В математике , то коммутатор дает представление о степени , в которой некоторая бинарная операция не может быть коммутативными . В теории групп и теории колец используются разные определения .
Теория групп [ править ]
Коммутатор из двух элементов, г и ч , из группы G , является элементом
- [ g , h ] = g −1 h −1 gh .
Этот элемент равен идентичности группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (из определения gh = hg [ g , h ] , будучи [ g , h ] равным единице тогда и только тогда, когда gh = hg ).
Множество всех коммутаторов группы в общем случае не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа из G генерируется всеми коммутаторы закрыта и называется производной группа или коммутант из G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп и наибольшей абелевой фактор-группы .
Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как
Тождества (теория групп) [ править ]
Коммутаторные тождества - важный инструмент в теории групп . [3] Выражение х обозначает конъюгат из по й , определенному как х -1 ах .
- а также
- а также
- а также
Тождество (5) также известно как тождество Холла – Витта в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. Следующий раздел).
NB, приведенное выше определение конъюгата a с помощью x используется некоторыми теоретиками групп. [4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax −1 . [5] Об этом часто пишут . Подобные тождества имеют место и для этих соглашений.
Используются многие тождества, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе хорошо себя ведут вторые силы:
Если производная подгруппа центральная, то
Теория колец [ править ]
Коммутатор из двух элементов и б из кольца (включая любую ассоциативную алгебру ) определяются
Он равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как скобку Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .
Антикоммутатор из двух элементов и б кольца или ассоциативная алгебра определяется
Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем используется для обозначения коммутатора. [6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц.
Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве, является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона – Шредингера . [7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функциональных звездных произведений называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.
Тождества (теория колец) [ править ]
Коммутатор обладает следующими свойствами:
Тождества алгебры Ли [ править ]
Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) - тождеством Якоби .
Дополнительные удостоверения [ править ]
Если A - фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для карты, задаваемой . Другими словами, отображение объявления определяет вывод на кольце R . Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выразить Z - билинейность .
Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанное выше обозначение ±. [8] Например:
Экспоненциальные идентичности [ править ]
Рассмотрим кольцо или алгебра , в которой экспоненциальный может быть осмысленно определено, такие как алгебра Банаха , кольцо формальных степенных рядов , или универсальной обертывающей в виде алгебры Ли .
В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. Ниже в сопряженном выводе .) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для log (exp ( A ) exp ( B )).
Подобное разложение выражает групповой коммутатор выражений (аналогично элементам группы Ли) через серию вложенных коммутаторов (скобки Ли),
Градуированные кольца и алгебры [ править ]
При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как
Сопряженное происхождение [ править ]
Другое обозначение оказывается полезным, особенно если речь идет о нескольких коммутаторах в кольце R. Для элемента мы определяем сопряженное отображение следующим образом:
Это отображение является производным на кольце R :
- .
По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:
- .
Составив такие отображения, мы получаем, например, и
Мы можем рассматривать себя как отображение, где - кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда - гомоморфизм алгебр Ли , сохраняющий коммутатор:
Напротив, это не всегда гомоморфизм колец: обычно .
Общее правило Лейбница [ править ]
Общее правило Лейбница , расширяя повторяющиеся производные продукта, может быть записано с помощью абстрактно присоединенного представления:
Замена х оператора дифференцирования , а у оператора умножения , мы получаем , и применяя обе стороны к функции г , личность становится обычным правилом Лейбница для п - й производной .
См. Также [ править ]
- Антикоммутативность
- Ассоциатор
- Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
- Каноническое коммутационное отношение
- Центратор, он же коммутант
- Вывод (абстрактная алгебра)
- Кронштейн Мойял
- Производная Пинчерле
- Скобка Пуассона
- Тройной коммутатор
- Лемма о трех подгруппах
Заметки [ править ]
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 108)
- ^ Херстейн (1975 , стр. 65)
- ↑ Маккей (2000 , стр.4)
- ^ Херстейн (1975 , стр. 83)
- ^ Fraleigh (1976 , стр. 128)
- ^ МакМахон (2008)
- ^ Liboff (2003 , стр. 140-142)
- Перейти ↑ Lavrov, PM (2014). «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах». Теоретическая и математическая физика . 179 (2): 550–558. arXiv : 1304,5050 . Bibcode : 2014TMP ... 179..550L . DOI : 10.1007 / s11232-014-0161-2 . S2CID 119175276 .
Ссылки [ править ]
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-805326-X
- Herstein, IN (1975), Topics In Algebra (2-е изд.), John Wiley & Sons
- Либофф, Ричард Л. (2003), Введение в квантовую механику (4-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
- Маккей, Сьюзан (2000), Конечные p-группы , Математические заметки Королевы Марии, 18 , Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994
- МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , США: МакГроу Хилл , ISBN 978-0-07-154382-8
Дальнейшее чтение [ править ]
- Маккензи, Р .; Сноу Дж. (2005), "Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутатора", Кудрявцев, В.Б. Розенберг И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра , Springer, стр. 273–329.
Внешние ссылки [ править ]
- "Коммутатор" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]