Постоянная Лебега

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то константы Лебега ( в зависимости от набора узлов и его размера) дают представление о том , насколько хорошо интерполянте из функции (при заданных узлах) в сравнении с лучшим полиномиальным приближением функции (степени полиномы, очевидно, фиксированы). Константу Лебега для многочленов степени не выше n и для множества n + 1 узлов T обычно обозначают Λ _n ( T  ) . Эти константы названы в честь Анри Лебега .

Определение [ править ]

Зафиксируем узлы интерполяции и интервал, содержащий все узлы интерполяции. Процесс интерполяции отображает функцию в полином . Это определяет отображение из пространства C ([ a , b ]) всех непрерывных функций на [ a , b ] в себя. Отображение X линейно и является проекцией на подпространство Π _n многочленов степени n или меньше.${\ displaystyle x_ {0}, ..., x_ {n}}$ ${\ Displaystyle [а, \, Ь]}$${\ displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

Константа Лебега определяется как операторная норма в X . Это определение требует, чтобы мы указали норму на C ([ a , b ]). Равномерная норма , как правило , наиболее удобным.${\displaystyle \Lambda _{n}(T)}$

Свойства [ править ]

Константа Лебега ограничивает ошибку интерполяции: пусть p ^∗ обозначает наилучшее приближение f среди многочленов степени n или меньше. Другими словами, p ^∗ минимизирует || p -   f  || среди всех p в Π _n . потом

${\displaystyle \|f-X(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|f-p^{*}\right\|.}$

Здесь мы докажем это утверждение с максимальной нормой.

${\displaystyle \|f-X(f)\|\leq \|f-p^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|}$

по неравенству треугольника . Но X является проекцией на Π _n , поэтому

p ^∗ - X (  f  ) = X ( p ^∗ ) - X (  f  ) = X ( p ^∗ - f  ) .

Это завершает доказательство, поскольку . Отметим, что это соотношение также является частным случаем леммы Лебега .${\displaystyle \|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|f-p^{*}\|}$

Другими словами, интерполяционный полином не более чем на множитель Λ _n ( T  ) + 1 хуже, чем наилучшее возможное приближение. Это говорит о том, что мы ищем набор узлов интерполяции с небольшой константой Лебега.

Константу Лебега можно выразить через базисные полиномы Лагранжа :

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

Фактически, у нас есть функция Лебега

${\displaystyle \lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.}$

а константа Лебега (или число Лебега) для сетки - его максимальное значение

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)}$

Тем не менее найти явное выражение для Λ _n ( T  ) непросто .

Минимальные константы Лебега [ править ]

В случае равноудаленных узлов постоянная Лебега растет экспоненциально . Точнее, имеем следующую асимптотическую оценку

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{en\log n}}\qquad {\text{ as }}n\to \infty .}$

С другой стороны, постоянная Лебега растет только логарифмически, если используются узлы Чебышева , поскольку мы имеем

${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots }$

Мы снова заключаем, что узлы Чебышева - очень хороший выбор для полиномиальной интерполяции. Однако существует простое (линейное) преобразование узлов Чебышева, которое дает лучшую константу Лебега. Пусть т _я обозначу я -й Чебышеву узел. Затем определим

${\displaystyle s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.}$

Для таких узлов:

${\displaystyle \Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots }$

Однако эти узлы не являются оптимальными (т.е. они не минимизируют константы Лебега), и поиск оптимального набора узлов (который уже доказал свою уникальность при некоторых предположениях) по-прежнему остается интригующей темой в математике сегодня. Однако этот набор узлов оптимален для интерполяции по набору n раз дифференцируемых функций, n -я производная которых ограничена по модулю константой M, как показано Н. С. Хоангом. Используя компьютер , можно аппроксимировать значения минимальных констант Лебега, здесь для канонического интервала [−1, 1] :${\displaystyle C_{M}^{n}[-1,1]}$

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λ n ( Т )	1,0000	1,2500	1,4229	1,5595	1,6722	1,7681	1,8516	1,9255	1,9917

Существует несчетное бесконечное множество наборов узлов в [−1,1], которые минимизируют при фиксированном n > 1 константу Лебега. Хотя, если мы предположим, что мы всегда берем -1 и 1 в качестве узлов для интерполяции (что называется канонической конфигурацией узлов), то такой набор уникален и имеет нулевую симметрию. Чтобы проиллюстрировать это свойство, мы увидим, что происходит, когда n = 2 (т.е. мы рассматриваем 3 узла интерполяции, и в этом случае свойство нетривиально). Можно проверить, что каждый набор (нуль-симметричных) узлов типа (- a , 0, a ) оптимален, когда√ 8/3≤ a ≤ 1 (мы рассматриваем только узлы в [−1, 1]). Если мы заставим набор узлов иметь тип (−1, b , 1) , тогда b должен быть равен 0 (посмотрите на функцию Лебега, максимум которой является константой Лебега). Все произвольные (т. Е. Нулевые симметричные или нулевые асимметричные) оптимальные наборы узлов в [-1,1], когда n = 2, были определены Ф. Шурером, а альтернативным способом - Х.-Дж. Рэк и Р. Вайда (2014).

Если мы предположим, что мы берем −1 и 1 в качестве узлов для интерполяции, то, как показано Х.-Дж. Rack (1984 и 2013), для случая n = 3 известны явные значения оптимальных (уникальных и нуль-симметричных) 4 узлов интерполяции и явное значение минимальной константы Лебега. Все произвольные оптимальные наборы из 4 узлов интерполяции в [1,1] при n = 3 были явно определены двумя разными, но эквивалентными способами Х.-Дж. Рэк и Р. Вайда (2015).

В точках Падуи обеспечивают еще один набор узлов с медленным ростом (хотя и не так медленно , как узлы Чебышева) и с дополнительным свойством быть УНИСОЛВЕНТОМ уставкой .

Чувствительность значений полинома [ править ]

Константы Лебега возникают и в другой проблеме. Пусть p ( x ) - многочлен степени n, выраженный в лагранжевой форме, связанный с точками в векторе t (т. Е. Вектор u его коэффициентов является вектором, содержащим значения ). Пусть - многочлен, полученный путем небольшого изменения коэффициентов u исходного многочлена p ( x ) на . Рассмотрим неравенство:${\displaystyle p(t_{i})}$${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$${\displaystyle {\hat {u}}}$

${\displaystyle {\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}}$

Это означает, что (относительная) ошибка в значениях не будет больше, чем соответствующая константа Лебега, умноженная на относительную ошибку коэффициентов. В этом смысле постоянную Лебега можно рассматривать как относительное число обусловленности оператора, отображающего каждый вектор коэффициентов u в набор значений полинома с коэффициентами u в форме Лагранжа. Фактически мы можем определить такой оператор для каждого полиномиального базиса, но его число обусловленности больше, чем оптимальная константа Лебега для наиболее удобных базисов.${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$

Ссылки [ править ]

• Брутман, Л. (1997), "Функции Лебега для полиномиальной интерполяции - обзор", Annals of Numerical Mathematics , 4 : 111–127, ISSN  1021-2655
• Смит, Саймон Дж. (2006), "Константы Лебега в полиномиальной интерполяции" (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 33 : 109–123, ISSN  1787-5021
• Ibrahimoglu Байрам Али (2016), "функции Лебега и Лебега константы в полиномиальной интерполяции", Журнал неравенстве и приложения : 2016: 93, DOI : 10,1186 / s13660-016-1030-3 , ISSN  1029-242X
• Стойка, H.-J. (1984), "Пример оптимальных узлов интерполяции" , Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 15 (3): 355-357, DOI : 10,1080 / 0020739840150312 , ISSN  1464-5211
• Стойка, H.-J. (2013), «Повторный пример оптимальных узлов для интерполяции», Успехи в прикладной математике и теории приближений , Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 41 : 117–120, doi : 10.1007 / 978-1-4614-6393-1_7 , ISSN  2194-1009
• Стойка, H.-J .; Вайда, Р. (2014), «Об оптимальной квадратичной интерполяции Лагранжа: системы экстремальных узлов с минимальной константой Лебега посредством символьных вычислений» , Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, ISSN  1312-6555
• Стойка, H.-J .; Вайда, Р. (2015), «Об оптимальной кубической интерполяции Лагранжа: системы экстремальных узлов с минимальной константой Лебега» (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151–171, ISSN  0252-1938
• Шурер, Ф. (1974), "Замечание об экстремальных множествах в теории полиномиальной интерполяции", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN  0081-6906
• Хоанг, Н.С., О распределении узлов для интерполяционных и спектральных методов. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode : 2013arXiv1305.6104H
• Константы Лебега в MathWorld .