Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , то константы Лебега ( в зависимости от набора узлов и его размера) дают представление о том , насколько хорошо интерполянте из функции (при заданных узлах) в сравнении с лучшим полиномиальным приближением функции (степени полиномы, очевидно, фиксированы). Константу Лебега для многочленов степени не выше n и для множества n + 1 узлов T обычно обозначают Λ n ( T ) . Эти константы названы в честь Анри Лебега .
Определение [ править ]
Зафиксируем узлы интерполяции и интервал, содержащий все узлы интерполяции. Процесс интерполяции отображает функцию в полином . Это определяет отображение из пространства C ([ a , b ]) всех непрерывных функций на [ a , b ] в себя. Отображение X линейно и является проекцией на подпространство Π n многочленов степени n или меньше.
Константа Лебега определяется как операторная норма в X . Это определение требует, чтобы мы указали норму на C ([ a , b ]). Равномерная норма , как правило , наиболее удобным.
Свойства [ править ]
Константа Лебега ограничивает ошибку интерполяции: пусть p ∗ обозначает наилучшее приближение f среди многочленов степени n или меньше. Другими словами, p ∗ минимизирует || p - f || среди всех p в Π n . потом
Здесь мы докажем это утверждение с максимальной нормой.
по неравенству треугольника . Но X является проекцией на Π n , поэтому
- p ∗ - X ( f ) = X ( p ∗ ) - X ( f ) = X ( p ∗ - f ) .
Это завершает доказательство, поскольку . Отметим, что это соотношение также является частным случаем леммы Лебега .
Другими словами, интерполяционный полином не более чем на множитель Λ n ( T ) + 1 хуже, чем наилучшее возможное приближение. Это говорит о том, что мы ищем набор узлов интерполяции с небольшой константой Лебега.
Константу Лебега можно выразить через базисные полиномы Лагранжа :
Фактически, у нас есть функция Лебега
а константа Лебега (или число Лебега) для сетки - его максимальное значение
Тем не менее найти явное выражение для Λ n ( T ) непросто .
Минимальные константы Лебега [ править ]
В случае равноудаленных узлов постоянная Лебега растет экспоненциально . Точнее, имеем следующую асимптотическую оценку
С другой стороны, постоянная Лебега растет только логарифмически, если используются узлы Чебышева , поскольку мы имеем
Мы снова заключаем, что узлы Чебышева - очень хороший выбор для полиномиальной интерполяции. Однако существует простое (линейное) преобразование узлов Чебышева, которое дает лучшую константу Лебега. Пусть т я обозначу я -й Чебышеву узел. Затем определим
Для таких узлов:
Однако эти узлы не являются оптимальными (т.е. они не минимизируют константы Лебега), и поиск оптимального набора узлов (который уже доказал свою уникальность при некоторых предположениях) по-прежнему остается интригующей темой в математике сегодня. Однако этот набор узлов оптимален для интерполяции по набору n раз дифференцируемых функций, n -я производная которых ограничена по модулю константой M, как показано Н. С. Хоангом. Используя компьютер , можно аппроксимировать значения минимальных констант Лебега, здесь для канонического интервала [−1, 1] :
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Λ n ( Т ) 1,0000 1,2500 1,4229 1,5595 1,6722 1,7681 1,8516 1,9255 1,9917
Существует несчетное бесконечное множество наборов узлов в [−1,1], которые минимизируют при фиксированном n > 1 константу Лебега. Хотя, если мы предположим, что мы всегда берем -1 и 1 в качестве узлов для интерполяции (что называется канонической конфигурацией узлов), то такой набор уникален и имеет нулевую симметрию. Чтобы проиллюстрировать это свойство, мы увидим, что происходит, когда n = 2 (т.е. мы рассматриваем 3 узла интерполяции, и в этом случае свойство нетривиально). Можно проверить, что каждый набор (нуль-симметричных) узлов типа (- a , 0, a ) оптимален, когда√ 8/3≤ a ≤ 1 (мы рассматриваем только узлы в [−1, 1]). Если мы заставим набор узлов иметь тип (−1, b , 1) , тогда b должен быть равен 0 (посмотрите на функцию Лебега, максимум которой является константой Лебега). Все произвольные (т. Е. Нулевые симметричные или нулевые асимметричные) оптимальные наборы узлов в [-1,1], когда n = 2, были определены Ф. Шурером, а альтернативным способом - Х.-Дж. Рэк и Р. Вайда (2014).
Если мы предположим, что мы берем −1 и 1 в качестве узлов для интерполяции, то, как показано Х.-Дж. Rack (1984 и 2013), для случая n = 3 известны явные значения оптимальных (уникальных и нуль-симметричных) 4 узлов интерполяции и явное значение минимальной константы Лебега. Все произвольные оптимальные наборы из 4 узлов интерполяции в [1,1] при n = 3 были явно определены двумя разными, но эквивалентными способами Х.-Дж. Рэк и Р. Вайда (2015).
В точках Падуи обеспечивают еще один набор узлов с медленным ростом (хотя и не так медленно , как узлы Чебышева) и с дополнительным свойством быть УНИСОЛВЕНТОМ уставкой .
Чувствительность значений полинома [ править ]
Константы Лебега возникают и в другой проблеме. Пусть p ( x ) - многочлен степени n, выраженный в лагранжевой форме, связанный с точками в векторе t (т. Е. Вектор u его коэффициентов является вектором, содержащим значения ). Пусть - многочлен, полученный путем небольшого изменения коэффициентов u исходного многочлена p ( x ) на . Рассмотрим неравенство:
Это означает, что (относительная) ошибка в значениях не будет больше, чем соответствующая константа Лебега, умноженная на относительную ошибку коэффициентов. В этом смысле постоянную Лебега можно рассматривать как относительное число обусловленности оператора, отображающего каждый вектор коэффициентов u в набор значений полинома с коэффициентами u в форме Лагранжа. Фактически мы можем определить такой оператор для каждого полиномиального базиса, но его число обусловленности больше, чем оптимальная константа Лебега для наиболее удобных базисов.
Ссылки [ править ]
- Брутман, Л. (1997), "Функции Лебега для полиномиальной интерполяции - обзор", Annals of Numerical Mathematics , 4 : 111–127, ISSN 1021-2655
- Смит, Саймон Дж. (2006), "Константы Лебега в полиномиальной интерполяции" (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 33 : 109–123, ISSN 1787-5021
- Ibrahimoglu Байрам Али (2016), "функции Лебега и Лебега константы в полиномиальной интерполяции", Журнал неравенстве и приложения : 2016: 93, DOI : 10,1186 / s13660-016-1030-3 , ISSN 1029-242X
- Стойка, H.-J. (1984), "Пример оптимальных узлов интерполяции" , Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 15 (3): 355-357, DOI : 10,1080 / 0020739840150312 , ISSN 1464-5211
- Стойка, H.-J. (2013), «Повторный пример оптимальных узлов для интерполяции», Успехи в прикладной математике и теории приближений , Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 41 : 117–120, doi : 10.1007 / 978-1-4614-6393-1_7 , ISSN 2194-1009
- Стойка, H.-J .; Вайда, Р. (2014), «Об оптимальной квадратичной интерполяции Лагранжа: системы экстремальных узлов с минимальной константой Лебега посредством символьных вычислений» , Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, ISSN 1312-6555
- Стойка, H.-J .; Вайда, Р. (2015), «Об оптимальной кубической интерполяции Лагранжа: системы экстремальных узлов с минимальной константой Лебега» (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151–171, ISSN 0252-1938
- Шурер, Ф. (1974), "Замечание об экстремальных множествах в теории полиномиальной интерполяции", Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN 0081-6906
- Хоанг, Н.С., О распределении узлов для интерполяционных и спектральных методов. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode : 2013arXiv1305.6104H
- Константы Лебега в MathWorld .