Скобки Лагранжа - это определенные выражения, тесно связанные со скобками Пуассона, которые были введены Жозефом Луи Лагранжем в 1808–1810 гг. Для целей математической формулировки классической механики , но в отличие от скобок Пуассона вышли из употребления.
Определение
Предположим, что ( q 1 ,…, q n , p 1 ,…, p n ) - система канонических координат на фазовом пространстве . Если каждая из них выражена как функция двух переменных u и v , то скобка Лагранжа для u и v определяется формулой
Характеристики
- Скобки Лагранжа не зависят от системы канонических координат ( q , p ). Если ( Q , P ) = ( Q 1 ,…, Q n , P 1 ,…, P n ) - другая система канонических координат, так что
- является каноническим преобразованием , то скобка Лагранжа является инвариантом преобразования в том смысле, что
- Поэтому индексы, обозначающие канонические координаты, часто опускаются.
- Если Ω - симплектическая форма на 2n -мерном фазовом пространстве W и u 1 ,…, u 2n образуют систему координат на W , то канонические координаты ( q , p ) могут быть выражены как функции координат u и матрицы скобок Лагранжа
- представляет компоненты Ω , рассматриваемые как тензор , в координатах u . Эта матрица является обратной по отношению к матрице, образованной скобками Пуассона
- координат u .
- Как следствие предыдущих свойств, координаты ( Q 1 ,…, Q n , P 1 ,…, P n ) на фазовом пространстве являются каноническими тогда и только тогда, когда скобки Лагранжа между ними имеют вид
Смотрите также
Рекомендации
- Корнелиус Ланцош , Вариационные принципы механики , Довер (1986), ISBN 0-486-65067-7 .
- Iglesias, Патрик, Les Origines дю Расчитать symplectique Chez Лагранж [Истоки симплектическому исчисления в работе Лагранжа], L'Enseign. Математика. (2) 44 (1998), нет. 3-4, 257–277. МИСТЕР1659212
Внешние ссылки
- Эрик В. Вайсштейн . «Скобка Лагранжа» . MathWorld .
- А.П. Солдатов (2001) [1994], "Скобка Лагранжа" , Энциклопедия математики , EMS Press