В математике и физике , Либ-Тирринг неравенство обеесть верхнюю граница сумм степеней отрицательных собственных значений одного оператора Шредингера в терминах интегралов потенциала. Они названы в честь Э. Х. Либа и У. Э. Тирринга .
Неравенства полезны при изучении квантовой механики и дифференциальных уравнениях и предполагают, как следствие, нижней границы кинетической энергии вквантово-механические частицы, играющие важную роль в доказательстве устойчивости материи . [1]
Формулировка неравенств
Для оператора Шредингера на с реальным потенциалом , число обозначают (не обязательно конечную) последовательность отрицательных собственных значений. Тогда для а также удовлетворяющий одному из условий
существует постоянная , который зависит только от а также , так что
( 1 )
где отрицательная часть потенциала . Случаи также как и были доказаны Э. Х. Либом и У. Тиррингом в 1976 г. [1] и использовались в их доказательстве устойчивости материи. В случаелевая часть - это просто количество отрицательных собственных значений, и доказательства были предоставлены независимо М. Цвикель, [2] Э. Х. Либом [3] и Г. В. Розенблюмом. [4] В результатеТаким образом, неравенство также называется границей Цвикеля – Либа – Розенблюма. Оставшийся критический случайбыло доказано Т. Вайдлем [5] . Условия на а также необходимы и не могут быть расслаблены.
Константы Либа – Тирринга
Квазиклассическое приближение
Неравенства Либа – Тирринга можно сравнить с полуклассическим пределом. Классическое фазовое пространство состоит из пар. Определение оператора импульса с участием и предполагая, что каждое квантовое состояние содержится в объеме в -мерное фазовое пространство, квазиклассическое приближение
выводится с константой
В то время как полуклассическое приближение не требует каких-либо предположений относительно , неравенства Либа – Тирринга справедливы только для подходящих .
Асимптотика Вейля и точные константы
Было опубликовано множество результатов о наилучшей возможной константе. в ( 1 ), но эта проблема все еще частично остается открытой. Квазиклассическое приближение становится точным в пределе большой связи, т.е. для потенциаловв вейлевском асимптотике
держать. Это означает, что. Либ и Тирринг [1] смогли показать, что для . М. Айзенман и Э. Х. Либ [6] доказали, что для фиксированной размерности Соотношение является монотонной невозрастающей функцией. Впоследствии также было показано, что это справедливо для всех когда по А. Лаптевым и Т. Вайдль. [7] ДляД. Хундертмарк, Э. Х. Либ и Л. Э. Томас [8] доказали, что наилучшая константа дается формулой.
С другой стороны, известно, что для [1] и для. [9] В первом случае Либ и Тирринг предположили, что точная константа дается формулой
Наиболее известное значение соответствующей физической постоянной является [10], а наименьшая известная постоянная в неравенстве Цвикеля – Либа – Розенблюма равна. [3] Полный обзор наиболее известных на данный момент значений дляможно найти в литературе. [11]
Неравенства кинетической энергии
Неравенство Либа – Тирринга для эквивалентно нижней границе кинетической энергии заданного нормированного -частичная волновая функция с точки зрения однотельной плотности. Для антисимметричной волновой функции такой, что
для всех , однотельная плотность определяется как
Неравенство Либа – Тирринга ( 1 ) для эквивалентно утверждению, что
( 2 )
где точная постоянная определяется через
Неравенство можно распространить на частицы со спиновыми состояниями, заменив однотельную плотность суммированной по спину однотельной плотностью. Постоянная то должен быть заменен на где - количество квантовых спиновых состояний, доступных каждой частице (для электронов). Если волновая функция симметрична, а не антисимметрична, такая, что
для всех , постоянная должен быть заменен на . Неравенство ( 2 ) описывает минимальную кинетическую энергию, необходимую для достижения заданной плотности с участием частицы в Габаритные размеры. Еслибыло доказано, что правая часть ( 2 ) длябыло бы в точности термином кинетической энергии в теории Томаса – Ферми .
Неравенство можно сравнить с неравенством Соболева . М. Рюмин [12] вывел неравенство кинетической энергии ( 2 ) (с меньшей постоянной) напрямую, без использования неравенства Либа – Тирринга.
Устойчивость материи
Неравенство кинетической энергии играет важную роль в доказательстве устойчивости материи, представленной Либом и Тиррингом. [1] Рассматриваемый гамильтониан описывает систему частицы с спиновые состояния и фиксированные ядра в местахс обвинениями . Частицы и ядра взаимодействуют друг с другом посредством электростатической кулоновской силы, и может быть введено произвольное магнитное поле . Если рассматриваемые частицы являются фермионами (т.е. волновая функцияантисимметрична), то неравенство кинетической энергии ( 2 ) выполняется с константой (нет ). Это важнейший ингредиент в доказательстве устойчивости вещества для системы фермионов. Это гарантирует, что энергия основного состояния системы можно ограничить снизу константой, зависящей только от максимума зарядов ядер, , умноженное на количество частиц,
Тогда система будет стабильной первого рода, так как энергия основного состояния ограничена снизу, а также стабильна второго рода, то есть энергия убывает линейно с числом частиц и ядер. Для сравнения, если предположить, что частицы являются бозонами (т.е. волновая функциясимметрично), то неравенство кинетической энергии ( 2 ) выполняется только с постоянной а для энергии основного состояния только оценка вида держит. Поскольку власть можно показать как оптимальную, система бозонов устойчива первого рода, но неустойчива - второго.
Обобщения
Если лапласиан заменяется на , где - векторный потенциал магнитного поля в , неравенство Либа – Тирринга ( 1 ) остается в силе. Доказательство этого утверждения использует диамагнитное неравенство. Хотя все известные на данный момент константы остаются неизменными, неизвестно, верно ли это в целом для наилучшей возможной константы.
Лапласиан также можно заменить другими степенями . В частности для оператора, выполняется неравенство Либа – Тирринга, аналогичное ( 1 ), с другой константой и с заменой питания на правой стороне на . Аналогично кинетическое неравенство, аналогичное ( 2 ), выполняется с заменен на , который может быть использован для доказательства устойчивости вещества для релятивистского оператора Шредингера при дополнительных предположениях о зарядах . [13]
По сути, неравенство Либа – Тирринга ( 1 ) дает оценку сверху расстояний собственных значенийк существенному спектру с точки зрения возмущения . Аналогичные неравенства можно доказать для операторов Якоби . [14]
Рекомендации
- ^ a b c d e Lieb, Elliott H .; Тирринг, Уолтер Э. (1991). «Неравенства для моментов собственных значений гамильтониана Шредингера и их связь с неравенствами Соболева». В Тирринге, Уолтер Э. (ред.). Стабильность материи: от атомов к звездам . Издательство Принстонского университета. С. 135–169. DOI : 10.1007 / 978-3-662-02725-7_13 . ISBN 978-3-662-02727-1.
- ^ Cwikel, Майкл (1977). «Оценки слабого типа для сингулярных значений и числа связанных состояний операторов Шредингера». Анналы математики . 106 (1): 93–100. DOI : 10.2307 / 1971160 . JSTOR 1971160 .
- ^ а б Либ, Эллиотт (1 августа 1976 г.). «Оценки собственных значений операторов Лапласа и Шредингера» . Бюллетень Американского математического общества . 82 (5): 751–754. DOI : 10.1090 / s0002-9904-1976-14149-3 .
- ^ Розенблюм, Г.В. (1976). «Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов» . Известия Высших учебных заведений математики (1): 75–86. Руководство по ремонту 0430557 . Zbl 0342.35045 .
- ^ Вайдл, Тимо (1996). "О константах Либа-Тиррингапри у ≧ 1 / 2" . Связь в математической физике . 178 (1):. 135-146 Arxiv : колич-фот / 9504013 . DOI : 10.1007 / bf02104912 .
- ^ Айзенман, Майкл; Либ, Эллиотт Х. (1978). «О полуклассических оценках собственных значений операторов Шредингера». Физика Буквы A . 66 (6): 427–429. Bibcode : 1978PhLA ... 66..427A . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (78) 90385-7 .
- ^ Лаптев, Ари; Вайдл, Тимо (2000). «Острые неравенства Либа-Тирринга в больших размерностях» . Acta Mathematica . 184 (1): 87–111. DOI : 10.1007 / bf02392782 .
- ^ Хундертмарк, Дирк; Lieb, Elliott H .; Томас, Лоуренс Э. (1998). «Точная оценка момента собственного значения одномерного оператора Шредингера» . Успехи теоретической и математической физики . 2 (4): 719–731. DOI : 10,4310 / atmp.1998.v2.n4.a2 .
- ^ Helffer, B .; Роберт, Д. (1990). «Средние Рисса ограниченных состояний и полуклассический предел, связанный с гипотезой Либа – Тирринга. II» . Annales де l'Institut Анри Пуанкаре . 53 (2): 139–147. Руководство по ремонту 1079775 . Zbl 0728.35078 .
- ^ Дольбо, Жан; Лаптев, Ари; Потеря, Майкл (2008). «Неравенства Либа – Тирринга с уточненными константами» . Журнал Европейского математического общества . 10 (4): 1121–1126. DOI : 10,4171 / jems / 142 .
- ^ Лаптев, Ари. «Спектральные неравенства для уравнений с частными производными и их приложения». Исследования AMS / IP по высшей математике . 51 : 629–643.
- ^ Рюмин, Мишель (2011). «Неравенства сбалансированного распределения энергии и связанные с ними границы энтропии». Математический журнал герцога . 160 (3): 567–597. arXiv : 1008,1674 . DOI : 10.1215 / 00127094-1444305 . Руководство по ремонту 2852369 .
- ^ Франк, Руперт Л .; Lieb, Elliott H .; Сейринджер, Роберт (10 октября 2007 г.). «Неравенства Харди-Либа-Тирринга для дробных операторов Шредингера» . Журнал Американского математического общества . 21 (4): 925–950. DOI : 10.1090 / s0894-0347-07-00582-6 .
- ^ Хундертмарк, Дирк; Саймон, Барри (2002). «Неравенства Либа – Тирринга для матриц Якоби» . Журнал теории приближений . 118 (1): 106–130. DOI : 10,1006 / jath.2002.3704 .
Литература
- Lieb, EH; Сейрингер, Р. (2010). Устойчивость материи в квантовой механике (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521191180.
- Хундертмарк, Д. (2007). «Некоторые проблемы связанного состояния в квантовой механике». У Фрица Гестези; Перси Дейфт; Чери Гальвез; Питер Перри; Вильгельм Шлаг (ред.). Спектральная теория и математическая физика: Праздник в честь 60-летия Барри Саймона . Труды симпозиумов по чистой математике. 76 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 463–496. Bibcode : 2007stmp.conf..463H . ISBN 978-0-8218-3783-2.