Инверсия в сфере

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Инверсия в сфере»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья написана как личное размышление, личное эссе или аргументированное эссе , в котором излагаются личные чувства редактора Википедии или представлены оригинальные аргументы по теме. Пожалуйста, помогите улучшить его , переписав в энциклопедическом стиле . ( Март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Переворачивание цилиндра, проходящего через сферу.

В геометрии , инверсия в сфере является преобразованием в евклидове пространства , что фиксирует точки в области в то время как отправляющая точку внутри сферы с внешней сферой, и наоборот. Интуитивно он «меняет местами внутреннюю и внешнюю» сферы, оставляя точки на сфере неизменными. Инверсия - это конформное преобразование и основная операция инверсивной геометрии ; это обобщение инверсии по кругу .

Определение [ править ]

Инверсию в сфере проще всего описать с помощью полярных координат . Выберите систему аффинных координат так, чтобы центр сферы находился в начале координат, а радиус сферы был равен 1. Тогда каждую точку можно записать в виде r v , где r - расстояние от точки до начала координат, а v - единичный вектор ; более того, для каждой точки, кроме начала координат, это представление уникально. При таком представлении точки ее образ при сферической инверсии определяется как точка r ⁻¹ v . Это определяет гомеоморфизм из${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$себе. В карте от евклидова пространства к себе, сферическая карта инверсия не определена в нуле, но мы можем расширить его , в одну точку компактифи- из , указав , что 0 должны быть направлены на бесконечность и бесконечность должны быть направлены 0 Таким образом, сферическую инверсию можно рассматривать как гомеоморфизм .${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R} ^ {n}}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R} ^ {n}}}}$

Свойства [ править ]

Инверсия является самообратной и фиксирует точки, лежащие на сфере. Обратная линия - это окружность, проходящая через центр эталонной сферы, и наоборот. Обратная сторона плоскости - это сфера, проходящая через центр эталонной сферы, и наоборот. В противном случае обратная сторона круга - это круг; обратная сторона сферы - сфера.

Инверсия в сфере - мощное преобразование. Один простой пример - картографическая проекция . Обычная проекция Северного или Южного полюса ( стереографическая проекция ) - это инверсия Земли на плоскость. Если бы вместо полюса в центре мы выбрали город, тогда Inversion могла бы создать карту, на которой все кратчайшие маршруты (большие круги) для полета из этого города выглядели бы как прямые линии, что упростило бы траекторию полета для пассажиров в наименее.

Доказательства [ править ]

Пусть эталонная сфера будет Σ с центром O и радиусом r, обозначенным {O, r}. Все обратные в этой статье лежат в сфере Σ.

Результаты в этой статье зависят от трех простых идей:

1. Подобные треугольники: масштабная модель имеет ту же форму, что и оригинал, т.е. все углы сохранены.

2. Угол в полукруге - это прямой угол. т.е. для любой точки на полукруге диагональ составляет прямой угол (90 ^o ).

3. Сумма углов треугольника равна 180 ^o , поэтому внешний угол равен сумме двух других внутренних углов.

Определение [ править ]

• Пусть P - точка на расстоянии n> 0 от O.
• Если P '- точка на OP в том же направлении, что и OP, такая, что OP.OP' = r ² , то P и P 'являются обратными точками
• Если n> r, то OP '<r, поэтому P' лежит внутри Σ, и наоборот.
• Точки на поверхности Σ - единственные самообратные точки.

Строительство [ править ]

• Как и в инверсии в окружности, обычная конструкция точки P вне сферы состоит в том, чтобы взять любую плоскость, проходящую через OP,
  провести касательные на плоскости от P к Σ, пересекаясь с ней в точках S, T.
• Пересечение хорды ST с OP дает P '. (Треугольники OPS, OSP 'аналогичны.)
• Для точки P внутри Σ возьмите плоскость, проходящую через OP, нарисуйте хорду сферы в этой плоскости, нормальную к OP в P, пересекающую Σ, в S, T.
• Нарисуйте касательные на плоскости так, чтобы они пересекались в точке P ', обратной точке P.
• В любом случае прямоугольные треугольники OPT, OTP 'похожи, поэтому OP / OT = OT / OP'

(См. Рис. 1)

Инверсия пары точек [ править ]

• Даны две точки A, B с обратными A ', B'; OA'.OA = r ² , OB'.OB = r ² .
• Итак, OA '/ OB' = OB / OA.
• Поскольку ∠AOB - это B'OA ', треугольники AOB, B'OA' подобны.
• Итак, ∠OAB = ∠OB'A ', ∠OBA = ∠OA'B'.

(См. Рис. 2)

Обратная линия [ править ]

• Если прямая пересекает Σ, то только две точки пересечения являются самообратными.
• Если O лежит на линии, то линия обратная;

• Еще,

• Пусть P - основание перпендикуляра от O к прямой с обратным P ', и пусть X - любая точка на прямой с обратным X',
• По «переворачиванию пары точек» OX'P '= ∠OPX = 90 ^o .
• Итак, X 'лежит на окружности, проходящей через O, с диаметром OP'. (Угол в полукруге - это прямой угол)

(См. Рис. 3)

Примечание 4: Как правило, линия, обратная линии, представляет собой окружность, проходящую через центр отсчета.

Инверсия плоскости [ править ]

• Если плоскость пересекает Σ, то каждая точка окружности пересечения самообратна.
• Если O лежит на плоскости, обратная сторона - это плоскость;
• Еще:

• Пусть основание перпендикуляра от O к плоскости будет P с обратным P '.
• Пусть X - любая точка на плоскости с обратным X '.
• По «переворачиванию пары точек» OX'P '= ∠OPX = 90 ^o .
• X 'лежит на сфере диаметра OP' (угол в полукруге - это прямоугольник)

Примечание 5: Обычно обратная сторона плоскости - это сфера, проходящая через центр отсчета.

Обратная сфера [ править ]

• Пусть сфера будет {A, a}, т. Е. Центром A и радиусом a> 0.
• Если сфера {A, a} пересекает Σ, единственные самообратные точки находятся на окружности пересечения.
• Если A находится в точке O, то сфера, обратная к сфере {A, a}, является концентрической сферой радиуса r ² / a;

(Тривиально, если a = r, то каждая точка на {A, a} самообратна.)

• Еще

• если O лежит на сфере {A, a},
• Тогда пусть P - точка, диаметрально противоположная O на сфере {A, a}, причем P 'является обратной точкой P.
• Пусть X - любая точка на сфере {A, a} с обратным X '.
• Тогда «Обращением пары точек» ∠OP'X '= ∠OXP = 90 ^o (угол в полукруге).
• Это верно для всех точек на сфере {A, a}.
• Итак, X 'лежит на плоскости, проходящей через P' перпендикулярно OP '.

• Еще,

• Пусть S, T - точки пересечения OA и сферы {A, a}, причем S ', T' - их обратные.
• ST - диаметр {A, a}.
• Пусть X - любая точка на сфере {A, a} с обратным X '.
• ∠OXT = ∠OT'X 'и ∠OXS = ∠OS'X'. (инверсия пары точек)

• Если T, S лежат по одну сторону от O.

• ∠T'X'S '= ∠OX'S' - ∠OX'T '
• = ∠OSX - ∠OTX (инверсия пары точек).
• = ∠TXS (внешний угол равен сумме внутренних углов)
• = 90 ^o (угол в полукруге - это прямой угол)
• Итак, X 'лежит на полукруге с диаметром T'S'.
• Это верно для каждой точки на сфере {A, a}.
• Итак, X 'лежит на сфере с диаметром T'S'.

(См. Рис. 4)

• Если T, S лежат по разные стороны от O:

• ∠OXT + ∠OXS = 90 ^o (угол в полукруге - это прямоугольник).
• ∠T'X'S '= ∠OX'T' + ∠OX'S '
• = ∠OTX + ∠OSX (инверсия пары точек).
• = 180 ^o - ∠TXS (сумма углов в треугольнике равна 180 ^o )
• Итак, ∠T'X'S '= 90 ^o , и X' лежит на полукруге с диаметром T'S '(угол в полукруге - это прямоугольник).
• Как прежде:
• Это верно для каждой точки на сфере {A, a}.
• Итак, X 'лежит на сфере с диаметром T'S'.

(См. Рис. 5)

Примечание 6: Как правило, сфера, обратная сфере, - это сфера
(единственное исключение - когда центр эталонной сферы лежит на сфере.)

Обратный круг [ править ]

• Пусть окружность c с центром C и радиусом a лежит на плоскости ψ.
• Если c пересекает сферу, единственными самообратными точками являются эти два пересечения.
• Пусть S, T - ближайшая и самая дальняя точки c от O (т.е. OT> OS), где T ', S' - их обратные,
• Если C находится в точке O, то обратный элемент c - концентрическая окружность с радиусом r ² / a;

• Еще

• если O лежит на c,
• Тогда пусть OP будет диаметром c, а P '- обратным к P.
• Пусть X - любая точка окружности с обратным X '.
• По «переворачиванию пары точек» OP'X '= ∠OXP = 90 ^o .
• Обратные точки окружности лежат на прямой в плоскости c, перпендикулярной OP ';

• Еще

• Если O лежит в плоскости c, то c - это большая окружность сферы {C, a} в плоскости, проходящей через O, S, T, поэтому аргументы, которые применяются к инверсии сферы, также применимы к обратной окружности c , с результатами, аналогичными результатам в разделе 6.

(См. Рис. 3, 4, 5)

• Еще,

• в общем случае, когда O не лежит на ψ, плоскости c;
• Пусть A, B - две точки на прямой, проходящей через C, перпендикулярной ψ.
• Пусть Λ, Ω, - две сферы, проходящие через точку c, с центрами A, B, но не через O.
• Пусть а сферы, Λ ', Ω', являются обратными к Λ, Ω (см. Примечание 6).
• Каждая точка, обратная к c, лежит как на Λ ', так и на Ω'.
• Пересечение сфер Λ ', Ω' есть окружность c ', скажем, обратная к c.

• Если O lis на прямой AB, конус проекции будет правильным круговым,

и если c лежит на сфере Σ, то каждая точка c самообратна;

Примечание 7: Обычно круг, противоположный кругу, - это круг.

(Единственное исключение - когда центр эталонной сферы лежит на окружности.

Результаты инверсии в сфере [ править ]

1. Линия, проходящая через центр инверсии, является самообратной.
2. Как правило, обратная линия - это окружность, проходящая через центр инверсии.
3. Обратной стороной круга через центр инверсии является линия.
4. Обычно круг, противоположный кругу, - это круг.
5. Плоскость, проходящая через центр инверсии, является самообратной.
6. Обычно обратная сторона плоскости - это сфера, проходящая через центр инверсии.
7. Обратная сфера через центр инверсии - это плоскость.
8. Обычно сфера, обратная сфере, - это сфера.

См. Также [ править ]

• Инверсивная геометрия
• Обратная кривая
• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Ссылки [ править ]