Дробное преобразование Фурье

В математике , в области гармонического анализа , дробное преобразование Фурье ( FRFT ) - это семейство линейных преобразований, обобщающих преобразование Фурье . Его можно рассматривать как преобразование Фурье в n-ю степень, где n не обязательно должно быть целым числом - таким образом, он может преобразовывать функцию в любую промежуточную область между временем и частотой . Его приложения варьируются от проектирования фильтров и анализа сигналов до поиска фазы и распознавания образов .

FRFT может использоваться для определения дробной свертки , корреляции и других операций, а также может быть дополнительно обобщен до линейного канонического преобразования (LCT). Раннее определение FRFT было введено Кондоном , ^[1] , решая для функции Грина для фазового пространства вращений, а также Namias, ^[2] обобщающей работы Винера ^[3] на полиномов Эрмита .

Однако он не получил широкого признания в обработке сигналов до тех пор, пока он не был независимо повторно введен примерно в 1993 году несколькими группами. ^[4] С тех пор наблюдается всплеск интереса к расширению теоремы Шеннона о дискретизации ^{[5] [6]} для сигналов, которые ограничены полосой в области дробного Фурье.

Совершенно иное значение для «дробного преобразования Фурье» было введено Бейли и Шварцстраубером ^[7] как существенно другое название для z-преобразования , и, в частности, для случая, который соответствует дискретному преобразованию Фурье, сдвинутому на дробную величину в частотном пространстве. (умножение входного сигнала на линейный щебет ) и оценка в дробном наборе частотных точек (например, с учетом только небольшой части спектра). (Такие преобразования могут быть эффективно оценены с помощью алгоритма БПФ Блюстейна .) Однако эта терминология вышла из употребления в большей части технической литературы и отдана предпочтению FRFT. В оставшейся части статьи описывается FRFT.

Введение [ править ]

Непрерывное преобразование Фурье от функции ƒ: R → C является унитарным оператором из L ² , который отображает функцию ƒ своей версию ƒ частотной (все выражения берутся в L ² смысла, а не точечно):${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x}$ 

а ƒ определяется через обратное преобразование ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi i\xi x}\,\mathrm {d} \xi ,}$ 

Давайте изучим его n -ю итерацию, определенную посредством и, когда n - неотрицательное целое число, и . Их последовательность конечна , поскольку представляет собой 4-периодический автоморфизм : для каждой функции ƒ, .${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{n}[f]={\mathcal {F}}[{\mathcal {F}}^{n-1}[f]]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}=({\mathcal {F}}^{-1})^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}[f]=f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[f]=f}$

Точнее, введем оператор четности , который переворачивает , . Тогда имеют место следующие свойства:${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {P}}[f]\colon x\mapsto f(-x)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{0}=\mathrm {Id} ,\qquad {\mathcal {F}}^{1}={\mathcal {F}},\qquad {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {P}},\qquad {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {Id} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}}.}$

FRFT предоставляет семейство линейных преобразований, которое дополнительно расширяет это определение для обработки нецелочисленных степеней n = 2 α / π FT.

Определение [ править ]

Примечание: некоторые авторы пишут преобразование в терминах «порядка а » вместо «угол альфа », в этом случае α , как правило , а раз pi ; / 2 . Хотя эти две формы эквивалентны, нужно быть осторожным с тем, какое определение использует автор.

Для любого реального альфа , то α -угол дробного преобразования Фурье функции ƒ обозначаются и определяемой${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(u)}$

Формально эта формула действительна только в том случае, если входная функция находится в достаточно хорошем пространстве (таком как L1 или пространство Шварца) и определяется с помощью аргумента плотности аналогично обычному преобразованию Фурье (см. Статью), в общем случае. ^[8]

Если α является целым числом, кратным π, то указанные выше функции котангенса и косеканса расходятся. Однако с этим можно справиться, взяв предел , и это приводит к дельта-функции Дирака в подынтегральном выражении. Более конкретно, поскольку должно быть просто f ( t ) или f (- t ) для α , четного или нечетного кратного π соответственно.${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)=f(-t)~,~~{\mathcal {F}}_{\alpha }~(f)}$

При α = π / 2 это становится в точности определением непрерывного преобразования Фурье, а для α = - π / 2 это определение обратного непрерывного преобразования Фурье.

Аргумент БПФ u не является ни пространственным аргументом x, ни частотой ξ . Мы увидим, почему это можно интерпретировать как линейную комбинацию обеих координат ( x , ξ ) . Когда мы хотим выделить α- угольную дробную область, мы будем обозначать аргумент .${\displaystyle x_{a}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

Замечание: с условием угловой частоты ω вместо частотного, формула БПФ является ядром Мелера ,

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)\,dt~.}$

Свойства [ править ]

Оператор дробного преобразования Фурье α -го порядка обладает свойствами:${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }}$

• Аддитивность. Для любых вещественных углов α, β ,

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }={\mathcal {F}}_{\alpha }\circ {\mathcal {F}}_{\beta }={\mathcal {F}}_{\beta }\circ {\mathcal {F}}_{\alpha }.}$

• Линейность.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]}$

• Целочисленные заказы. Если α является целым кратным , то:${\displaystyle \pi /2}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}}$

Кроме того, оно имеет следующее соотношение

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}}&&{\mathcal {P}}[f(u)]=f(-u)\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}=({\mathcal {F}})^{-1}\\{\mathcal {F}}^{4}&={\mathcal {F}}^{0}={\mathcal {I}}\\{\mathcal {F}}^{i}&={\mathcal {F}}^{j}&&i\equiv j\mod 4\end{aligned}}}$

• Обратный.

${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }}$

• Коммутативность.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}}$

• Ассоциативность

${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)}$

• Унитарность

${\displaystyle \int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du}$

• Обратное время.

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {P}}={\mathcal {P}}{\mathcal {F}}_{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f(-u)]=f_{\alpha }(-u)}$

• Преобразование сдвинутой функции

Определите операторы сдвига и фазового сдвига следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {SH}}(u_{0})[f(u)]=f(u+u_{0})}$

${\displaystyle {\mathcal {PH}}(v_{0})[f(u)]=e^{j2\pi v_{0}u}f(u)}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }{\mathcal {SH}}(u_{0})&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }{\mathcal {PH}}(u_{0}\sin \alpha ){\mathcal {SH}}(u_{0}\cos \alpha )F_{\alpha }\\{\mathcal {F}}_{\alpha }[f(u+u_{0})]&=e^{j\pi u_{0}^{2}\sin \alpha \cos \alpha }e^{j2\pi uu_{0}\sin \alpha }f_{\alpha }(u+u_{0}\cos \alpha )\end{aligned}}}$

• Преобразование масштабированной функции

Определите операторы масштабирования и умножения chirp следующим образом:

${\displaystyle M(M)[f(u)]=|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)}$

${\displaystyle Q(q)[f(u)]=e^{-j\pi qu^{2}}f(u)}$

Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{\alpha }M(M)&=Q\left(-\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)\right)\times M\left({\frac {\sin \alpha }{M\sin \alpha '}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha '}\\[6pt]{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[|M|^{-{\frac {1}{2}}}f\left({\tfrac {u}{M}}\right)\right]&={\sqrt {\frac {1-j\cot \alpha }{1-jM^{2}\cot \alpha }}}e^{j\pi u^{2}\cot \left({\frac {1-\cos ^{2}\alpha '}{\cos ^{2}\alpha }}\alpha \right)}\times f_{a}\left({\frac {Mu\sin \alpha '}{\sin \alpha }}\right)\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что дробное преобразование Фурье не может быть выражено как масштабированная версия . Скорее, дробное преобразование Фурье оказывается масштабированной и модулированной с помощью щебета версией, где есть другой порядок.${\displaystyle f(u/M)}$${\displaystyle f_{\alpha }(u)}$${\displaystyle f(u/M)}$${\displaystyle f_{\alpha '}(u)}$${\displaystyle \alpha \neq \alpha '}$

Дробное ядро [ править ]

FrFT - это интегральное преобразование

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }f(u)=\int K_{\alpha }(u,x)f(x)\,\mathrm {d} x}$

где ядро ​​угла α

${\displaystyle K_{\alpha }(u,x)={\begin{cases}{\sqrt {1-i\cot(\alpha )}}\exp \left(i\pi (\cot(\alpha )(x^{2}+u^{2})-2\csc(\alpha )ux)\right)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is not a multiple of }}\pi ,\\\delta (u-x)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\delta (u+x)&{\mbox{if }}\alpha +\pi {\mbox{ is a multiple of }}2\pi ,\\\end{cases}}}$

Здесь снова частные случаи согласуются с предельным поведением, когда α приближается к кратному π .

FrFT имеет те же свойства, что и его ядра:

• симметрия: ${\displaystyle K_{\alpha }~(u,u')=K_{\alpha }~(u',u)}$
• обратный: ${\displaystyle K_{\alpha }^{-1}(u,u')=K_{\alpha }^{*}(u,u')=K_{-\alpha }(u',u)}$
• аддитивность: ${\displaystyle K_{\alpha +\beta }(u,u')=\int K_{\alpha }(u,u'')K_{\beta }(u'',u')\,\mathrm {d} u''.}$

Связанные преобразования [ править ]

Также существуют связанные дробные обобщения подобных преобразований, такие как дискретное преобразование Фурье . Дискретное преобразование Фурье дробного определяется Зеев Залевский в ( Джандан, Кутай & Ozaktas 2000 ) и ( Ozaktas, Залевский & Кутай 2001 , глава 6). Квантовый алгоритм для реализации версии дискретного дробного преобразования Фурье в субполиномиальное время описан Соммой. ^[9]

Дробное вейвлет-преобразование (FRWT): ^[10] Обобщение классического вейвлет-преобразования (WT) в областях дробного преобразования Фурье (FRFT). FRWT предлагается для устранения ограничений WT и FRFT. Это преобразование не только наследует преимущества анализа WT с множественным разрешением, но также имеет возможность представления сигналов в дробной области, которая аналогична FRFT. По сравнению с существующим FRWT, FRWT (определенный Shi, Zhang и Liu 2012) может предлагать представление сигнала в плоскости дробно-временного диапазона.

См. Также преобразование chirplet для связанного обобщения преобразования Фурье .

Обобщения [ править ]

Преобразование Фурье по существу бозонное ; это работает, потому что согласуется с принципом суперпозиции и соответствующими интерференционными картинами. Также существует фермионное преобразование Фурье. ^[11] Они были обобщены на суперсимметричный FRFT и суперсимметричное преобразование Радона . ^[11] Существует также дробное преобразование Радона, симплектическое FRFT и симплектическое вейвлет-преобразование . ^[12] Поскольку квантовые схемы основаны на унитарных операциях , они полезны для вычисления интегральных преобразований.поскольку последние являются унитарными операторами в функциональном пространстве . Была разработана квантовая схема, реализующая FRFT. ^[13]

Интерпретация [ править ]

Обычная интерпретация преобразования Фурье - это преобразование сигнала временной области в сигнал частотной области. С другой стороны, обратное преобразование Фурье интерпретируется как преобразование сигнала частотной области в сигнал временной области. Дробное преобразование Фурье преобразует сигнал (либо во временной области, либо в частотной области) в область между временем и частотой: это поворот в частотно-временной области . Эта перспектива обобщается линейным каноническим преобразованием , которое обобщает дробное преобразование Фурье и допускает линейные преобразования частотно-временной области, отличные от вращения.

В качестве примера возьмем рисунок ниже. Если сигнал во временной области имеет прямоугольную форму (как показано ниже), он становится функцией sinc в частотной области. Но если применить дробное преобразование Фурье к прямоугольному сигналу, результат преобразования будет в области между временем и частотой.

Дробное преобразование Фурье - это операция вращения частотно-временного распределения . Из приведенного выше определения для α  = 0 не будет никаких изменений после применения дробного преобразования Фурье, в то время как при α  =  π / 2 дробное преобразование Фурье становится простым преобразованием Фурье, которое вращает частотно-временное распределение с  π / 2. Для другого значения  α дробное преобразование Фурье поворачивает частотно-временное распределение согласно α. На следующем рисунке показаны результаты дробного преобразования Фурье с различными значениями  α .

Заявление [ править ]

Дробное преобразование Фурье можно использовать в частотно-временном анализе и DSP . ^[14] Это полезно для фильтрации шума, но при условии, что он не перекрывается с желаемым сигналом в частотно-временной области. Рассмотрим следующий пример. Мы не можем применить фильтр напрямую для устранения шума, но с помощью дробного преобразования Фурье мы можем сначала повернуть сигнал (включая желаемый сигнал и шум). Затем мы применяем специальный фильтр, который пропускает только желаемый сигнал. Таким образом, шум будет полностью удален. Затем мы снова используем дробное преобразование Фурье, чтобы повернуть сигнал обратно, и мы можем получить желаемый сигнал.

Таким образом, используя только усечение во временной области или, что эквивалентно, фильтры нижних частот в частотной области, можно вырезать любой выпуклый набор в частотно-временном пространстве; просто использование методов временной или частотной области без дробных преобразований Фурье позволяет вырезать только прямоугольники, параллельные осям.

Дробное преобразование Фурье также имеет приложения в квантовой физике. Например, они используются для формулирования соотношений энтропийной неопределенности. ^[15]

Они также полезны при проектировании оптических систем и для оптимизации эффективности хранения голографических изображений. ^[16]

См. Также [ править ]

• Дробное исчисление
• Ядро Мелера

Другие частотно-временные преобразования:

• Линейное каноническое преобразование
• Кратковременное преобразование Фурье
• Вейвлет-преобразование
• Chirplet преобразование
• Функция распределения по форме конуса

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• DiscreteTFDs - программа для вычисления дробного преобразования Фурье и частотно-временных распределений.
• « Дробное преобразование Фурье » Энрике Зелени, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Веб-страницы Dr YangQuan Chen FRFT (дробное преобразование Фурье)
• LTFAT - бесплатный (GPL) набор инструментов Matlab / Octave. Содержит несколько версий дробного преобразования Фурье .

Библиография [ править ]

• Озактас, Халдун М .; Залевский, Зеев; Кутай, М. Альпер (2001), Дробное преобразование Фурье с приложениями в оптике и обработке сигналов , Серия в чистой и прикладной оптике, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-96346-2
• Candan, C .; Кутай, Массачусетс; Ozaktas, HM (май 2000), "Дискретное преобразование Фурье дробного" (PDF) , IEEE Transactions по обработке сигналов , 48 (5): 1329-1337, DOI : 10,1109 / 78,839980 , ЛВП : 11693/11130
• А. В. Ломанн, "Поворот изображения, вращение Вигнера и дробное преобразование Фурье", J. Opt. Soc. Являюсь. А 10 , 2181–2186 (1993).
• Су-Чанг Пей и Цзян-Цзюн Дин, «Отношения между дробными операциями и частотно-временными распределениями и их приложения», IEEE Trans. Сигнальный процесс. 49 (8), 1638–1655 (2001).
• Цзянь-Цзюнь Дин, Заметки по классу частотно-временного анализа и вейвлет-преобразования, факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2007 г.
• Саксена Р., Сингх К. (2005) Дробное преобразование Фурье: новый инструмент для обработки сигналов , J. Indian Inst. Наук, январь – фев. 2005, 85, 11–26. https://web.archive.org/web/20110716112239/http://journal.library.iisc.ernet.in/vol200501/paper2/11.pdf .