Лагранжева система

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике, лагранжева система является парой ( Y , L ) , состоящая из гладкого волокна расслоения Y → X и лагранжевой плотности L , что и дает Эйлера-Лагранжа дифференциальный оператор , действующий на участках Y → X .

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми системами. Конфигурационное пространство такой лагранжевой системы представляет собой расслоение Q → ℝ по оси времени ℝ . В частности, Q = ℝ × M, если система отсчета фиксирована. В классической теории поля все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжианы и операторы Эйлера – Лагранжа [ править ]

Плотность лагранжиана L (или, проще говоря, лагранжиан ) порядка г определяются как п -форма , п = тусклый Х , на г -ого обобщенной струи многообразия J ^г Y из Y .

Лагранжево L может быть представлено как элемент вариационного бикомплекса из дифференциальных градуированной алгебры О ^* _∞ ( Y ) из внешних форм на реактивные коллектор из Y → X . Кограничный оператор этого бикомплекса содержит вариационный оператор б , который, действующий на L , определяет соответствующий Эйлера-Лагранжа оператор δL .

В координатах [ править ]

Для заданных координат расслоения x ^λ , y ⁱ на расслоении Y и адаптированных координат x ^λ , y ⁱ , y ⁱ _Λ , (Λ = ( λ ₁ , ..., λ _k ) , | Λ | = k ≤ r ) на многообразиях струй J ^r Y лагранжиан L и его оператор Эйлера – Лагранжа имеют вид

${\ displaystyle L = {\ mathcal {L}} (x ^ {\ lambda}, y ^ {i}, y _ {\ Lambda} ^ {i}) \, d ^ {n} x,}$

${\displaystyle \delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}$

куда

${\displaystyle d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,}$

обозначают полные производные.

Например, лагранжиан первого порядка и его оператор Эйлера – Лагранжа второго порядка имеют вид

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}$

Уравнения Эйлера – Лагранжа [ править ]

Ядро оператора Эйлера – Лагранжа дает уравнения Эйлера – Лагранжа δL = 0 .

Когомологии и теоремы Нётер [ править ]

Когомологии вариационного бикомплекса приводят к так называемой вариационной формуле

${\displaystyle dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},}$

куда

${\displaystyle d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}$

- полный дифференциал, а θ _L - эквивалент L по Лепажу . Первая теорема Нетер и вторая теорема Нётер являются следствиями этой вариационной формуле.

Градуированные многообразия [ править ]

Перенесенная градуированных многообразий , то вариационный бикомплекс обеспечивает описание градуированных лагранжевых систем четных и нечетных переменных. ^[1]

Альтернативные формулировки [ править ]

Иным образом в рамках вариационного исчисления вводятся лагранжианы, операторы Эйлера – Лагранжа и уравнения Эйлера – Лагранжа .

Классическая механика [ править ]

В классической механике уравнения движения первого и второго порядка дифференциальные уравнения на многообразии М или различных расслоений Q над ℝ . Решение уравнений движения называется движением . ^{[2] [3]}

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Август 2015 г. )

См. Также [ править ]

• Лагранжева механика
• Вариационное исчисление
• Теорема Нётер
• Личности Нётер
• Жиклерный пучок
• Джет (математика)
• Вариационный бикомплекс

Ссылки [ править ]

• Арнольд В.И. (1989), Математические методы классической механики , Тексты для выпускников по математике , 60 (второе изд.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Сарданашвили Г. (1997). Новые лагранжевы и гамильтоновы методы в теории поля . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.CS1 maint: ref=harv (link)
• Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Сарданашвили Г. (2011). Геометрическая формулировка классической и квантовой механики . World Scientific. DOI : 10,1142 / 7816 . ISBN 978-981-4313-72-8.CS1 maint: ref=harv (link)
• Олвер, П. (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
• Сарданашвили Г. (2013). «Градуированный лагранжев формализм». Int. J. Geom. Методы Мод. Phys . World Scientific. 10 (5): 1350016. arXiv : 1206.2508 . DOI : 10.1142 / S0219887813500163 . ISSN  0219-8878 .CS1 maint: ref=harv (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Сарданашвили Г. (2009). «Слоистые расслоения, струйные многообразия и теория лагранжиана. Лекции для теоретиков». arXiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . Cite journal requires |journal= (help)CS1 maint: ref=harv (link)