Подразумеваемая волатильность

В финансовой математике , то подразумеваемая волатильность ( IV ) из опции контракта является то , что величина волатильность от базового инструмента , который, когда вход в модели ценообразования опционов (например, Black-Scholes ), будет возвращать теоретическое значение , равный ток рыночная цена указанного опциона. Неопционный финансовый инструмент , имеющий встроенную возможность, например ограничение процентной ставки , также может иметь подразумеваемую волатильность. Подразумеваемая волатильность, прогнозный и субъективный показатель, отличается от исторической волатильности, поскольку последняя рассчитывается на основе известных прошлых доходностейбезопасность . Чтобы понять, где находится подразумеваемая волатильность с точки зрения базового актива, используется рейтинг подразумеваемой волатильности, чтобы понять ее подразумеваемую волатильность от годового максимума и минимума IV.

Мотивация [ править ]

Модель ценообразования опционов, такая как модель Блэка – Шоулза, использует различные исходные данные для получения теоретической стоимости опциона. Входные данные для моделей ценообразования различаются в зависимости от типа оцениваемой опции и используемой модели ценообразования. Однако, как правило, стоимость опциона зависит от оценки волатильности будущей реализованной цены, σ, базового актива. Или математически:

${\ Displaystyle С = е (\ сигма, \ cdot) \,}$

где C - теоретическая стоимость опциона, а f - модель ценообразования, которая зависит от σ наряду с другими исходными данными.

Функция F является монотонно возрастающим в а, а это означает , что более высокое значение результатов волатильность в более высокой теоретической стоимости опциона. С другой стороны , по теореме обратной функции , может быть не более чем одно значение для а , что, когда применяется в качестве входа , приведет к определенному значению для C .${\ Displaystyle е (\ сигма, \ cdot) \,}$

Другими словами, предположим, что существует некоторая обратная функция g = f ⁻¹ такая, что

${\ displaystyle \ sigma _ {\ bar {C}} = g ({\ bar {C}}, \ cdot) \,}$

где - рыночная цена опциона. Ценность - это волатильность, подразумеваемая рыночной ценой , или подразумеваемая волатильность .${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {C}} \,}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ bar {C}} \,}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {C}} \,}$

Как правило, невозможно дать формулу в закрытой форме для предполагаемой волатильности с точки зрения цены колл. Однако в некоторых случаях (большой страйк, низкий страйк, короткий срок истечения, большой срок истечения) можно дать асимптотическое расширение подразумеваемой волатильности с точки зрения цены колл. ^[1]

Пример [ править ]

Вариант европейского вызова , на одну акции не-дивиденд высокооплачиваемого X Co поражен в $ 50 и истекает через 32 дней. Процентная ставка без риска составляет 5%. Акции XYZ в настоящее время торгуются по 51,25 доллара, а текущая рыночная цена составляет 2 доллара. При использовании стандартной модели ценообразования Блэка – Шоулза волатильность, подразумеваемая рыночной ценой, составляет 18,7%, или:${\ displaystyle C_ {XYZ}}$${\ displaystyle C_ {XYZ}}$${\ displaystyle C_ {XYZ}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ bar {C}} = g ({\ bar {C}}, \ cdot) = 18,7 \%}$

Для проверки мы применяем подразумеваемую волатильность к модели ценообразования f и получаем теоретическое значение в 2 0004 доллара:

${\ Displaystyle C_ {theo} = е (\ sigma _ {\ bar {C}}, \ cdot) = \ $ 2.0004}$

что подтверждает наш расчет подразумеваемой волатильности рынка.

Решение функции обратной модели ценообразования [ править ]

В общем, функция модели ценообразования f не имеет решения в замкнутой форме для своей обратной функции, g . Вместо этого для решения уравнения часто используется метод поиска корней :

${\ displaystyle f (\ sigma _ {\ bar {C}}, \ cdot) - {\ bar {C}} = 0 \,}$

Хотя существует много методов для нахождения корней, два из наиболее часто используется метод Ньютона и метод Брента . Поскольку цены опционов могут двигаться очень быстро, часто важно использовать наиболее эффективный метод при расчете подразумеваемой волатильности.

Метод Ньютона обеспечивает быструю сходимость; однако для этого требуется первая частная производная от теоретической стоимости опциона по волатильности; то есть, который также известен как Вега (см . Греки ). Если функция модели ценообразования дает решение в замкнутой форме для веги , что имеет место в модели Блэка – Шоулза , то метод Ньютона может быть более эффективным. Однако для большинства практичных моделей ценообразования, таких как биномиальная модель , это не так, и вегу необходимо вычислять численно. Когда вынуждают искать вегу${\ displaystyle {\ frac {\ partial C} {\ partial \ sigma}} \,}$численно можно использовать метод Кристофера и Салкина или, для более точного расчета подразумеваемой волатильности вне денег, можно использовать модель Коррадо-Миллера. ^[2]

В частности, в случае модели Блэка [-Шоулза-Мертона] метод Джекеля "Let's Be Rational" ^[3] вычисляет подразумеваемую волатильность до полностью достижимой (стандартной 64-битной с плавающей запятой) машинной точности для всех возможных входных значений за субмикросекунду. время. Алгоритм включает начальное предположение, основанное на согласованных асимптотических разложениях, плюс (всегда точно) два шага улучшения Хаусхолдера (порядка сходимости 4), что делает эту процедуру трехэтапной (т. Е. Неитеративной) процедурой. Эталонная реализация ^[4] на C ++ находится в свободном доступе. Помимо вышеупомянутых методов поиска корня , существуют также методы, которые напрямую аппроксимируют многомерную обратную функцию . Часто они основаны на многочленах илирациональные функции . ^[5]

Для модели Башелье («нормальной», в отличие от «логнормальной») модели, Jaeckel ^[6] опубликовал полностью аналитическую и сравнительно простую двухэтапную формулу, которая дает полностью достижимую (стандартную 64-битную с плавающей запятой) машинную точность для всех возможных входных значений. .

Параметризация подразумеваемой волатильности [ править ]

С появлением параметризации больших данных и науки о данных подразумеваемая волатильность приобрела центральное значение для целей согласованной интерполяции и экстраполяции. Классическими моделями являются модели SABR и SVI с их расширением IVP. ^[7]

Подразумеваемая волатильность как мера относительной стоимости [ править ]

Как заявил Брайан Бирн, подразумеваемая волатильность опциона является более полезным показателем относительной стоимости опциона, чем его цена. Причина в том, что цена опциона напрямую зависит от цены его базового актива. Если опцион удерживается как часть дельта-нейтрального портфеля (то есть портфеля, который застрахован от небольших колебаний цены базового актива), то следующим по важности фактором при определении стоимости опциона будет его подразумеваемая волатильность. Подразумеваемая волатильность настолько важна, что опционы часто котируются с точки зрения волатильности, а не цены, особенно среди профессиональных трейдеров.

Пример [ править ]

Опцион колл торгуется по цене 1,50 доллара США, а базовая цена - 42,05 доллара США. Предполагаемая волатильность опциона составляет 18,0%. Спустя некоторое время опцион торгуется по 2,10 доллара с базовым курсом по 43,34 доллара, что дает предполагаемую волатильность 17,2%. Несмотря на то, что цена опциона выше при втором измерении, он все равно считается более дешевым из-за волатильности. Причина в том, что базовый актив, необходимый для хеджирования опциона колл, может быть продан по более высокой цене.

Как цена [ править ]

Еще один способ взглянуть на подразумеваемую волатильность - это рассматривать ее как цену, а не как меру будущих движений акций. С этой точки зрения, это просто более удобный способ сообщить цены опционов, чем валюта. Цены отличаются по своей природе от статистических величин: можно оценить волатильность будущей базовой доходности, используя любой из большого количества методов оценки; тем не менее, первое - это не цена. Цена требует двух контрагентов, покупателя и продавца. Цены определяются спросом и предложением. Статистические оценки зависят от временных рядов и математической структуры используемой модели. Ошибочно путать цену, которая подразумевает транзакцию, с результатом статистической оценки, которая является всего лишь результатом вычислений. Под подразумеваемой волатильностью понимаются цены:они были получены из реальных транзакций. В этом свете неудивительно, что подразумеваемая волатильность может не соответствовать тому, что предсказывает конкретная статистическая модель.

Однако вышеприведенная точка зрения игнорирует тот факт, что значения подразумеваемой волатильности зависят от модели, используемой для их расчета: разные модели, применяемые к одним и тем же ценам рыночных опционов, будут давать разные подразумеваемые волатильности. Таким образом, если кто-то принимает этот взгляд на подразумеваемую волатильность как цену, то он также должен признать, что не существует уникальной цены подразумеваемой волатильности и что покупатель и продавец в одной и той же сделке могут торговать по разным «ценам».

Непостоянная подразумеваемая волатильность [ править ]

Как правило, опционы, основанные на одном и том же базовом активе, но с разными значениями страйка и сроками истечения, будут давать разные подразумеваемые волатильности. Обычно это рассматривается как свидетельство того, что волатильность базового актива не постоянна, а зависит от таких факторов, как уровень цены базового актива, недавнее изменение цены базового актива и время. Существует несколько известных методов параметризации поверхности волатильности (Schonbusher, SVI и gSVI), а также их методологий деарбитража. ^[8] См. Информацию о стохастической волатильности и улыбке волатильности .

Инструменты волатильности [ править ]

Инструменты волатильности - это финансовые инструменты, которые отслеживают стоимость подразумеваемой волатильности других производных ценных бумаг. Например, индекс волатильности CBOE ( VIX ) рассчитывается на основе средневзвешенного значения подразумеваемой волатильности различных опционов по индексу S&P 500 . Существуют также другие часто упоминаемые индексы волатильности, такие как индекс VXN ( показатель волатильности фьючерсов на индекс Nasdaq 100), QQV (показатель волатильности QQQ), IVX - индекс предполагаемой волатильности (ожидаемая волатильность акций в течение будущего периода для любых ценных бумаг США и биржевые инструменты), а также опционы и производные фьючерсы, основанные непосредственно на самих этих индексах волатильности.

См. Также [ править ]

• Форвардная волатильность

Ссылки [ править ]

Дальнейшие ссылки [ править ]

• Beckers, S. (1981), "стандартные отклонения подразумеваемые цены опционов как предсказателей будущего изменчивости цен на акции в" , журнал банковского дела и финансов , 5 (3): 363-381, DOI : 10.1016 / 0378-4266 (81) 90032 -7 , дата обращения 07.07.2009.
• Мэйхью, С. (1995), "Подразумеваемая волатильность", финансовых аналитиков Journal , 51 (4): 8-20, DOI : 10,2469 / faj.v51.n4.1916
• Коррадо, CJ; Су, Т. (1997), "подразумеваемой волатильности перекосы и фондовый индекс асимметрии и эксцесса подразумевается S" (PDF) , журнал производных (ЛЕТО 1997), DOI : 10,3905 / jod.1997.407978 , S2CID  154383156 , извлекаться 2009-07 -07
• Грюнспан, К. (2011), «Заметка об эквивалентности между нормальной и логнормальной подразумеваемой волатильностью: свободный от модели подход» (препринт), SSRN  1894652 Цитировать журнал требует |journal=( помощь )
• Grunspan, C. (2011), "Асимптотические разложения для предполагаемой логнормальной волатильности в модельном свободном подходе" (препринт), SSRN  1965977 Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

Внешние ссылки [ править ]

• Расчет предполагаемой волатильности по Serdar SEN
• Протестируйте расчет подразумеваемой волатильности онлайн Кристофа Ружо, ESILV
• Калькулятор визуальной подразумеваемой волатильности
• Рассчитать бета-версию в Excel