Линейное каноническое преобразование

В гамильтоновой механике , то линейное каноническое преобразование ( LCT ) представляет собой семейство интегральных преобразований , обобщающей многие классические преобразования. У него 4 параметра и 1 ограничение, поэтому это 3-мерное семейство, и его можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL ₂ ( R ) на частотно-временной плоскости (области).

LCT обобщает преобразования Фурье , дробного Фурье , Лапласа , Гаусса – Вейерштрасса , Баргмана и Френеля как частные случаи. Название «линейное каноническое преобразование» происходит от канонического преобразования , отображения, которое сохраняет симплектическую структуру, поскольку SL ₂ ( R ) также можно интерпретировать как симплектическую группу Sp ₂ , и, таким образом, LCT являются линейными отображениями частотно-временной области сохраняющие симплектическую форму .

Рассмотрены основные свойства упомянутых преобразований, такие как масштабирование, сдвиг, умножение координат. Любое линейное каноническое преобразование связано с аффинными преобразованиями в фазовом пространстве, определяемых координатами время-частота или положение-импульс.

Определение [ править ]

LCT можно представить несколькими способами; проще всего ^[1] его можно параметризовать матрицей 2 × 2 с определителем 1, т. е. элементом специальной линейной группы SL ₂ ( C ). Тогда для любой такой матрицы с ad  -  bc  = 1 соответствующее интегральное преобразование от функции к определяется как${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right),}$${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle X (и)}$

${\ displaystyle X _ {(a, b, c, d)} (u) = {\ sqrt {\ frac {1} {ib}}} \ cdot e ^ {i \ pi {\ frac {d} {b} } u ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {1} {b}} ut} e ^ {i \ pi {\ frac {a } {b}} t ^ {2}} x (t) \; dt \ ,,}$	когда b  ≠ 0,
${\ displaystyle X _ {(a, 0, c, d)} (u) = {\ sqrt {d}} \ cdot e ^ {я \ pi cdu ^ {2}} x (du) \ ,,}$	когда b  = 0.

Особые случаи [ править ]

Многие классические преобразования являются частными случаями линейного канонического преобразования:

• Масштабирование , соответствует масштабирование времени и частоты измерения обратно (как время идет быстрее, частоты выше , а время измерения сжимается):${\displaystyle x(u)\mapsto {\sqrt {\sigma }}x(\sigma u)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1/\sigma &0\\0&\sigma \end{bmatrix}}}$

• Преобразование Фурье соответствует повороту на 90 °, представленному матрицей:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}.}$

• Преобразование Фурье дробного соответствует вращению на произвольный угол; они являются эллиптическими элементами SL ₂ ( R ), представленными матрицами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

• Преобразование Френеля соответствует сдвигу и представляет собой семейство параболических элементов , представленных матрицами:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$

где z - расстояние, а λ - длина волны.

• Преобразование Лапласа соответствует повороту на 90 ° в комплексную область и может быть представлено матрицей:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}.}$

• Фракционный преобразование Лапласа соответствует вращению на произвольный угол в комплексной области, и может быть представлена матрицей: ^[2]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i\cos \theta &i\sin \theta \\i\sin \theta &-i\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Состав [ править ]

Состав LCT соответствует умножению соответствующих матриц; это также известно как «свойство аддитивности WDF ».

Более подробно, если LCT обозначен как O _F ^{(a, b, c, d)} , т.е.

${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)=O_{F}^{(a,b,c,d)}[x(t)]\,}$

тогда

${\displaystyle O_{F}^{(a2,b2,c2,d2)}\left\{O_{F}^{(a1,b1,c1,d1)}[x(t)]\right\}=O_{F}^{(a3,b3,c3,d3)}[x(t)]\,,}$

где

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a3&b3\\c3&d3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a2&b2\\c2&d2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a1&b1\\c1&d1\end{bmatrix}}.}$

Если - , где - ЛСТ , то${\displaystyle W_{X(a,b,c,d)}(u,v)}$${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}$${\displaystyle X_{(a,b,c,d)}(u)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle {\begin{cases}W_{X(a,b,c,d)}(u,v)=W_{x}(du-bv,-cu+av)\\W_{X(a,b,c,d)}(au+bv,cu+dv)=W_{x}(u,v)\end{cases}}}$

LCT эквивалентен операции скручивания для WDF, а распределение классов Коэна также имеет операцию скручивания.

Мы можем свободно использовать LCT для преобразования параллелограмма, центр которого находится в точке (0,0), в другой параллелограмм, имеющий такую ​​же площадь и тот же центр.

Из этого рисунка мы знаем, что точка (-1,2) преобразуется в точку (0,1), а точка (1,2) преобразуется в точку (4,3). В результате мы можем записать следующие уравнения:

${\displaystyle {\begin{cases}-a+2b=0\\-c+2d=1\end{cases}}\,and\,{\begin{cases}a+2b=4\\c+2d=3\end{cases}}}$

мы можем решить уравнения и получить (a, b, c, d) равно (2,1,1,1)

Связь [ править ]

На следующем рисунке мы суммируем LCT с другими преобразованиями или свойствами.

В оптике и квантовой механике [ править ]

Параксиальные оптические системы, полностью реализованные с тонкими линзами и распространяющиеся через свободное пространство и / или среду с градиентным показателем преломления (GRIN), являются квадратичными фазовыми системами (QPS); они были известны до того, как Мошинский и Кен (1974) обратили внимание на их значение в связи с каноническими преобразованиями в квантовой механике. Влияние любой произвольной QPS на входное волновое поле можно описать с помощью линейного канонического преобразования, частный случай которого был развит Сегалом (1963) и Баргманном (1961) для формализации бозонного исчисления Фока (1928). ^[3]

В квантовой механике , линейные канонические преобразования могут быть определены с линейными преобразованиями , которые Смешать оператор Momentum с оператором установки и оставляют инвариантные канонические коммутационные соотношения .

Приложения [ править ]

Канонические преобразования используются для анализа дифференциальных уравнений. К ним относятся диффузия , свободная частица Шредингера , линейный потенциал (свободное падение) и уравнения осциллятора притяжения и отталкивания. Он также включает несколько других, например уравнение Фоккера – Планка . Хотя этот класс далеко не универсален, легкость нахождения решений и свойств делает канонические преобразования привлекательным инструментом для решения подобных проблем. ^[4]

Здесь обсуждается распространение волн через воздух, линзу и между спутниковыми антеннами. Все вычисления сводятся к матричной алгебре 2 × 2. Это дух LCT.

Распространение электромагнитных волн [ править ]

Предполагая, что система выглядит так, как показано на рисунке, волна распространяется от плоскости x _i , y _i к плоскости x и y . Преобразование Френеля используется для описания распространения электромагнитных волн в воздухе:

${\displaystyle U_{0}(x,y)=-{\frac {j}{\lambda }}{\frac {e^{jkz}}{z}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{j{\frac {k}{2z}}[(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}]}U_{i}(x_{i},y_{i})\;dx_{i}\;dy_{i},}$

с участием

к = 2 π / λ	: волновое число ;
λ	: длина волны ;
z	: расстояние распространения;
j	: мнимая единица.

Это эквивалентно LCT (сдвигу), когда

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Когда расстояние перемещения ( z ) больше, эффект сдвига больше.

Сферическая линза [ править ]

С линзой, изображенной на рисунке, и показателем преломления, обозначенным как n , результат будет следующим: ^[5]

${\displaystyle U_{0}(x,y)=e^{jkn\Delta }e^{-j{\frac {k}{2f}}[x^{2}+y^{2}]}U_{i}(x,y)}$

где f фокусное расстояние и Δ толщина линзы.

Дисторсия, проходящая через линзу, аналогична LCT, когда

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda f}}&1\end{bmatrix}}.}$

Это также эффект сдвига: чем меньше фокусное расстояние, тем больше эффект сдвига.

Сферическое зеркало [ править ]

Сферическое зеркало - например, спутниковая тарелка - можно описать как LCT, с

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R}}&1\end{bmatrix}}.}$

Это очень похоже на объектив, за исключением того, что фокусное расстояние заменяется радиусом тарелки. Следовательно, чем меньше радиус, тем больше эффект сдвига.

Совместное свободное пространство и сферическая линза [ править ]

Связь между входом и выходом мы можем использовать для представления LCT.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&\lambda z_{2}\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1/\lambda f\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda z_{1}\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-z_{2}/f&\lambda (z_{1}+z_{2})-\lambda z_{1}z_{2}/f\\-1/\lambda f&1-z_{1}/f\end{bmatrix}}}$

(1) Если z1 = z2 = 2f, это обратное реальное изображение

(2) Если z1 = z2 = f, это преобразование Фурье + масштабирование

(3) если z1 = z2, это дробное преобразование Фурье + масштабирование

Основные свойства [ править ]

В этой части мы покажем основные свойства LCT.

Оператор	Матрица преобразования
${\displaystyle L(T)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle L(T_{1})L(T_{2})}$	${\displaystyle T_{2}T_{1}}$
${\displaystyle L^{-1}(T)=L(T^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle L({\widehat {T}})=L^{*}(T^{-1})}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d^{t}&b^{t}\\c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle F}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle {\begin{cases}FL(T)F^{-1}=L^{*}(T^{t-1})\\F^{-1}L(T)F=L^{*}(T^{t-1})\end{cases}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}}$

С двумерным вектором-столбцом r, определенным как r = , мы показываем некоторые основные свойства (результат) для конкретного ввода ниже.${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$

Вход	Выход	Замечание
${\displaystyle f_{i}(r)}$	${\displaystyle f_{o}(r)=L(T){\displaystyle f_{i}(r)},\,where\,T={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle \sum _{n}a_{n}f_{n}(r)}$	${\displaystyle \sum _{n}a_{n}Lf_{n}(r)}$	Линейность
${\displaystyle f_{i}(r),h_{i}(r)}$	${\displaystyle \int f_{i}(r)h_{i}^{*}(r)dr=\int f_{o}(r)h_{o}^{*}(r)dr}$	теорема парсеваля
${\displaystyle f_{i}^{*}(r)}$	${\displaystyle [L(T^{-1})f_{i}(r)]^{*}\,where\,T^{-1}={\begin{bmatrix}d^{t}&-b^{t}\\-c^{t}&a^{t}\end{bmatrix}}}$	комплексно сопряженный
${\displaystyle \mathrm {M} ^{n}f_{i}(r)}$	${\displaystyle (d^{t}\mathrm {M} -b^{t}D)^{n}f_{o}(r)\,\,\,\,\mathrm {M} =r}$	умножение
${\displaystyle D^{n}f_{i}(r)}$	${\displaystyle (-c^{t}\mathrm {M} -a^{t}D)^{n}f_{o}(r)\,\,\,\,D=(i2\pi )^{-1}\nabla ^{t}}$	происхождение
${\displaystyle f_{i}(r)exp(j2\pi k^{t}r)}$	${\displaystyle f_{o}(r-bk)exp(j2\pi k^{t}d^{t}r)exp(-i\pi k^{t}b^{t}dk)}$	модуляция
${\displaystyle f_{i}(r-k)}$	${\displaystyle f_{o}(r)exp(j2\pi k^{t}c^{t}r)exp(-i\pi k^{t}c^{t}ak)}$	сдвиг
${\displaystyle |detW|^{-1/2}f_{i}(W^{-1}r)}$	${\displaystyle L({\tilde {T}})f_{i}(r)\,\,where\,\,{\tilde {T}}=T{\begin{bmatrix}W&0\\0&W^{t-1}\end{bmatrix}}}$	масштабирование
${\displaystyle f_{i}(-r)}$	${\displaystyle L(-T)f_{i}(r)=f_{o}(-r)}$	масштабирование
1	${\displaystyle (det(A))^{-1/2}exp(i\pi r^{t}CA^{-1}r)}$
${\displaystyle exp(j\pi r^{t}L_{i}r)}$	${\displaystyle [det(A+iL_{i})]^{-1/2}exp(-\pi r^{t}L_{o}r),\,where\,iL_{o}=(C+iDL_{i})(A+iBL_{i})^{-1}}$
${\displaystyle exp(j2\pi k^{t}r)}$	${\displaystyle (det(A))^{-1/2}exp(i\pi r^{t}CA^{-1}r)*exp(-i\pi k^{t}A^{-1}BK)exp(i2\pi k^{t}CA^{-1}r)}$

Пример [ править ]

Рассмотренная система изображена на рисунке справа: два блюда - один являющийся излучателем , а другой приемник - и сигнал , идущий между ними на расстояние D . Во-первых, для антенны A (эмиттер) матрица LCT выглядит так:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}.}$

Тогда для антенны B (приемник) матрица LCT аналогичным образом принимает следующий вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}.}$

Наконец, для распространения сигнала в воздухе матрица LCT имеет вид:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Объединив все три компонента вместе, мы получим LCT системы:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{B}}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\lambda D\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{\lambda R_{A}}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {D}{R_{A}}}&-\lambda D\\{\frac {1}{\lambda }}(R_{A}^{-1}+R_{B}^{-1}-R_{A}^{-1}R_{B}^{-1}D)&1-{\frac {D}{R_{B}}}\end{bmatrix}}\,.}$

Связь с физикой элементарных частиц [ править ]

Было показано , что это может быть возможным установить связь между некоторыми свойствами элементарного фермиона в стандартной модели в физике элементарных частиц и Спин представлении линейных канонических преобразований. ^[6] В этом подходе Электрический заряд , Слабый гиперзаряд и Слабый изоспин частиц выражаются как линейные комбинации некоторых операторов, определенных из генераторов алгебры Клиффорда, связанных со спиновым представлением линейных канонических преобразований.

См. Также [ править ]

• Распределение Сигала – Шейла – Вейля , метаплектическая группа операторов, связанных с преобразованием чирплета

Другие частотно-временные преобразования

• Дробное преобразование Фурье
• Непрерывное преобразование Фурье
• Chirplet преобразование

Приложения

• Восстановление фокуса на основе линейного канонического преобразования
• Анализ матрицы переноса лучей

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• JJ Healy, MA Kutay, HM Ozaktas and JT Sheridan, " Linear Canonical Transforms: Theory and Applications ", Springer, New York 2016.
• Дж. Дж. Дин, « Примечания к курсу по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию », факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
• КБ Вольф, " Интегральные преобразования в науке и технике ", гл. 9 и 10, Нью-Йорк, Plenum Press, 1979.
• С. А. Коллинз, "Интеграл дифракции линз-системы, записанный в терминах матричной оптики", J. Opt. Soc. Амер. 60 , 1168–1177 (1970).
• М. Мошинский и К. Кен, "Линейные канонические преобразования и их унитарные представления", J. Math. Phys. 12 , 8, 1772–1783, (1971).
• Б.М. Хеннелли и Дж. Т. Шеридан, "Быстрый численный алгоритм линейного канонического преобразования", J. Opt. Soc. Являюсь. А 22 , 5, 928–937 (2005).
• HM Ozaktas, A. Koç, I. Sari, MA Kutay, "Эффективное вычисление квадратично-фазовых интегралов в оптике", Опт. Позволять. 31 , 35–37, (2006).
• Бинг-Чжао Ли, Ран Тао, Юэ Ван, «Новые формулы выборки, связанные с линейным каноническим преобразованием», Обработка сигналов ' 87' , 983–990, (2007).
• A. Koç, HM Ozaktas, C. Candan и MA Kutay, "Цифровое вычисление линейных канонических преобразований", IEEE Trans. Сигнальный процесс. , т. 56, нет. 6, 2383–2394, (2008).
• Ран Тао, Бинг-Чжао Ли, Юэ Ван, «О выборке сигналов с ограниченной полосой пропускания, связанных с линейным каноническим преобразованием», IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 56, нет. 11, 5454–5464, (2008).
• Д. Столер, "Операторные методы в физической оптике", 26-й ежегодный технический симпозиум . Международное общество оптики и фотоники, 1982.
• Тянь-Чжоу Сюй, Бин-Чжао Ли, « Линейное каноническое преобразование и его приложения », Пекин, Science Press, 2013.
• Раоэлина Андриамболона, Р. Т. Ранаивосон, HDE Рандриамиси, Р. Ханитриариву, "Алгебра дисперсионных операторов и линейные канонические преобразования", Int. J. Theor. Phys. , 56 , 4, 1258–1273, (2017)
• RT Ranaivoson и др., "Линейные канонические преобразования в релятивистской квантовой физике", Phys. Scr. 96 , 065204, (2021).
• Татьяна Алиева., Мартин Дж. Бастиаанс. (2016) Линейные канонические преобразования: определение и свойства. В: Хили Дж., Альпер Кутай М., Озактас Х., Шеридан Дж. (Редакторы) Линейные канонические преобразования. Springer Series in Optical Sciences, vol 198. Springer, New York, NY.