Сумма Клоостермана

В математике , сумма Клоостерман является особым видом экспоненциальной суммы . Они названы в честь голландского математика Хендрика Клоостермана , который представил их в 1926 году ^[1], когда он адаптировал круговой метод Харди – Литтлвуда для решения проблемы, включающей положительно определенные диагональные квадратичные формы от четырех, а не от пяти или более переменных, которые ^{[ неопределенные ], которым} он занимался в своей диссертации в 1924 г. ^[2]

Пусть , б , м быть натуральными числами . потом

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}$

Здесь x * - это величина, обратная x по модулю m .

Контекст [ править ]

Суммы Клоостермана являются конечным кольцевым аналогом функций Бесселя . Они встречаются (например) в разложении Фурье модулярных форм .

Существуют приложения к средним значениям, включающие дзета-функцию Римана , простые числа в коротких интервалах, простые числа в арифметических прогрессиях, спектральную теорию автоморфных функций и связанные темы.

Свойства сумм Клоостермана [ править ]

• Если a = 0 или b = 0, то сумма Клоостермана сводится к сумме Рамануджана .
• K ( a , b ; m ) зависит только от класса вычетов a и b по модулю m . Кроме того, K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) и K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ), если НОД ( c , m ) = 1.
• Пусть m = m ₁ m _2, где m ₁ и m ₂ взаимно просты. Выберите n ₁ и n _{2 так} , чтобы n ₁ m ₁ ≡ 1 mod m ₂ и n ₂ m ₂ ≡ 1 mod m ₁ . потом

${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$

Это сводит вычисление сумм Клоостермана к случаю, когда m = p ^k для простого числа p и целого числа k ≥ 1 .

• Значение K ( a , b ; m ) всегда является алгебраическим вещественным числом . Фактически K ( a , b ; m ) - это элемент подполя, который представляет собой совокупность полей${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}$

где p пробегает все нечетные простые числа такие, что p ^α || м и

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}$

для 2 ^α || m с α > 3 .

• Личность Сельберга:

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}$

заявил Сельберг и первым доказал Кузнецов , используя спектральную теорию о модулярных форм . В настоящее время известны элементарные доказательства этого тождества. ^[3]

• Для нечетного простого p не существует известной простой формулы для K ( a , b ; p ) , а гипотеза Сато – Тейта предполагает, что их не существует. Однако приведенные ниже формулы подъема часто так же хороши, как и явная оценка. Если gcd ( a , p ) = 1, тоже есть важное преобразование:

${\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}$

где обозначает символ Якоби .${\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}$

• Пусть т = р ^К с К > 1, р простое число и предположим , НОД ( р , 2 аб ) = 1 . Потом:

${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

где ℓ выбрано так, что ℓ ² ≡ ab mod m и ε _m определяется следующим образом (заметим, что m нечетное):

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Эта формула была впервые найдена Хансом Сали ^[4], и в литературе есть много простых доказательств. ^[5]

Оценки [ править ]

Поскольку суммы Клоостермана встречаются в разложении Фурье модулярных форм, оценки сумм Клоостермана также дают оценки коэффициентов Фурье модулярных форм. Самая известная оценка принадлежит Андре Вейлю и гласит:

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

Вот количество положительных делителей m . Благодаря мультипликативным свойствам сумм Клоостермана эти оценки могут быть сведены к случаю, когда m - простое число p . Фундаментальный метод Вейля уменьшает оценку${\displaystyle \tau (m)}$

${\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}$

когда ab ≠ 0, к его результатам по локальным дзета-функциям . Геометрически сумма берется вдоль «гиперболы» XY = ab, и мы рассматриваем это как определение алгебраической кривой над конечным полем с p элементами. Эта кривая имеет разветвленное покрытие C Артина – Шрайера , и Вейль показал, что локальная дзета-функция кривой C имеет факторизацию; это теория L-функций Артина для случая глобальных полей, которые являются функциональными полями, для которой Вейль приводит статью Дж. Вайссинджера 1938 года в качестве ссылки (в следующем году он дал статью 1935 года Хассекак более ранняя ссылка на идею; учитывая довольно уничижительное замечание Вейля о способности теоретиков-аналитиков самостоятельно проработать этот пример, в его « Сборнике статей» эти идеи, по-видимому, были «фольклором» довольно давно). Неполярные множители относятся к типу 1 - Kt , где K - сумма Клоостермана. Таким образом, оценка следует из основной работы Вейля 1940 года.

Этот метод фактически показывает в гораздо более общем плане, что полные экспоненциальные суммы «вдоль» алгебраических многообразий имеют хорошие оценки, в зависимости от гипотез Вейля в размерности> 1. Гораздо дальше его продвинули Пьер Делинь , Жерар Лаумон и Николас Кац .

Краткие суммы Клоостермана [ править ]

Нейтральность этой статьи оспаривается . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Не удаляйте это сообщение, пока не будут выполнены соответствующие условия . ( Март 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Короткие суммы Клоостермана определяются как тригонометрические суммы вида

${\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}$

где n пробегает множество A чисел, взаимно простых с m , количество элементов в котором существенно меньше m , а символ обозначает класс сравнения, обратный n по модулю m :${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle n^{*}}$${\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.}$

До начала 1990-х годов оценки сумм такого типа были известны в основном для случая, когда количество слагаемых было больше √ m . Такие оценки были сделаны Х.Д. Клоостерманом , И.М. Виноградовым , Х. Сали , Л. Карлитцем , С. Учиямой и А. Вейлем . Исключение составили только специальные модули вида m = p ^α , где p - фиксированное простое число, а показатель α возрастает до бесконечности (этот случай исследовал А.Г. Постников с помощью метода Ивана Матвеевича Виноградова ).

В 1990-е годы Анатолий Алексеевич Карацуба разработал ^{[6] [7] [8]} новый метод оценки коротких сумм Клоостермана. Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, количество слагаемых в которых не превышает , а в некоторых случаях даже , где - сколь угодно малое фиксированное число. Последняя статья А.А. Карацубы на эту тему ^[9] была опубликована уже после его смерти.${\displaystyle m^{\varepsilon }}$${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение при решении следующих задач аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}$

где n пробегает одно за другим целые числа, удовлетворяющие условию , а p пробегает простые числа, которые не делят модуль m (А.А.Карацуба);${\displaystyle (n,m)=1}$

• оценка снизу числа решений неравенств вида:

${\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }$

в целых числах n , 1 ≤ n ≤ x , взаимно простых с m , (А.А. Карацуба);${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• точность приближения произвольного действительного числа на отрезке [0, 1] дробными частями вида:

${\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}$

где (А.А. Карацуба);${\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}$

• более точная константа c в теореме Бруна – Титчмарша  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$

где - количество простых чисел p , не превосходящих x и принадлежащих арифметической прогрессии ( J. Friedlander , H. Iwaniec );${\displaystyle \pi (x;q,l)}$${\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}$

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида: n ³ + 2, N < n ≤ 2 N. ( Д. Р. Хит-Браун );
• доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел вида: a ² + b ^4. ( Дж. Фридлендер , Х. Иванец );
• комбинаторные свойства множества чисел (А.А.Глибичук):

${\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}$

Снятие сумм Клоостермана [ править ]

Хотя суммы Клоостермана не могут быть вычислены в целом, они могут быть «подняты» до полей алгебраических чисел, что часто дает более удобные формулы. Позвольте быть бесквадратным целым числом с Предположим, что для любого простого множителя p числа m мы имеем${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \gcd(\tau ,m)=1.}$

${\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}$

Тогда для всех целых чисел a , b, взаимно простых с m, имеем

${\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}$

Здесь Ω ( m ) - количество простых множителей m с учетом кратности. Сумма справа может быть интерпретирована как сумма по алгебраическим целым числам в поле. Эта формула принадлежит Янбо Йе, вдохновленному Доном Загье и продолжающим работу Эрве Жаке и Йе по формуле относительного следа для GL (2) . ^[10] Действительно, можно поднять гораздо более общие экспоненциальные суммы. ^[11]${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).}$

Формула следа Кузнецова [ править ]

Формула Кузнецова или относительного следа связывает суммы Клоостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфных форм . Первоначально это можно было сформулировать следующим образом. Позвольте быть достаточно " хорошо управляемой " функцией. Тогда называют тождества следующего типа формулой следа Кузнецова :${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.}$

Интегральное преобразование части некоторые интегральное преобразования из г и спектральная часть представляет собой сумму коэффициентов Фурье, взятых по пространствам голоморфных и не голоморфных модулярных форм , скрученных с некоторыми интегральным преобразованием г . Формула следа Кузнецова была найдена Кузнецовым при изучении роста автоморфных функций с нулевым весом. ^[12] Используя оценки сумм Клоостермана, он смог получить оценки для коэффициентов Фурье модулярных форм в случаях, когда доказательство Пьера Делиня гипотез Вейля было неприменимо.

Позже он был переведен Жаке в теоретическую основу представления . Пусть G - редуктивная группа над числовым полем F и подгруппа. В то время как обычная формула следа изучает гармонический анализ на G , относительной формула следа инструмента для изучения гармонического анализа на симметричном пространстве G / H . Для обзора и многочисленных приложений см. Ссылки. ^[13]${\displaystyle H\subset G}$

История [ править ]

Оценка Вейля теперь могут быть изучены в WM Шмидтом , уравнений над конечными полями: элементарный подход , 2 - е изд. (Кендрик Пресс, 2004). Основные идеи здесь принадлежат С. Степанову и черпают вдохновение из работ Акселя Туэ в диофантовом приближении .

Между суммами Клоостермана и модульными формами существует много связей . Фактически суммы впервые появились (без названия) в статье Анри Пуанкаре 1912 года о модулярных формах. Ханс Салье ввел форму суммы Клоостермана, которая скручивается характером Дирихле : ^[14] Такие суммы Салье имеют элементарную оценку. ^[4]

После открытия Кузнецовым в 1979 году важных формул, связывающих суммы Клоостермана с неголоморфными модулярными формами , которые содержали некоторую `` среднюю экономию '' по сравнению с оценкой квадратного корня, Иванец и Дешуиллерс получили дальнейшие разработки в основополагающей статье в Inventiones Mathematicae ( 1982). Последующие приложения к аналитической теории чисел были разработаны рядом авторов, особенно Бомбьери , Фуври, Фридландером и Иванцем.

Поле остается несколько недоступным. Подробное введение в спектральную теорию, необходимое для понимания формул Кузнецова, дано в RC Baker, Kloosterman Sums and Maass Forms , vol. I (Кендрик пресс, 2003). Также для студентов и исследователей, интересующихся этой областью, есть Iwaniec & Kowalski (2004) .

Итан Чжан использовал суммы Клоостермана в своем доказательстве ограниченных пробелов между простыми числами. ^[15]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Архипов Г.И.; Чубариков, В.Н. Карацуба, А.А. (2004). Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе . Выставки де Грюйтера по математике. 39 . Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер. ISBN 3-11-016266-0. Zbl  1074.11043 .
• Иванец, Хенрик ; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума. 53 . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-3633-1. Zbl  1059.11001 .
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997). Конечные поля . Энциклопедия математики и ее приложений. 20 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-39231-4. Zbl  0866.11069 .
• Вайль, Андре (1948). «О каких-то экспоненциальных суммах». Proc. Natl. Акад. Sci. 34 : 204–207. Zbl  0032.26102 . Cite journal requires |journal= (help)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Клоостермана» . MathWorld .
• «Сумма Клоостермана» . PlanetMath .