Аналогия импеданса представляет собой метод , представляющие собой механическую систему с помощью аналогичной электрической системы. Преимущество этого состоит в том, что существует большой объем теории и методов анализа сложных электрических систем, особенно в области фильтров . [1] Путем преобразования в электрическое представление эти инструменты в области электричества могут быть напрямую применены к механической системе без изменений. Еще одно преимущество электромеханических систем : преобразование механической части такой системы в электрическую область позволяет анализировать всю систему как единое целое.
Математическое поведение смоделированной электрической системы идентично математическому поведению представленной механической системы. Каждый элемент в электрической области имеет соответствующий элемент в механической области с аналогичным определяющим уравнением . Все законы анализа схем , такие как законы схем Кирхгофа , которые применяются в электрической области, также применимы к аналогии с механическим импедансом.
Аналогия импеданса - одна из двух основных механико-электрических аналогий, используемых для представления механических систем в электрической области, другая - аналогия мобильности . Роли напряжения и тока в этих двух методах меняются местами, и получаемые электрические представления представляют собой двойные цепи друг друга. Аналогия с импедансом сохраняет аналогию между электрическим импедансом и механическим импедансом, тогда как аналогия с подвижностью - нет. С другой стороны, аналогия мобильности сохраняет топологию механической системы при переносе в электрическую область, тогда как аналогия импеданса - нет.
Приложения
Аналогия импеданса широко используется для моделирования поведения механических фильтров . Это фильтры, которые предназначены для использования в электронных схемах, но работают исключительно за счет механических колебательных волн. Датчики предусмотрены на входе и выходе фильтра для преобразования между электрическими и механическими доменами. [2]
Еще одно очень распространенное применение - это звуковое оборудование, такое как громкоговорители. Громкоговорители состоят из преобразователя и механических движущихся частей. Сами акустические волны - это волны механического движения: молекул воздуха или другой жидкой среды. Самым ранним применением этого типа было существенное улучшение ужасных звуковых характеристик фонографов . В 1929 году Эдвард Нортон сконструировал механические части фонографа так, чтобы они вели себя как максимально плоский фильтр, опередив электронный фильтр Баттерворта . [3]
Элементы
Прежде чем можно будет разработать электрическую аналогию для механической системы, ее необходимо сначала описать как абстрактную механическую сеть . Механическая система разбита на ряд идеальных элементов, каждый из которых затем может быть соединен с электрическим аналогом. [4] Символы, используемые для этих механических элементов на схемах сети, показаны в следующих разделах для каждого отдельного элемента.
Механические аналогии с сосредоточенными электрическими элементами также являются сосредоточенными элементами , то есть предполагается, что механический компонент, обладающий элементом, достаточно мал, чтобы время, необходимое механическим волнам для распространения от одного конца компонента к другому, можно не учитывать. Можно также разработать аналогии для распределенных элементов, таких как линии передачи, но наибольшие преимущества имеют схемы с сосредоточенными элементами. Механические аналогии необходимы для трех пассивных электрических элементов, а именно сопротивления , индуктивности и емкости . Каковы эти аналогии, определяется тем, какое механическое свойство выбрано для представления «усилия», аналогии напряжения и свойства, выбранного для представления «потока», аналогии тока . [5] В аналогии с импедансом переменной усилия является сила, а переменной потока - скорость . [6]
Сопротивление
Механическая аналогия электрического сопротивления - это потеря энергии движущейся системы из-за таких процессов, как трение . Механический компонент, аналогичный резистору, является амортизатором, а свойство, аналогичное сопротивлению, - демпфирование . Резистор регулируется основным уравнением закона Ома ,
Аналогичное уравнение в механической области:
- где,
- сопротивление
- напряжение
- в настоящее время
- механическое сопротивление или демпфирование
- это сила
- скорость, индуцированная силой. [6]
Электрическое сопротивление представляет собой действительную часть от электрического импеданса . Точно так же механическое сопротивление - это реальная часть механического сопротивления . [8]
Индуктивность
Механическая аналогия индуктивности в аналогии импеданса - это масса . Механический компонент, аналогичный индуктору, представляет собой большой жесткий груз. Катушка индуктивности регулируется основным уравнением:
Аналогичное уравнение в механической области - второй закон движения Ньютона :
- где,
- индуктивность
- время
- масса [6]
Полное сопротивление катушки индуктивности чисто мнимое и определяется выражением
Аналогичный механический импеданс определяется выражением
- где,
- это электрическое сопротивление
- это мнимая единица
- это угловая частота
- механическое сопротивление. [10]
Емкость
Механическая аналогия емкости в аналогии импеданса - податливость. В механике чаще обсуждают жесткость , обратную податливости. Аналогом жесткости в электрической области является менее часто используемая упругость , обратная емкости. [12] Механический компонент, аналогичный конденсатору, представляет собой пружину . [13] Конденсатор регулируется основным уравнением:
Аналогичное уравнение в механической области является формой закона Гука ,
- где,
- эластичность
- это емкость
- жесткость
Импеданс конденсатора чисто мнимый и определяется как
Аналогичный механический импеданс определяется выражением
В качестве альтернативы можно написать:
- где,
- механическая податливость
что более прямо аналогично электрическому выражению при использовании емкости. [14]
Резонатор
Механический резонатор состоит из элемента массы и элемента податливости. Механические резонаторы аналогичны электрическим LC-цепям, состоящим из индуктивности и емкости. Настоящие механические компоненты неизбежно имеют как массу, так и податливость, поэтому с практической точки зрения целесообразно делать резонаторы как единый компонент. Фактически, сложнее получить чистую массу или чистую податливость как отдельный компонент. Пружина может быть изготовлена с определенной податливостью и минимальной массой, или масса может быть сделана с минимальной податливостью, но ни то, ни другое нельзя полностью исключить. Механические резонаторы - ключевой компонент механических фильтров. [15]
Генераторы
Существуют Аналоги для активных электрических элементов источника напряжения и источник тока (генераторы). Механический аналог в аналоге импеданса генератора постоянного напряжения - генератор постоянной силы. Механическим аналогом генератора постоянного тока является генератор постоянной скорости. [18]
Примером генератора постоянной силы является пружина постоянной силы . Это аналогично реальному источнику напряжения, такому как батарея, которая остается близкой к постоянному напряжению с нагрузкой, при условии, что сопротивление нагрузки намного выше, чем внутреннее сопротивление батареи. Примером практического генератора постоянной скорости является легконагруженная мощная машина, такая как двигатель , приводящий в движение ремень . [19]
Преобразователи
Электромеханические системы требуют преобразователей для преобразования между электрической и механической областями. Они аналогичны двухпортовым сетям и могут быть описаны парой одновременных уравнений и четырьмя произвольными параметрами. Существует множество возможных представлений, но форма, наиболее подходящая для аналогии с импедансом, имеет произвольные параметры в единицах импеданса. В матричной форме (с электрической стороной, взятой как порт 1) это представление выглядит следующим образом:
Элемент - это механический импеданс разомкнутой цепи, то есть импеданс, представленный механической стороной преобразователя, когда ток (разомкнутая цепь) не поступает на электрическую сторону. Элемент, наоборот, это зафиксированный электрический импеданс, то есть импеданс, передаваемый на электрическую сторону, когда механическая сторона зажата и не может двигаться (скорость равна нулю). Остальные два элемента, а также , опишите функции прямого и обратного преобразования преобразователя соответственно. Оба они аналогичны передаточным сопротивлениям и представляют собой гибридные отношения электрической и механической величин. [20]
Трансформеры
Механическая аналогия трансформатора - это простая машина, такая как шкив или рычаг . Сила, приложенная к нагрузке, может быть больше или меньше входящей силы в зависимости от того, больше ли механическое преимущество машины или меньше единицы соответственно. Механическое преимущество аналогично соотношению витков трансформатора в аналогии импеданса. Механическое преимущество больше единицы аналогично повышающему трансформатору, а меньше единицы аналогично понижающему трансформатору. [21]
Уравнения мощности и энергии
Количество электричества | Электрическое выражение | Механическая аналогия | Механическое выражение |
---|---|---|---|
Поставленная энергия | Поставленная энергия | ||
Поставляемая мощность | Поставляемая мощность | ||
Рассеивание мощности в резисторе | Рассеивание мощности в демпфере [7] | ||
Энергия, запасенная в магнитном поле индуктора | Кинетическая энергия движущейся массы [22] | ||
Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора | Потенциальная энергия, запасенная в пружине [22] |
Примеры
Простой резонансный контур
На рисунке показано механическое устройство платформы массы. который подвешен над основанием пружиной жесткости и демпфер сопротивления . Эквивалентная схема аналогии импеданса показана справа от этой схемы и состоит из последовательного резонансного контура . Эта система имеет резонансную частоту и может иметь собственную частоту колебаний, если не слишком сильно затухает. [23]
Модель человеческого уха
На принципиальной схеме показана модель человеческого уха по аналогии с импедансом . За разрезом слухового прохода следует трансформатор, представляющий барабанную перепонку . Барабанная перепонка является преобразователем между акустическими волнами в воздухе в слуховом проходе и механическими колебаниями в костях среднего уха. В улитке происходит еще одно изменение среды от механических колебаний к жидкости, заполняющей улитку. Таким образом, этот пример демонстрирует силу электрических аналогий в объединении трех областей (акустической, механической и потока жидкости) в единое целое. Если бы нервные импульсы, поступающие в мозг, также были включены в модель, то электрический домен образовал бы четыре домена, охватываемых моделью.
В части схемы улитки используется анализ методом конечных элементов непрерывной линии передачи канала улитки. Идеальное представление такой структуры должно было бы использовать бесконечно малые элементы, а значит, их было бы бесконечное количество. В этой модели улитка разделена на 350 секций, и каждая секция моделируется с использованием небольшого количества сосредоточенных элементов. [24]
Преимущества и недостатки
Основное преимущество аналогии импеданса перед ее альтернативой, аналогией мобильности , состоит в том, что она поддерживает аналогию между электрическим и механическим импедансом. То есть механический импеданс представлен как электрический импеданс, а механическое сопротивление представлено как электрическое сопротивление в электрической эквивалентной схеме. Также естественно думать, что сила аналогична напряжению ( напряжения генератора часто называют электродвижущей силой ), а скорость аналогична току. Именно эта основная аналогия приводит к аналогии между электрическим и механическим сопротивлением. [25]
Принципиальным недостатком аналогии с импедансом является то, что она не сохраняет топологию механической системы. Элементы, включенные последовательно в механической системе, параллельны в электрической эквивалентной схеме и наоборот. [26]
Матрица импеданса преобразователя преобразует силу в механической области в ток в электрической области. Точно так же скорость в механической области преобразуется в напряжение в электрической области. Двухпортовое устройство, преобразующее напряжение в аналогичную величину, можно представить как простой трансформатор. Устройство, преобразующее напряжение в аналог двойственного свойства напряжения (то есть ток, аналогом которого является скорость), представлено как гиратор . [27] Поскольку сила аналогична напряжению, а не току, это может показаться недостатком на первый взгляд. Однако многие практические преобразователи, особенно на звуковых частотах , работают за счет электромагнитной индукции и регулируются именно таким соотношением. [28] Например, сила, действующая на проводник с током, определяется выражением
- где,
- это плотность магнитного потока
- длина проводника
История
Аналогию импеданса иногда называют аналогией Максвелла [29] в честь Джеймса Клерка Максвелла (1831–1879), который использовал механические аналогии для объяснения своих идей об электромагнитных полях. [30] Однако термин импеданс не был введен до 1886 года ( Оливер Хевисайд ), [31] идея комплексного импеданса была введена Артуром Э. Кеннелли в 1893 году, а понятие импеданса не было распространено на механическую сферу до тех пор, пока 1920 Кеннелли и Артур Гордон Вебстер . [32]
Анри Пуанкаре в 1907 году первым описал преобразователь как пару линейных алгебраических уравнений, связывающих электрические переменные (напряжение и ток) с механическими переменными (сила и скорость). [33] Вегель в 1921 году первым выразил эти уравнения в терминах механического сопротивления, а также электрического сопротивления. [34]
Рекомендации
- Перейти ↑ Talbot-Smith, p. 1,86
- Перейти ↑ Carr, pp. 170–171
- ^ Дарлингтон, стр. 7
- Харрисон
- Перейти ↑ Kleiner, pp. 69–70
- ^ Busch-Вишняк, стр. 20
- ^ a b c Talbot-Smith, стр. 1.85–1.86
- ^ a b c d Eargle, стр. 4
- ^ а б Кляйнер, стр. 71
- Перейти ↑ Kleiner, p. 74
- Перейти ↑ Kleiner, pp. 73–74
- Перейти ↑ Kleiner, p. 73
- ^ Пайпс и Харвилл, стр. 187
- Перейти ↑ Kleiner, p. 73
- Перейти ↑ Kleiner, pp. 72–73
- ^ Тэйлор и Хуанг, стр. 377-383
- Перейти ↑ Kleiner, p. 76
- Беранек и Меллоу, стр. 70
- Перейти ↑ Kleiner, p. 77
- Беранек и Меллоу, стр. 70
- Перейти ↑ Kleiner, pp. 76–77
- Перейти ↑ Kleiner, p. 77
- ↑ Джексон, стр. 16–17
- Пайк, стр. 572
- Перейти ↑ Kleiner, pp. 74–76
- Беранек и Меллоу, стр. 76–77.
- ^ a b Талбот-Смит, стр. 1,86
- ^ Eargle, стр. 3-4
- ^ Fukazawa & Танака, стр. 191-192
- ^ Busch-Вишняк, стр. 20
- ^ Busch-Вишняк, стр. 20-21
- Eargle, стр. 4–5.
- ^ Beranek & Mellow, стр. 70-71
- ^ Eargle, стр. 5-7
- ^ Busch-Вишняк, стр. 20
- ^ Стивенс и Бейт, стр. 421
- ^ Martinsen & Grimnes, стр. 287
- ^ Хант стр. 66
- ^ Пирс, стр. 200, цитирует Пуанкаре
- ^ Хант, стр. 66
- Пирс, стр. 200, цитирует Вегеля
Библиография
- Беранек, Лео Лерой; Меллоу, Тим Дж., Акустика: звуковые поля и преобразователи , Academic Press, 2012 ISBN 0123914213 .
- Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и приводы , Springer Science & Business Media, 1999 ISBN 038798495X .
- Карр, Джозеф Дж., Радиочастотные компоненты и схемы , Newnes, 2002. ISBN 0-7506-4844-9 .
- Дарлингтон, С. "История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов" , IEEE Transactions on Circuits and Systems , vol. 31, нет. 1. С. 3–13, 1984.
- Эргл, Джон, Справочник по громкоговорителю , Kluwer Academic Publishers, 2003 г. ISBN 1402075847 .
- Фукадзава, Тацуя; Танака, Ясуо, «Вызванная отоакустическая эмиссия в модели улитки», стр. 191–196 в Hohmann, D. (ed), ECoG, OAE и интраоперационный мониторинг: материалы Первой международной конференции, Вюрцбург, Германия, 20–24 сентября. , 1992 , Публикации Куглера, 1993 ISBN 9062990975 .
- Харрисон, Генри К. «Акустическое устройство», патент США 1730425 , поданный 11 октября 1927 г. (и в Германии 21 октября 1923 г.), выданный 8 октября 1929 г.
- Хант, Фредерик В., Электроакустика: анализ трансдукции и ее исторический фон , Harvard University Press, 1954. OCLC 2042530 .
- Джексон, Роджер Г., Новые датчики и зондирование , CRC Press, 2004 ISBN 1420033808 .
- Кляйнер, Мендель, Электроакустика , CRC Press, 2013 ISBN 1439836183 .
- Martinsen, Orjan G .; Гримнес, Сверре, Основы биоимпеданса и биоэлектричества , Academic Press, 2011 ISBN 0080568807 .
- Пайк, Х.Дж., "Акселерометры сверхпроводимости, преобразователи гравитационных волн и градиентометры силы тяжести", стр. 569–598, в Вайнстоке, Гарольд, Датчики SQUID: основы, изготовление и применение , Springer Science & Business Media, 1996 г. ISBN 0792343506 .
- Пирс, Аллан Д., Акустика: введение в ее физические принципы и приложения , Акустическое общество Америки, 1989 г. ISBN 0883186128 .
- Pipes, Louis A .; Харвилл, Лоуренс Р., Прикладная математика для инженеров и физиков , Courier Dover Publications, 2014 г. ISBN 0486779513 .
- Пуанкаре, Х., "Исследование телефонного приема", Eclairage Electrique , vol. 50. С. 221–372, 1907.
- Стивенс, Раймонд Уильям Барроу; Бейт, А.Е., Акустика и физика колебаний , Эдвард Арнольд, 1966 г. OCLC 912579 .
- Талбот-Смит, Майкл, Справочник звукоинженера , Тейлор и Фрэнсис, 2013 г. ISBN 1136119736 .
- Тейлор, Джон; Хуанг, Цютин, Справочник CRC по электрическим фильтрам , CRC Press, 1997 г. ISBN 0849389518 .
- Вегель, Р.Л., "Теория магнитомеханических систем применительно к телефонным приемникам и аналогичным структурам", Журнал Американского института инженеров-электриков , вып. 40. С. 791–802, 1921.