Либ-Робинсон связан теоретический верхний предел скорости , при которой информация может распространяться в не- релятивистских квантовых систем. Это демонстрирует, что информация не может перемещаться мгновенно в квантовой теории, даже если игнорируются пределы относительности скорости света . Существование такой конечной скорости было математически обнаружено Эллиоттом Либом и Дереком Уильямом Робинсоном в 1972 г. [1]Это превращает свойства локальности физических систем в существование и верхнюю границу этой скорости. Граница теперь известна как граница Либа-Робинсона, а скорость известна как скорость Либа-Робинсона. Эта скорость всегда конечна, но не универсальна, в зависимости от деталей рассматриваемой системы. Для взаимодействий с конечным радиусом действия, например между ближайшими соседями, эта скорость является константой, не зависящей от пройденного расстояния. В системах с дальним взаимодействием эта скорость остается конечной, но может увеличиваться с увеличением пройденного расстояния. [2] [3]
При изучении квантовых систем, таких как квантовая оптика , квантовая теория информации , атомная физика и физика конденсированного состояния , важно знать, что существует конечная скорость, с которой информация может распространяться. Теория относительности показывает, что никакая информация или что-либо еще в этом отношении не может перемещаться быстрее скорости света. Однако, когда рассматривалась нерелятивистская механика ( уравнения движения Ньютона или уравнение квантовой механики Шредингера ), считалось, что тогда нет ограничений на скорость распространения информации. Это не так для определенных видов квантовых систем атомов, расположенных в решетке, часто называемых квантовыми спиновыми системами. Это важно как с концептуальной, так и с практической точки зрения, поскольку означает, что в течение коротких периодов времени удаленные части системы действуют независимо.
Одно из практических приложений оценок Либа-Робинсона - квантовые вычисления . Текущие предложения по созданию квантовых компьютеров, построенных из блоков, подобных атомам, в основном полагаются на существование этой конечной скорости распространения для защиты от слишком быстрого распространения информации. [4] [3]
Обзорные статьи можно найти в следующих ссылках, например, [5] [6] [7]
Строгое и современное введение можно найти в [8]
Настраивать
Чтобы определить границу, необходимо сначала описать основные факты о квантово-механических системах, состоящих из нескольких единиц, каждая из которых имеет конечномерное гильбертово пространство .
Границы Либа-Робинсона рассматриваются на -мерная решетка ( или же ) , например квадратная решетка .
Гильбертово пространство состояний связан с каждой точкой . Размерность этого пространства конечна, но в 2008 году она была обобщена и теперь включает бесконечные измерения (см. Ниже). Это называется квантовой спиновой системой .
Для каждого конечного подмножества решетки , ассоциированное гильбертово пространство задается тензорным произведением
- .
наблюдаемым поддерживается на (т. е. зависит только от) на конечном множестве является линейным оператором в гильбертовом пространстве.
Когда конечномерно, выберите конечный базис операторов, которые охватывают множество линейных операторов на. Тогда любая наблюдаемая на можно записать в виде суммы базисных операторов на .
Гамильтониан системы описывается взаимодействие. Взаимодействие является функцией от конечных множествк самосопряженным наблюдаемым поддерживается в . Предполагается, что взаимодействие имеет конечный диапазон (это означает, что если размер превышает определенный предписанный размер) и инвариант перевода . Позднее эти требования были отменены. [2] [9]
Хотя обычно предполагается трансляционная инвариантность, в этом нет необходимости. Достаточно предположить, что взаимодействие ограничено сверху и снизу в своей области. Таким образом, оценка достаточно надежна в том смысле, что она терпима к изменениям гамильтониана. Конечное диапазон является существенным, однако. Взаимодействие называется конечным, если существует конечное число такой, что для любого набора с диаметром больше чем взаимодействие равно нулю, т. е. . И снова это требование было снято позже. [2] [9]
Гамильтониан системы с взаимодействием формально определяется:
- .
Законы квантовой механики гласят, что каждой физически наблюдаемой величине соответствует самосопряженный оператор . Для каждого наблюдаемого с конечным носителем гамильтониан определяет непрерывную однопараметрическую группу преобразований наблюдаемых дано
Здесь, имеет физический смысл времени. (Технически говоря, эта временная эволюция определяется разложением в степенной ряд, который известен как сходящийся по норме ряд, см. [10] Теорема 7.6.2, адаптированная из. [11] Более подробные сведения можно найти в. [1] )
Рассматриваемая оценка доказана в [1] и имеет следующий вид: для любых наблюдаемых а также с конечными опорами а также соответственно и на любое время для некоторых положительных констант выполняется следующее: а также :
( 1 )
где обозначает расстояние между множествами а также . Оператор называется коммутатором операторов а также , а символ обозначает норму или размер оператора. Очень важно отметить, что эта граница не имеет ничего общего с состоянием квантовой системы, а зависит только от гамильтониан, определяющих динамику. Как только эта граница оператора установлена, она обязательно переносится на любое состояние системы.
Положительная константа зависит от норм наблюдаемых а также , размеры опор а также , взаимодействие, структура решетки и размерность гильбертова пространства . Положительная константазависит только от взаимодействия и структуры решетки. Номер могут быть выбраны по желанию при условии выбирается достаточно большим. Другими словами, чем дальше идет световой конус,, тем резче скорость экспоненциального затухания. (В более поздних работах авторы склонялись к как фиксированная константа.) Постоянная называется групповой скоростью или скоростью Либа-Робинсона .
Оценка ( 1 ) представлена несколько иначе, чем уравнение в исходной статье, в котором получены зависящие от скорости скорости распада вдоль пространственно-временных лучей со скоростью больше. [1] Эту более явную форму ( 1 ) можно увидеть из доказательства оценки [1]
Граница Либа-Робинсона показывает, что временами норма в правой части экспоненциально мала. Это экспоненциально малая ошибка, о которой говорилось выше.
Причина рассмотрения коммутатора в левой части оценок Либа – Робинсона следующая:
Коммутатор между наблюдаемыми а также равен нулю, если их носители не пересекаются.
Верно и обратное: если наблюдаемый таков, что его коммутатор с любыми наблюдаемыми поддерживается за пределами некоторого набора равно нулю, то имеет опору внутри набора .
Это утверждение также приблизительно верно в следующем смысле: [12] предположим, что существует некоторая такой, что для некоторых наблюдаемых и любые наблюдаемые что поддерживается за пределами набора . Тогда существует наблюдаемая с опорой внутри набора что приближается к наблюдаемому , т.е. .
Таким образом, границы Либа-Робинсона говорят, что временная эволюция наблюдаемой с подставкой в комплекте поддерживается (с точностью до экспоненциально малых ошибок) в -окрестности множества , где с участием скорость Либа-Робинсона. Вне этого набора нет влияния. Другими словами, эти оценки утверждают, что скорость распространения возмущений в квантовых спиновых системах ограничена.
Уточнения оценок Либа-Робинсона.
В [13] Робинсон обобщил оценку ( 1 ), рассматривая экспоненциально затухающие взаимодействия (которые не обязательно должны быть трансляционно-инвариантными), т. Е. Для которых сила взаимодействия экспоненциально спадает с диаметром множества. Этот результат подробно обсуждается в [14], глава 6. Не было большого интереса к оценкам Либа-Робинсона до 2004 г., когда Гастингс [15] применил их к теореме Либа – Шульца – Маттиса . Впоследствии Nachtergaele и Sims [16] расширили результаты [13], чтобы включить модели на вершинах с метрикой и получить экспоненциальное затухание корреляций . В 2005–2006 гг. Интерес к оценкам Либа – Робинсона усилился благодаря дополнительным приложениям к экспоненциальному убыванию корреляций (см. [2] [9] [17] и разделы ниже). Были разработаны новые доказательства оценок и, в частности, улучшена константа в ( 1 ), которая теперь не зависит от размерности гильбертова пространства.
Несколько дополнительных улучшений константы в ( 1 ). [18] В 2008 г. оценка Либа-Робинсона была распространена на случай, когда каждаябесконечномерно. [19] В [19] показано, что неограниченные возмущения на узле не меняют границу Либа-Робинсона. То есть гамильтонианы следующего вида можно рассматривать на конечном подмножестве:
где является самосопряженным оператором над , который не нужно ограничивать.
Гармонические и ангармонические гамильтонианы
Границы Либа-Робинсона были распространены на некоторые непрерывные квантовые системы, то есть на общий гармонический гамильтониан [19], который в конечном объеме, где положительные целые числа, принимает вид:
где накладываются периодические граничные условия и , . Здесь являются каноническими базисными векторами в .
Были рассмотрены ангармонические гамильтонианы с локальными и многоузловыми возмущениями, и для них были получены оценки Либа – Робинсона [19] [20]. Обсуждались дальнейшие обобщения гармонической решетки, [21] [22]
Необратимая динамика
Другое обобщение оценок Либа – Робинсона было сделано для необратимой динамики, и в этом случае динамика имеет гамильтонову часть, а также диссипативную часть. Диссипативная часть описывается терминами формы Линдблада, так что динамикаудовлетворяет главному уравнению Линдблада-Косаковского .
Границы Либа-Робинсона для необратимой динамики рассматривались в [17] в классическом контексте и в [23] для класса квантовых решетчатых систем с конечными взаимодействиями. Оценки Либа-Робинсона для решетчатых моделей с динамикой, порождаемой как гамильтоновыми, так и диссипативными взаимодействиями с достаточно быстрым распадом в пространстве, и которая может зависеть от времени, были доказаны в [24], где они также доказали существование бесконечной динамики как сильно непрерывный коцикл единицы, сохраняющий вполне положительные отображения.
Степенные взаимодействия
Границы Либа-Робинсона также были обобщены на взаимодействия, которые затухают по степенному закону, т. Е. Сила взаимодействия ограничена сверху величиной где диаметр набора и положительная константа. [2] [25] [26] [3] Понимание того, сохраняется ли локальность для степенных взаимодействий, имеет серьезные последствия для таких систем, как захваченные ионы, ридберговские атомы, ультрахолодные атомы и молекулы.
В отличие от взаимодействующих систем с конечным радиусом действия, где информация может перемещаться только с постоянной скоростью, степенные взаимодействия позволяют информации перемещаться со скоростью, которая увеличивается с увеличением расстояния. [27] Таким образом, границы Либа-Робинсона для степенных взаимодействий обычно дают сублинейный световой конус, который является асимптотически линейным в пределеНедавний анализ [ когда? ] с использованием алгоритма квантового моделирования подразумевается световой конус, где это размерность системы. [3] Затягивание светового конуса для степенных взаимодействий все еще является активной областью исследований.
Некоторые приложения
Границы Либа – Робинсона используются во многих областях математической физики. Среди основных приложений оценки - границы ошибок для алгоритмов квантового моделирования, существование термодинамического предела, экспоненциальное затухание корреляций и теорема Либа – Шульца – Маттиса.
Алгоритмы цифрового квантового моделирования
Целью цифрового квантового моделирования является моделирование динамики квантовой системы с использованием наименьшего количества элементарных квантовых вентилей. Для системы взаимодействия ближайшего соседа с частицы, моделирующие его динамику во времени использование формулы произведения Ли требуетквантовые ворота. В 2018 году Хаах и др. [4] предложили почти оптимальный квантовый алгоритм, который использует толькоквантовые ворота. Идея состоит в том, чтобы аппроксимировать динамику системы динамикой ее подсистем, некоторые из которых пространственно разделены. Погрешность аппроксимации ограничена исходной границей Либа-Робинсона. Позже алгоритм обобщается на степенные взаимодействия и впоследствии используется для получения более сильной границы Либа-Робинсона. [3]
Термодинамический предел динамики
Одним из важных свойств любой модели, предназначенной для описания свойств объемного вещества, является наличие термодинамического предела. Это говорит о том, что внутренние свойства системы должны быть по существу независимыми от размера системы, который в любой экспериментальной установке конечен.
Статический термодинамический предел с точки зрения равновесия был установлен задолго до доказательства границы Либа – Робинсона, см., Например , [10] . В некоторых случаях можно использовать границу Либа – Робинсона для установления существования термодинамического предела динамики :, для бесконечной решетки как предел конечной динамики решетки. Предел обычно рассматривается по возрастающей последовательности конечных подмножеств, т.е. такие, что при , есть включение . Чтобы доказать существование бесконечной динамики как сильно непрерывная однопараметрическая группа автоморфизмов доказано, что является последовательностью Коши и, следовательно, сходится. Из элементарных соображений следует существование термодинамического предела. Более подробное обсуждение термодинамического предела можно найти в [28], раздел 6.2.
Робинсон был первым, кто показал существование термодинамического предела для экспоненциально затухающих взаимодействий. [13] Позже Nachtergaele et al. [9] [20] [24] показали существование динамики бесконечного объема почти для каждого типа взаимодействия, описанного в разделе «Улучшения границ Либа – Робинсона» выше.
Экспоненциальное затухание корреляций
Позволять обозначают математическое ожидание наблюдаемого в состоянии . Корреляционная функция между двумя наблюдаемыми а также определяется как
Границы Либа – Робинсона используются, чтобы показать, что корреляции экспоненциально затухают с расстоянием для системы с энергетической щелью над невырожденным основным состоянием. , видеть. [2] [16] Другими словами, неравенство
справедливо для наблюдаемых а также с поддержкой в наборах а также соответственно. Здесь а также некоторые константы.
В качестве альтернативы государство можно рассматривать как состояние продукта, и в этом случае корреляции затухают экспоненциально, не предполагая наличие энергетической щели над основным состоянием. [9]
Такой распад был давно известен для релятивистской динамики, но только догадывался для ньютоновской динамики. Границы Либа – Робинсона заменяют релятивистскую симметрию локальными оценками гамильтониана.
Теорема Либа-Шульца-Маттиса
Из теоремы Либа-Шульца-Маттиса следует, что основное состояние антиферромагнетика Гейзенберга на двудольной решетке с изоморфными подрешетками невырождено, т. Е. Единственно, но щель может быть очень маленькой. [29]
Для одномерных и квазиодномерных систем четной длины и с полуцелым спином Аффлек и Либ [30], обобщая исходный результат Либа, Шульца и Маттиса, [31] доказали, что щель в спектре над основным состоянием ограничена сверху величиной
где размер решетки и является константой. Было предпринято много попыток распространить этот результат на более высокие измерения ,,
Граница Либа – Робинсона использовалась Гастингсом [15] и Нахтергеле-Симсом [32] при доказательстве теоремы Либа – Шульца – Маттиса для многомерных случаев. Получена следующая оценка зазора:
- .
Дискретизация континуума с помощью квадратурных правил Гаусса
В 2015 году было показано, что граница Либа-Робинсона также может иметь приложения вне контекста локальных гамильтонианов, как мы сейчас объясняем. Модель спин-бозона описывает динамику спина, связанного с континуумом осцилляторов. Он был очень подробно изучен и объясняет квантовые диссипативные эффекты в широком диапазоне квантовых систем. Позволять обозначают гамильтониан модели спин-бозона с континуальным бозонным термостатом, а Обозначить модель спинового бозона, чья ванна была дискретизирована, чтобы включить гармонические осцилляторы с частотами, выбранными согласно квадратурным правилам Гаусса . Для всех наблюдаемых на спин-гамильтониане ошибка математического ожидания индуцированная дискретизацией модели спин-бозона в соответствии с указанной выше схемой дискретизации, ограничена [33]
()
где положительные константы и - скорость Либа-Робинсона, которая в этом случае прямо пропорциональна , максимальная частота ванны в модели спин-бозона. Здесь количество дискретных мод играть роль расстояния упомянутые ниже уравнения. ( 1 ). Можно также ограничить ошибку, вызванную усечением гармонических осцилляторов в локальном пространстве Фока [34]
Эксперименты
Первое экспериментальное наблюдение скорости Либа – Робинсона было сделано Cheneau et al. [35]
Рекомендации
- ^ a b c d e Lieb, Elliott H .; Робинсон, Дерек В. (1972). «Конечная групповая скорость квантовых спиновых систем» . Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 28 (3): 251–257. Bibcode : 1972CMaPh..28..251L . DOI : 10.1007 / bf01645779 . ISSN 0010-3616 . Руководство по ремонту 0312860 . S2CID 122298337 .
- ^ а б в г д е Гастингс, Мэтью Б .; Кома, Тору (22 апреля 2006 г.). «Спектральный провал и экспоненциальное затухание корреляций». Сообщения по математической физике . 265 (3): 781–804. arXiv : math-ph / 0507008 . Bibcode : 2006CMaPh.265..781H . CiteSeerX 10.1.1.339.9339 . DOI : 10.1007 / s00220-006-0030-4 . ISSN 0010-3616 . S2CID 7941730 .
- ^ а б в г д Tran, Minh C .; Guo, Andrew Y .; Су, юань; Гаррисон, Джеймс Р .; Элдридж, Захари; Фосс-Фейг, Майкл; Чайлдс, Эндрю М .; Горшков, Алексей В. (2019). «Локальность и цифровое квантовое моделирование степенных взаимодействий» . Physical Review X . 9 (3): 031006. arXiv : 1808.05225 . Bibcode : 2019PhRvX ... 9c1006T . DOI : 10.1103 / PhysRevX.9.031006 . PMC 7047884 . PMID 32117576 .
- ^ а б Хаах, Чонван; Гастингс, Мэтью Б .; Котари, Робин; Низкий, Гуан Хао (2021). «Квантовый алгоритм для моделирования эволюции решеточных гамильтонианов в реальном времени». Журнал SIAM по вычислениям : FOCS18-250-FOCS18-284. arXiv : 1801.03922 . DOI : 10.1137 / 18M1231511 .
- ^ Б. Nachtergaele, Р. Симс, Много шума чтото: Почему Либа-Robinson оценки полезны, IAMP Информационный бюллетень, октябрь 2010, 22-29, (2010)
- ^ Клиш, Мартин; Гоголин, Кристиан; Эйсерт, Йенс (2014). "Границы Либа-Робинсона и моделирование эволюции во времени локальных наблюдаемых в решетчатых системах". Многоэлектронные подходы в физике, химии и математике . Математическая физика Исследования MPST . Чам: Издательство Springer International. С. 301–318. arXiv : 1306.0716 . DOI : 10.1007 / 978-3-319-06379-9_17 . ISBN 978-3-319-06378-2. ISSN 0921-3767 . S2CID 119322310 .
- ^ МБ Гастингс, Локальность в квантовых системах, arXiv: 1008.5137
- ^ Naaijkens, Питер (2017), "Бесконечные системы", квантовых спиновых систем на бесконечных решетках , Лекции по физике, Чам: Springer International Publishing, 933 , стр 57-108,. DOI : 10.1007 / 978-3-319-51458- 1_3 , ISBN 978-3-319-51456-7
- ^ а б в г д Nachtergaele, B .; Ogata, Y .; Симс, Р. (2006). «Распространение корреляций в квантовых решетчатых системах». J. Stat. Phys . 124 (1): 1–13. arXiv : math-ph / 0603064 . Bibcode : 2006JSP ... 124 .... 1N . DOI : 10.1007 / s10955-006-9143-6 . S2CID 16078056 .
- ^ а б Д. Рюэль, Статистическая механика. Строгие результаты, Бенджамин, Нью-Йорк, 1969.
- ^ Робинсон, Дерек В. (1968). «Статистическая механика квантовых спиновых систем. II». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 7 (4): 337–348. Bibcode : 1968CMaPh ... 7..337R . DOI : 10.1007 / bf01646665 . ISSN 0010-3616 . S2CID 189832252 .
- ^ Бахманн, Свен; Михалакис, Спиридон; Нахтергаэле, Бруно; Симс, Роберт (2012). «Автоморфная эквивалентность в пределах фазовых промежутков квантовых решетчатых систем». Сообщения по математической физике . 309 (3): 835–871. arXiv : 1102.0842 . Bibcode : 2012CMaPh.309..835B . DOI : 10.1007 / s00220-011-1380-0 . ISSN 0010-3616 . S2CID 119608766 .
- ^ а б в Робинсон, Дерек В. (1976). «Свойства распространения квантовых спиновых систем» . Журнал Австралийского математического общества, Series B . Издательство Кембриджского университета (CUP). 19 (4): 387–399. DOI : 10.1017 / s0334270000001260 . ISSN 0334-2700 .
- ^ О. Браттели, Д. В. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, 1-е изд., Т. 2, Springer-Verlag, 1981 и 2 изд., Т. 2, Springer-Verlag, 1997 г.
- ^ а б Гастингс, М. (2004). «Либ – Шульц – Маттис в высших измерениях». Phys. Rev. B . 69 (10): 104431–10444. arXiv : cond-mat / 0305505 . Bibcode : 2004PhRvB..69j4431H . DOI : 10.1103 / Physrevb.69.104431 . S2CID 119610203 .
- ^ а б Nachtergaele, B .; Симс, Р. (2006). «Границы Либа-Робинсона и экспоненциальная теорема кластеризации». Commun. Математика. Phys . 265 (1): 119–130. arXiv : math-ph / 0506030 . Bibcode : 2006CMaPh.265..119N . DOI : 10.1007 / s00220-006-1556-1 . S2CID 815023 .
- ^ а б Гастингс, МБ (28 сентября 2004 г.). «Локальность в квантовой и марковской динамике на решетках и сетях». Письма с физическим обзором . 93 (14): 140402. arXiv : cond-mat / 0405587 . Bibcode : 2004PhRvL..93n0402H . DOI : 10.1103 / physrevlett.93.140402 . ISSN 0031-9007 . PMID 15524771 . S2CID 13059030 .
- ^ B. Nachtergaele, R. Sims. Оценки локальности для квантовых спиновых систем, Сидоравичюс, Владас (ред.), Новые тенденции в математической физике. Избранные материалы XV Международного конгресса по математической физике, Springer Verlag, 591–614, (2009)
- ^ а б в г Нахтергаэле, Бруно; Раз, Гиллель; Шлейн, Бенджамин; Симс, Роберт (23 сентября 2008 г.). "Границы Либа-Робинсона для гармонических и ангармонических решетчатых систем". Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 286 (3): 1073–1098. CiteSeerX 10.1.1.249.5761 . DOI : 10.1007 / s00220-008-0630-2 . ISSN 0010-3616 . S2CID 16722938 .
- ^ а б Нахтергаэле, Бруно; Шлейн, Бенджамин; Симс, Роберт; Старр, Шеннон; Загребнов, Валентин (2010). «О существовании динамики для ангармонических систем квантовых осцилляторов». Обзоры по математической физике . 22 (2): 207–231. arXiv : 0909.2249 . Bibcode : 2010RvMaP..22..207N . DOI : 10,1142 / s0129055x1000393x . ISSN 0129-055X . S2CID 16305920 .
- ^ М. Крамер, А. Серафини, Дж. Эйсерт, Локальность динамики в общих гармонических квантовых системах, arXiv: 0803.0890, (2008)
- ^ Jünemann, J .; Cadarso, A .; Pérez-García, D .; Bermudez, A .; Гарсия-Риполл, Джей Джей (06.12.2013). "Границы Либа-Робинсона для решетчатых моделей спиновых бозонов и захваченных ионов". Письма с физическим обзором . 111 (23): 230404. arXiv : 1307.1992 . Bibcode : 2013PhRvL.111w0404J . DOI : 10.1103 / physrevlett.111.230404 . ISSN 0031-9007 . PMID 24476237 . S2CID 40468184 .
- ^ Пулен, Дэвид (2010-05-11). "Граница Либа-Робинсона и локальность для общей марковской квантовой динамики". Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 104 (19): 190401. arXiv : 1003.3675 . Bibcode : 2010PhRvL.104s0401P . DOI : 10.1103 / physrevlett.104.190401 . ISSN 0031-9007 . PMID 20866947 . S2CID 18911144 .
- ^ a b Б. Нахтергаэле, А. Вершинина, В. Загребнов, Границы Либа-Робинсона и существование термодинамического предела для одного класса необратимой квантовой динамики, AMS Contemporary Mathematics, 552, 161–175, (2011)
- ^ Гун, Чжэ-Сюань; Фосс-Фейг, Майкл; Михалакис, Спиридон; Горшков, Алексей В. (2014-07-16). «Постоянство локальности в системах со степенными взаимодействиями». Письма с физическим обзором . 113 (3): 030602. arXiv : 1401.6174 . Bibcode : 2014PhRvL.113c0602G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.113.030602 . PMID 25083624 . S2CID 14280616 .
- ^ Фосс-Фейг, Майкл; Гун, Чжэ-Сюань; Кларк, Чарльз В .; Горшков, Алексей В. (2015-04-13). «Почти линейные световые конусы в дальнодействующих квантовых системах». Письма с физическим обзором . 114 (15): 157201. arXiv : 1410.3466 . Bibcode : 2015PhRvL.114o7201F . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.114.157201 . PMID 25933335 . S2CID 13441269 .
- ^ Элдридж, Захари; Гун, Чжэ-Сюань; Янг, Джереми Т .; Мусавиан, Али Хамед; Фосс-Фейг, Майкл; Горшков, Алексей В. (2017-10-25). «Быстрая передача квантового состояния и перенормировка сцепленности с использованием дальнодействующих взаимодействий» . Письма с физическим обзором . 119 (17): 170503. arXiv : 1612.02442 . Bibcode : 2017PhRvL.119q0503E . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.119.170503 . PMC 6467282 . PMID 29219445 .
- ^ О. Браттели, Д. В. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, 2-е изд., Т. 2, Springer Verlag, 1997 г.
- ^ Е. Либ, Д. Маттис, Упорядочение уровней энергии во взаимодействующих спиновых цепочках, Journ. Математика. Phys. 3, 749–751, (1962)
- ^ Аффлек, Ян; Либ, Эллиот Х. (1986). «Доказательство части гипотезы Холдейна о спиновых цепочках». Письма по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 12 (1): 57–69. Bibcode : 1986LMaPh..12 ... 57A . DOI : 10.1007 / bf00400304 . ISSN 0377-9017 . S2CID 120567523 .
- ^ Либ, Эллиотт; Шульц, Теодор; Мэттис, Дэниел (1961). «Две растворимые модели антиферромагнитной цепи». Летопись физики . Elsevier BV. 16 (3): 407–466. Bibcode : 1961AnPhy..16..407L . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (61) 90115-4 . ISSN 0003-4916 .
- ^ Нахтергаэле, Бруно; Симс, Роберт (2007-09-09). «Многомерная теорема Либа-Шульца-Маттиса». Сообщения по математической физике . 276 (2): 437–472. arXiv : math-ph / 0608046 . Bibcode : 2007CMaPh.276..437N . DOI : 10.1007 / s00220-007-0342-Z . ISSN 0010-3616 . S2CID 16184852 .
- ^ Вудс, депутат; Пленио, МБ (2016). «Динамические границы погрешности для дискретизации континуума с помощью квадратурных правил Гаусса - подход границ Либа-Робинсона». Журнал математической физики . Издательство AIP. 57 (2): 022105. arXiv : 1508.07354 . Bibcode : 2016JMP .... 57b2105W . DOI : 10.1063 / 1.4940436 . ISSN 0022-2488 . S2CID 119256211 .
- ^ Вудс, депутат; Cramer, M .; Пленио, МБ (22 сентября 2015 г.). «Моделирование бозонных ванн с помощью планок погрешностей». Письма с физическим обзором . 115 (13): 130401. arXiv : 1504.01531 . Bibcode : 2015PhRvL.115m0401W . DOI : 10.1103 / physrevlett.115.130401 . ISSN 0031-9007 . PMID 26451538 . S2CID 3054665 .
- ^ Шено, Марк; Барметлер, Питер; Полетти, Дарио; Эндрес, Мануэль; Шаус, Питер; и другие. (2012). «Распространение корреляций в квантовой системе многих тел по типу светового конуса». Природа . 481 (7382): 484–487. arXiv : 1111.0776 . Bibcode : 2012Natur.481..484C . DOI : 10,1038 / природа10748 . ISSN 0028-0836 . PMID 22281597 . S2CID 4300657 .