Азимутальная равновеликая проекция Ламберта

Азимутальная равновеликая проекция мира Ламберта. Центр - 0 ° N 0 ° E. Антипод - 0 ° N 180 ° E, недалеко от Кирибати в Тихом океане . Эта точка представлена всей круговой границей карты, и океан вокруг этой точки отображается вдоль всей границы.

Азимутальная равновеликая проекция Ламберта с индикатрисой деформации Тиссо .

Равновеликая азимутальная проекция Ламберта является частным отображения из сферы на диск . Он точно представляет площадь во всех областях сферы, но не точно представляет углы . Она названа в честь швейцарского математика Иоганна Генриха Ламберта , который объявил о ней в 1772 году. ^[1] «Зениталь» является синонимом «азимутальной» проекции, также известна как зенитная равновеликая проекция Ламберта . ^[2]

Азимутальная проекция Ламберта используются в качестве карты проекции в картографии . Например, Национальный атлас США использует азимутальную равновеликую проекцию Ламберта для отображения информации в онлайн-приложении Map Maker ^[3], а Европейское агентство по окружающей среде рекомендует использовать ее для европейских картографических целей для статистического анализа и отображения. ^[4] Он также используется в научных дисциплинах, таких как геология, для построения ориентации линий в трехмерном пространстве. Этому построению помогает специальный вид миллиметровой бумаги, называемый сеткой Шмидта . ^[5]

Определение [ править ]

В поперечном сечении вид сферы и плоскости , касательной к ней в S . Каждая точка на сфере (кроме антипода) проецируется на плоскость по дуге окружности с центром в точке касания сферы и плоскости.

Чтобы определить азимутальную проекцию Ламберта, представьте себе плоскость, касательную к сфере в некоторой точке S на сфере. Пусть P любая точка на сфере, отличной от антипода из S . Пусть d - расстояние между S и P в трехмерном пространстве (а не расстояние по поверхности сферы). Тогда проекция отправляет Р в точку Р ' на плоскости, расстояние d от S .

Чтобы сделать это более точным, существует уникальный круг с центром в S , проходящий через P и перпендикулярный плоскости. Он пересекает плоскость в двух точках; пусть P 'будет тот , который находится ближе к P . Это прогнозируемая точка. Смотрите рисунок. Антипод S исключен из проекции, поскольку искомая окружность не единственна. Случай S вырожден; S проецируется на себя по окружности радиуса 0. ^[6]

Для выполнения проекции на компьютере требуются явные формулы . Рассмотрим проекцию с центром в S = (0, 0, −1) на единичной сфере , которая представляет собой набор точек ( x , y , z ) в трехмерном пространстве R ^3, таких что x ² + y ² + z ² = 1 . В декартовых координатах ( x , y , z ) на сфере и ( X , Y) на плоскости проекция и обратная ей тогда описываются выражением

{\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,y\right),\\(x,y,z)&=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}

В сферических координатах ( φ , θ ) на сфере (где φ - зенит, а θ - азимут ) и полярных координатах ( R , Θ ) на диске, карта и ее обратная карта задаются формулой ^[6]

{\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arccos {\frac {R}{2}},\Theta \right).\end{aligned}}

В цилиндрических координатах ( r , θ , z ) на сфере и полярных координатах ( R , Θ ) на плоскости карта и обратная ей задаются формулами

{\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}

Проекцию можно центрировать в других точках и определять на сферах с радиусом, отличным от 1, используя аналогичные формулы. ^[7]

Свойства [ править ]

Как определено в предыдущем разделе, азимутальная проекция Ламберта единичной сферы не определена в (0, 0, 1). Он отправляет остальную часть сферы в открытый диск радиуса 2 с центром в начале координат (0, 0) на плоскости. Он отправляет точку (0, 0, −1) в (0, 0), экватор z = 0 в круг радиуса √ 2 с центром в (0, 0), а нижнюю полусферу z <0 в открытый диск содержится в этом круге.

Проекция - это диффеоморфизм ( биекция, которая бесконечно дифференцируема в обоих направлениях) между сферой (минус (0, 0, 1)) и открытым диском радиуса 2. Это сохраняющая площадь (равноплощадь) карта, что можно увидеть, вычислив элемент площади сферы при параметризации обратной проекции. В декартовых координатах это

dA=dX\;dY.

Это означает, что измерение площади области на сфере равносильно измерению площади соответствующей области на диске.

С другой стороны, проекция не сохраняет угловые соотношения между кривыми на сфере. Никакое отображение между частью сферы и плоскостью не может сохранить и углы, и площади. (Если бы это было так, то это была бы локальная изометрия и сохраняла бы гауссову кривизну ; но сфера и диск имеют разные кривизны, поэтому это невозможно.) Тот факт, что плоские изображения не могут идеально отображать области сфер, является фундаментальной проблемой. картографии.

Как следствие, области на сфере могут проецироваться на плоскость с сильно искаженными формами. Это искажение особенно заметно вдали от центра проекции (0, 0, -1). На практике проекция часто ограничивается полушарием с центром в этой точке; другое полушарие можно нанести на карту отдельно, используя вторую проекцию с центром в антиподе.

Приложения [ править ]

Азимутальная проекция Ламберта изначально задумывалась как картографическая проекция равной площади. Теперь он также используется в таких дисциплинах, как геология, для построения данных о направлениях, как показано ниже.

Направление в трехмерном пространстве соответствует линии, проходящей через начало координат. Множество всех таких прямых представляет собой пространство, которое в математике называется реальной проективной плоскостью . Каждая прямая, проходящая через начало координат, пересекает единичную сферу ровно в двух точках, одна из которых находится в нижней полусфере z ≤ 0. (Горизонтальные линии пересекают экватор z = 0 в двух противоположных точках. Понятно, что антиподальные точки на экваторе представляют одна линия. См. фактор-топологию .) Следовательно, направления в трехмерном пространстве соответствуют (почти идеально) точкам в нижнем полушарии. Затем полусферу можно представить как диск радиуса √ 2. с помощью азимутальной проекции Ламберта.

Таким образом, азимутальная проекция Ламберта позволяет нам отображать направления в виде точек на диске. Благодаря свойству проекции равных площадей, можно интегрировать по областям реальной проективной плоскости (пространству направлений) путем интегрирования по соответствующим областям на диске. Это полезно для статистического анализа направленных данных ^[6], включая случайное жесткое вращение . ^[8]

С помощью азимутальной проекции Ламберта можно построить не только линии, но и плоскости, проходящие через начало координат. Плоскость пересекает полусферу по дуге окружности, называемой следом плоскости, которая спускается вниз до кривой (обычно некруглой) в диске. Можно построить эту кривую или заменить плоскость перпендикулярной ей линией, называемой полюсом , и вместо этого построить эту линию. Когда несколько плоскостей строятся вместе, нанесение полюсов вместо трасс позволяет получить менее загроможденный график.

Исследователи в области структурной геологии используют азимутальную проекцию Ламберта для построения кристаллографических осей и граней, линейности и слоистости в породах, поверхностей скольжения в разломах и других линейных и плоских объектов. В этом контексте проекция называется полусферической проекцией равной площади . Существует также равноугловая полусферическая проекция, определяемая стереографической проекцией . ^[6]

Обсуждение здесь делает упор на нижнее полушарие z ≤ 0, но некоторые дисциплины предпочитают верхнее полушарие z ≥ 0. ^[6] Действительно, любое полушарие можно использовать для записи линий через начало координат в трехмерном пространстве.

Сравнение азимутальной равновеликой проекции Ламберта и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в одном масштабе, упорядоченном по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

Анимированная проекция Ламберта [ править ]

^{[ необходима цитата ]}

Анимация проекции Ламберта. Каждая ячейка сетки сохраняет свою площадь на протяжении всего преобразования. В этой анимации точки на экваторе всегда остаются на плоскости.

z=0

В этой анимированной проекции Ламберта южный полюс зафиксирован.

Позвольте быть два параметра, для которых и . Пусть будет параметром «время» (равным высоте или вертикальной толщине оболочки в анимации). Если в пространстве нарисована равномерная прямолинейная сетка , то любая точка в этой сетке преобразуется в точку на сферической оболочке высотой в соответствии с отображением $(u,\phi )$ $-1<u\leq 1$ $0\leq \phi <2\pi$ $H$ $(u,\phi )$ $(x,y,z)$ $H$

$x=\lambda (u,H)\cos(\phi )$

$y=\lambda (u,H)\sin(\phi )$

$z={\frac {Hu}{2}}$

где . Каждый кадр в анимации соответствует параметрическому графику деформированной сетки при фиксированном значении высоты оболочки (от 0 до 2). Физически это растяжение (деформированная длина, деленная на исходную длину) бесконечно малых отрезков прямой. Это сопоставление можно преобразовать в сопоставление, в котором южный полюс остается фиксированным, используя вместо этого $\lambda (u,H)={\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)\right]}}$ $H$ $\lambda$ $d\phi$ $z={\frac {H(1-u)}{2}}.$

Независимо от значений , якобиан этого сопоставления везде равен 1, показывая, что это действительно сопоставление одинаковой площади на протяжении всей анимации. Это обобщенное отображение включает проекцию Ламберта как частный случай, когда . $(u,\phi ,H)$ $H=0$

Применение: это отображение может помочь в объяснении значения проекции Ламберта, показывая, что она «вскрывает» сферу на полюсе, превращая ее в диск без изменения области, заключенной в ячейках сетки.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с азимутальной равновеликой проекцией Ламберта .

Список картографических проекций
Азимутальная эквидистантная проекция
Европейская сетка
Проекция молота

Ссылки [ править ]

^ Мулкахи, Карен. «Азимутальная равная площадь Ламберта» . Городской университет Нью-Йорка . Проверено 30 марта 2007 .
↑ The Times Atlas of the World (1967), Бостон: Houghton Mifflin, Plate 3, et passim.
^ «Картографические проекции: от сферической Земли к плоской карте» . Министерство внутренних дел США . 2008-04-29. Архивировано из оригинала на 2009-05-07 . Проверено 8 апреля 2009 .
^ "Краткие материалы 1-го Европейского семинара по опорным сеткам, Испра, 27-29 октября 2003 г." (PDF) . Европейское агентство по окружающей среде . 2004-06-14. п. 6 . Проверено 27 августа 2009 .
↑ Рамзи (1967)
^ а б в г д Borradaile (2003).
^ «Руководство по геоматике 7, часть 2: Преобразования координат и преобразования, включая формулы» (PDF) . Международная ассоциация производителей нефти и газа . Сентябрь 2016 . Проверено 17 декабря 2017 .
^ Браннон, Р.М., «Вращение, отражение и смена кадра» , 2018

Источники [ править ]

Боррадейл, Грэм Дж. (2003). Статистика данных науки о Земле . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43603-0.
Ду Карму ; Манфредо П. (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0-13-212589-7.
Хоббс, Брюс Э., Средство, Уинтроп Д. и Уильямс, Пол Ф. (1976). Очерк структурной геологии . Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-40156-0.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Рамзи, Джон Г. (1967). Складчатость и трещиноватость горных пород . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
Спивак, Майкл (1999). Подробное введение в дифференциальную геометрию . Хьюстон, Техас: опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-70-5.

Внешние ссылки [ править ]

Пояснения к преобразованию координат с диаграммами
СМИ, связанные с азимутальной равновеликой проекцией Ламберта на Викискладе?

[mulcahy_lambert-1] Мулкахи, Карен. «Азимутальная равная площадь Ламберта» . Городской университет Нью-Йорка . Проверено 30 марта 2007 .

[2] The Times Atlas of the World (1967), Бостон: Houghton Mifflin, Plate 3, et passim.

[3] «Картографические проекции: от сферической Земли к плоской карте» . Министерство внутренних дел США . 2008-04-29. Архивировано из оригинала на 2009-05-07 . Проверено 8 апреля 2009 .

[4] "Краткие материалы 1-го Европейского семинара по опорным сеткам, Испра, 27-29 октября 2003 г." (PDF) . Европейское агентство по окружающей среде . 2004-06-14. п. 6 . Проверено 27 августа 2009 .

[Ramsay1967-5] Рамзи (1967)

[borradaile2003-6] а б в г д Borradaile (2003).

[7] «Руководство по геоматике 7, часть 2: Преобразования координат и преобразования, включая формулы» (PDF) . Международная ассоциация производителей нефти и газа . Сентябрь 2016 . Проверено 17 декабря 2017 .

[8] Браннон, Р.М., «Вращение, отражение и смена кадра» , 2018

[1]