Бесконечная комбинаторика

В математике бесконечная комбинаторика или комбинаторная теория множеств - это расширение идей комбинаторики на бесконечные множества . Некоторые из изучаемых вещей включают непрерывные графы и деревья , расширения теоремы Рамсея и аксиому Мартина . Последние разработки касаются комбинаторики континуума ^[1] и комбинаторики последователей сингулярных кардиналов. ^[2]

Теория Рамсея для бесконечных множеств [ править ]

Напишите κ, ​​λ для порядковых чисел , m для кардинального числа и n для натурального числа. Эрдеш и Радо (1956) ввели обозначение

${\ Displaystyle \ каппа \ rightarrow (\ лямбда) _ {м} ^ {п}}$

как стенография способ сказать , что каждый раздел множества [κ] ^п о п - элементных подмножеств из в т штуки имеет однородный набор из порядкового типа Х. Однородное множество - это в этом случае подмножество κ, такое что каждое n -элементное подмножество находится в одном элементе разбиения. Когда m равно 2, его часто опускают.${\ displaystyle \ kappa}$

Исходя из выбранной аксиомы , не существует ординалов κ с κ → (ω) ^ω , поэтому n обычно считается конечным. Расширение, где n может быть почти бесконечным, - это обозначение

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$

что является сокращенным способом сказать, что каждое разбиение множества конечных подмножеств κ на m частей имеет подмножество порядкового типа λ такое, что для любого конечного n все подмножества размера n находятся в одном элементе разбиения. Когда m равно 2, его часто опускают.

Другой вариант - обозначение

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$

что является сокращенным способом сказать, что каждая раскраска множества [κ] ⁿ из n -элементных подмножеств κ в 2 цвета имеет подмножество порядкового типа λ такое, что все элементы из [λ] ⁿ имеют первый цвет или подмножество порядкового типа μ такое, что все элементы [μ] ⁿ имеют второй цвет.

Некоторые свойства этого включают: (далее - кардинал)${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$для всех конечных n и k ( теорема Рамсея ).

${\displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$( Теорема Эрдеша – Радо .)

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$ (Теорема Серпинского)

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$( Теорема Эрдеша – Душника – Миллера ).

Во вселенных без выбора свойства разбиения с бесконечными показателями могут выполняться, и некоторые из них получаются как следствия аксиомы определенности (AD). Например, Дональд А. Мартин доказал, что из AD следует

${\displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}}$

Крупные кардиналы [ править ]

С помощью этого обозначения можно определить несколько крупных кардинальных свойств. В частности:

• Слабо компактные кардиналы κ - это те, которые удовлетворяют условию κ → (κ) ²
• α- кардиналы Эрдеша κ являются наименьшими, удовлетворяющими условию κ → (α) ^<ω
• Кардиналы Рамсея κ - это те, которые удовлетворяют условию κ → (κ) ^<ω

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Душник, Бен; Миллер, EW (1941), "Частично упорядоченные множества", Американский журнал математики , 63 (3): 600-610, DOI : 10,2307 / 2371374 , ЛВП : 10338.dmlcz / 100377 , ISSN  0002-9327 , JSTOR  2371374 , MR  0004862
• Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш (1971), "Нерешенные проблемы теории множеств", Аксиоматическая теория множеств (Калифорнийский университет, Лос-Анджелес, Калифорния, 1967) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XIII Часть I, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 17–48, MR  0280381
• Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш ; Мате, Аттила; Радо, Ричард (1984), Комбинаторная теория множеств: отношения разделения для кардиналов , Исследования по логике и основам математики, 106 , Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 0-444-86157-2, Руководство по ремонту  0795592
• Erdős, P .; Радо, Р. (1956), "Исчисление разбиений в теории множеств" , Bull. Амер. Математика. Soc. , 62 (5): 427-489, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1956-10036-0 , МР  0081864
• Канамори, Акихиро (2000). Высшее Бесконечное (второе изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85401-8