Алгебразначная дифференциальная форма Ли

В дифференциальной геометрии алгеброзначная форма Ли - это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли . Такие формы имеют важные приложения в теории связностей на главном расслоении, а также в теории связностей Картана .

Формальное определение [ править ]

Алгебры Ли-значные дифференциал к -форме на многообразии, является гладким участком из пучка , где является алгеброй Ли , являются кокасательным расслоением на и Λ ^к обозначает K - ^я внешней степени .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle ({\ mathfrak {g}} \ times M) \ otimes \ wedge ^ {k} T ^ {*} M}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle T ^ {*} M}$${\ displaystyle M}$

Продукт клина [ править ]

Поскольку каждая алгебра Ли имеет билинейную скобочную операцию , произведение клина двух алгеброзначных форм Ли может быть составлено с помощью скобочной операции для получения другой алгеброзначной формы Ли. Для -значной p -формы и -значной q -формы их произведение клина дается выражением ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle [\ omega \ wedge \ eta]}$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},\cdots ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)})],}$

где v _i - касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если и являются алгеброзначными формами Ли, то${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})={1 \over 2}([\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]).}$

Операцию также можно определить как билинейную операцию при выполнении${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$${\displaystyle \Omega (M,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta )}$

для всех и .${\displaystyle g,h\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )}$

Некоторые авторы использовали обозначения вместо . Обозначения , которая напоминает коммутатор , оправдываются тем , что если алгебра Ли является алгебра матриц , то нет ничего , кроме градуированного коллектору от и , то есть , если и тогда${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$${\displaystyle [\omega ,\eta ]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle \eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,}$

где - произведения клина, образованные умножением матриц на .${\displaystyle \omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Операции [ править ]

Позвольте быть гомоморфизм алгебры Ли . Если φ является значной формой на многообразии, то е (ф) является значной формой на том же многообразии получается применением п к значениям ф: .${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle f(\varphi )(v_{1},\dots ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dots ,v_{k}))}$

Аналогично, если f - полилинейный функционал на , то ставится ^[1]${\displaystyle \textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle f(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{k})(v_{1},\dots ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (q_{1})}),\dots ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dots ,v_{\sigma (q)}))}$

где д = д ₁ + ... + ц _к и φ _я являюсь значной д _я -форма. Более того, учитывая векторное пространство V , ту же формулу можно использовать для определения V -значной формы, когда${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle f(\varphi ,\eta )}$

${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\times V\to V}$

- полилинейное отображение, φ - -значная форма, η - V -значная форма. Обратите внимание, когда${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

(*) f ([ x , y ], z ) = f ( x , f ( y , z )) - f ( y , f ( x , z )),

предоставление f равносильно давлению действия на V ; т.е. f определяет представление${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)}$

и, наоборот, любое представление ρ определяет f с условием (*). Например, если (скобка ), то мы восстанавливаем данное выше определение присоединенного представления с ρ = ad . (Обратите внимание, что отношение между f и ρ выше, таким образом, похоже на отношение между скобкой и ad.) ${\displaystyle f(x,y)=[x,y]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

В общем, если α является -значной p- формой, а φ является V -значной q -формой, то чаще пишут α⋅φ = f (α, φ), когда f ( T , x ) = Tx . Явно,${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

${\displaystyle (\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

С этой записью, например:

${\displaystyle \operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]}$.

Пример: Если ω - однозначная однозначная форма (например, форма связности ), ρ - представление в векторном пространстве V и φ - V -значная нуль-форма, то${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).}$^[2]

Формы со значениями в сопряженном пакете [ править ]

Пусть P - гладкое главное расслоение со структурной группой G и . G действует через присоединенное представление, поэтому можно сформировать ассоциированный пучок:${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.}$

Любые -значные формы на базовом пространстве P находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с любыми тензорными формами присоединенного типа на P.${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$

См. Также [ править ]

• Форма Маурера – Картана
• Присоединенный комплект

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• С. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (библиотека Wiley Classics) Том 1, 2.

Внешние ссылки [ править ]

• Произведение клина алгебры Ли со значениями одной формы
• группоид алгеброзначных форм в nLab