Jordan-Вигнер преобразование является преобразованием , которое переводит спиновые операторы на фермионные оператор рождения и уничтожения . Он был предложен Паскуалем Джорданом и Юджином Вигнером для одномерных решетчатых моделей , но теперь созданы и двумерные аналоги преобразования. Преобразование Жордана – Вигнера часто используется для точного решения одномерных спиновых цепочек, таких как модели Изинга и XY, путем преобразования спиновых операторов в фермионные операторы и последующей диагонализации в фермионном базисе.
Это преобразование фактически показывает, что различия между частицами со спином 1/2 и фермионами не существует. Его можно применять к системам с произвольной размерностью.
Аналогия между спинами и фермионами
Ниже мы покажем, как отобразить одномерную спиновую цепочку частиц со спином 1/2 на фермионы.
Возьмем, к примеру, операторов Pauli spin-1/2, действующих на сайте. 1D цепочки, . Принимая антикоммутатор из а также , мы нашли , как и следовало ожидать от фермионных операторов рождения и уничтожения. Тогда у нас может возникнуть соблазн установить
Теперь у нас есть правильные одноузельные фермионные отношения ; однако на разных сайтах мы имеем отношение, где , и поэтому спины на разных сайтах коммутируют, в отличие от фермионов, которые антикоммутируют. Мы должны исправить это, прежде чем сможем серьезно относиться к аналогии.
Преобразование, восстанавливающее истинные коммутационные соотношения фермионов из спин-операторов, было выполнено в 1928 г. Джорданом и Вигнером. Это частный пример преобразования Клейна . Возьмем цепочку фермионов и определим новый набор операторов
Они отличаются от вышеперечисленных только фазой . Фаза определяется количеством занятых фермионных мод в модахполя. Фаза равна если количество занятых режимов четное, и если количество занятых режимов нечетное. Эта фаза часто выражается как
Если второе равенство использует тот факт, что
Преобразованные спиновые операторы теперь имеют соответствующие спиновые коммутационные соотношения
Обратное преобразование дается формулой
Обратите внимание, что определение фермионных операторов нелокально по отношению к бозонным операторам, потому что нам приходится иметь дело со всей цепочкой операторов слева от узла, относительно которого определены фермионные операторы. Это верно и в обратном направлении. Это пример оператора 'т Хофта , который является оператором беспорядка, а не оператором порядка . Это тоже пример S-двойственности .
Если система имеет более одного измерения, преобразование все еще может быть применено. Нужно только произвольно разметить сайты по единому индексу.
Квантовые вычисления
Преобразование Жордана – Вигнера может быть обращено для отображения фермионного гамильтониана в спиновый гамильтониан. Серия спинов эквивалентна цепочке кубитов для квантовых вычислений . Некоторые молекулярные потенциалы могут быть эффективно смоделированы квантовым компьютером с использованием этого преобразования. [1]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Нильсен, Майкл (29 июля 2005). «Фермионные канонические коммутационные соотношения и преобразование Жордана-Вигнера» (PDF) . michaelnielsen.org .
дальнейшее чтение
- Майкл Нильсен, Заметки о преобразовании Джордана-Вигнера на Wayback Machine (архивировано 3 ноября 2019 г.)
- Пирс Коулман, простые примеры вторичного квантования