В математике , кардинал Рэмси определенного вид большого кардинального числа введен Эрдеш & Хайнал (1962) и назван в честь Фрэнка П. Рэмзи , чья теорема устанавливает , что Q , имеет определенное свойство , которое Ramsey кардиналов обобщать к бесчисленному случае.
Пусть [κ] <ω обозначает множество всех конечных подмножеств κ. Несчетное кардинальное число κ называется Рэмси , если для каждой функции
- f : [κ] <ω → {0, 1}
существует множество A мощности κ, однородное для f . То есть, для каждого п , F постоянна на подмножеств мощности п от А . Кардинал κ называется невыразимо Рамси, если A может быть выбрано как стационарное подмножество κ. Кардинал κ называется виртуально Рамсеевским, если для каждой функции
- f : [κ] <ω → {0, 1}
существует C , замкнутое и неограниченное подмножество κ, так что для каждого λ в C несчетной конфинальности существует неограниченное подмножество λ, однородное для f ; немного слабее понятие почти Рамсея, где для f требуются однородные множества порядкового типа λ для любого λ <κ.
Существование любого из этих видов кардинала Рамсея достаточно для доказательства существования 0 # или того, что каждое множество с рангом меньше κ имеет острие .
Каждый измеримый кардинал - это кардинал Рэмси, а каждый кардинал Рэмси - кардинал Роуботтома .
Промежуточным по силе свойством между рамсеевостью и измеримостью является существование κ-полного нормального неглавного идеала I на κ такого, что для любого A ∉ I и для любой функции
- f : [κ] <ω → {0, 1}
существует множество B ⊂ A не в I , однородное для f . Это строго сильнее, чем κ, являющийся невыразимым Рамси.
Существование кардинала Ramsey предполагает существование - # и это , в свою очередь , влечет за собой ложность аксиомы конструктивности из Курта Гёделя .
Рекомендации
- Дрейк, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . ISBN Elsevier Science Ltd. 0-444-10535-2.
- Эрдеш, Пол ; Хайнал, Андраш (1962), "Некоторые замечания по поводу нашей статьи" О структуре отображений множеств . Несуществование двузначной а-мера для первого несчетного недоступного кардинала», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 13 : 223-226, DOI : 10.1007 / BF02033641 , ISSN 0001-5954 , MR 0141603
- Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.