}}{J_{W}}}cov_{rX}}$

где есть вектор ожидаемой доходности, ковариационная матрица возвращений, единство вектора ковариации между доходами и переменным состоянием. Оптимальный вес:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathbf {1} }}$${\displaystyle cov_{rX}}$

${\displaystyle {\mathbf {w} ^{*}}={\frac {-J_{W}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}(\alpha -r_{f}{\mathbf {1} })-{\frac {J_{WX}}{J_{WW}W}}\Omega ^{-1}cov_{rX}}$

Обратите внимание, что межвременная модель обеспечивает те же веса, что и CAPM . Ожидаемую доходность можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \alpha _{i}=r_{f}+\beta _{im}(\alpha _{m}-r_{f})+\beta _{ih}(\alpha _{h}-r_{f})}$

где m - рыночный портфель, а ha - портфель для хеджирования переменной состояния.

См. Также [ править ]

• Выбор межвременного портфеля

Ссылки [ править ]

• Мертон, Р. К. (1973), Модель межвременного ценообразования капитальных активов. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (сентябрь 1973 г.), стр. 867–887
• "Эффективность многофакторного портфеля и многофакторное ценообразование активов" Юджина Ф. Фамы, ( Журнал финансового и количественного анализа ), Vol. 31, No. 4, декабрь 1996 г.