Восстановление фазы

Фазовое восстановление - это процесс алгоритмического поиска решений фазовой проблемы . Учитывая сложный сигнал амплитуды и фазы : ${\ Displaystyle F (k)}$ ${\ displaystyle | F (k) |}$ ${\ Displaystyle \ psi (к)}$

{\ Displaystyle F (к) = | F (к) | е ^ {я \ psi (k)} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- 2 \ pi ik \ cdot x} \, dx}

где x - M -мерная пространственная координата, а k - M -мерная пространственно-частотная координата. Восстановление фазы состоит из поиска фазы, которая удовлетворяет набору ограничений для измеренной амплитуды. Важные приложения восстановления фазы включают рентгеновскую кристаллографию , просвечивающую электронную микроскопию и когерентную дифракционную визуализацию , для которых . ^[1] Теоремы единственности как для одномерного, так и для двумерного случаев задачи восстановления фазы, включая бесфазную одномерную обратную задачу рассеяния, были доказаны Клибановым и его сотрудниками (см. Ссылки). ${\ displaystyle M = 2}$

Методы [ править ]

Алгоритм уменьшения ошибок [ править ]

Схематическое изображение алгоритма уменьшения ошибок для поиска фазы

Снижение ошибок является обобщением алгоритма Гершберга – Сакстона . Он решает из измерений путем повторения четырехэтапного процесса. Для й итерации шаги следующие: ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle | F (u) |}$ ${\ displaystyle k}$

Шаг (1): , , и являются оценками соответственно , и . На первом этапе мы вычислим преобразование Фурье от : ${\ displaystyle G_ {k} (u)}$ ${\ displaystyle \ phi _ {k}}$ ${\ displaystyle g_ {k} (x)}$ ${\ Displaystyle F (и)}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle g_ {k} (x)}$

{\ Displaystyle G_ {k} (u) = | G_ {k} (u) | e ^ {i \ phi _ {k} (u)} = {\ mathcal {F}} (g_ {k} (x) )}

Шаг (2): Затем подставляется экспериментальное значение , рассчитанное по дифракционной картине с помощью уравнения сигнала , что дает оценку преобразования Фурье: ${\ displaystyle | F (u) |}$ ${\ displaystyle | G_ {k} (u) |}$

G'_{k}(u)=|F(u)|e^{i\phi _{k}(u)}

где 'обозначает промежуточный результат, который позже будет отброшен.

Шаг (3): оценка преобразования Фурье затем подвергается обратному преобразованию Фурье: $G'_{k}(u)$

g'_{k}(x)=|g'_{k}(x)|e^{i\theta '_{k}(x)}={\mathcal {F}}^{-1}(G'_{k}(u))

Шаг (4): затем необходимо изменить так, чтобы новая оценка объекта удовлетворяла ограничениям объекта. поэтому определяется кусочно как: $g'_{k}(x)$ $g_{k+1}(x)$ $g_{k+1}(x)$

g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x)&x\notin \gamma \\0&x\in \gamma \end{cases}}

где - область, в которой не удовлетворяются ограничения объекта. Получена новая оценка, и четырехэтапный процесс повторяется. $\gamma$ $g'_{k}(x)$ $g_{k+1}(x)$

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены как ограничение Фурье, так и ограничение объекта. Теоретически процесс всегда будет приводить к конвергенции , ^[1] , но большое количество итераций , необходимых для получения удовлетворительного изображения (обычно> 2000) приводит к ошибке алгоритма восстановлени сам по себе является непригодной для практического применения.

Гибридный алгоритм ввода-вывода [ править ]

Гибридный алгоритм ввода-вывода представляет собой модификацию алгоритма уменьшения ошибок - первые три этапа идентичны. Однако больше не действует как оценка , а функция входа, соответствующая выходной функции , которая является оценкой . ^[1] На четвертом шаге, когда функция нарушает ограничения объекта, значение принудительно стремится к нулю, но оптимально не к нулю. Главное преимущество гибридного алгоритма ввода-вывода состоит в том, что функция содержит информацию обратной связи. $g_{k}(x)$ $f(x)$ $g'_{k}(x)$ $f(x)$ $g'_{k}(x)$ $g_{k+1}(x)$ $g_{k}(x)$ относительно предыдущих итераций, снижая вероятность застоя. Было показано, что гибридный алгоритм ввода-вывода сходится к решению значительно быстрее, чем алгоритм уменьшения ошибок. Скорость его сходимости может быть дополнительно улучшена с помощью алгоритмов оптимизации размера шага. ^[2]

g_{k+1}(x)\equiv {\begin{cases}g'_{k}(x)&x\notin \gamma \\g_{k}(x)-\beta {g'_{k}(x)}&x\in \gamma \end{cases}}

Вот параметр обратной связи, который может принимать значение от 0 до 1. Для большинства приложений дает оптимальные результаты. {Scientific Reports volume 8, Article number: 6436 (2018)} $\beta$ $\beta \approx 0.9$

Термоусадочная упаковка [ править ]

Для двумерной задачи восстановления фазы существует вырождение решений, так как и сопряженное с ней решение имеют одинаковый модуль Фурье. Это приводит к «двойникованию изображения», при котором алгоритм поиска фазы застаивается, создавая изображение с характеристиками как объекта, так и сопряженного с ним объекта . ^[3] Метод термоусадочной упаковки периодически обновляет оценку поддержки путем фильтрации нижних частот текущей оценки амплитуды объекта (путем свертки с гауссовым ) и применения порога, что приводит к уменьшению неоднозначности изображения. ^[4] $f(x)$ $f^{*}(-x)$

Приложения [ править ]

Восстановление фазы - ключевой компонент когерентной дифракционной визуализации (CDI). В CDI измеряется интенсивность дифракционной картины, рассеянной от мишени. Затем с помощью алгоритмов восстановления фазы получают фазу дифракционной картины и строят изображение цели. Таким образом, восстановление фазы позволяет преобразовать дифракционную картину в изображение без оптической линзы .

Используя алгоритмы восстановления фазы, можно охарактеризовать сложные оптические системы и их аберрации. ^[5] Другие применения восстановления фазы включают рентгеновскую кристаллографию и просвечивающую электронную микроскопию .

См. Также [ править ]

Фазовая проблема
Кристаллография
Рентгеновская кристаллография
Когерентная дифракционная визуализация
Уравнение переноса интенсивности

Ссылки [ править ]

^ a b c Файенуп-младший (1 августа 1982 г.). «Алгоритмы фазового поиска: сравнение» . Прикладная оптика . 21 (15): 2758–69. DOI : 10,1364 / AO.21.002758 . ISSN 0003-6935 . PMID 20396114 .
↑ Marchesini, S. (25 января 2007 г.). «Приглашенная статья: унифицированная оценка алгоритмов итеративного проецирования для поиска фазы». Обзор научных инструментов . 78 (1): 011301. arXiv : Physics / 0603201 . DOI : 10.1063 / 1.2403783 . ISSN 0034-6748 . PMID 17503899 .
^ Fienup, JR; Вакерман, CC (1986-11-01). «Проблемы и решения фазового застоя» . Журнал Оптического общества Америки A . 3 (11): 1897. DOI : 10,1364 / JOSAA.3.001897 . ISSN 1084-7529 .
^ Marchesini, S .; Он, H .; Chapman, HN; Hau-Riege, SP; Ной, А .; Хауэллс, MR; Weierstall, U .; Спенс, JCH (2003-10-28). «Реконструкция рентгеновского изображения только по дифракционной картине». Physical Review B . 68 (14): 140101. arXiv : Physics / 0306174 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.140101 . ISSN 0163-1829 .
^ Fienup, JR (1993-04-01). «Алгоритмы восстановления фазы для сложной оптической системы» . Прикладная оптика . 32 (10): 1737–1746. DOI : 10,1364 / AO.32.001737 . ISSN 2155-3165 . PMID 20820307 .

Клибанов М.В. (1985). «О единственности определения функции с компактным носителем по модулю ее преобразования Фурье». Советская математика - Доклады . 32 : 668–670.
Клибанов М.В. (1987). «Определение функции с компактным носителем по модулю ее преобразования Фурье и обратной задаче рассеяния». Дифференциальные уравнения . 22 : 1232–1240.
Клибанов М.В. (1987). «Обратные задачи рассеяния и восстановление функции по модулю ее преобразования Фурье». Сибирская математика Дж . 27 (5): 708–719. DOI : 10.1007 / bf00969199 .
Клибанов, М.В. (1989). «Уникальность определения искажений кристаллической решетки методом рентгеновской дифракции в непрерывной динамической модели». Дифференциальные уравнения . 25 : 520–527.
Клибанов, М.В., Сакс, П.Е. (1992). «Бесфазное обратное рассеяние и фазовая проблема в оптике». J. Math. Phys . 33 (11): 2813–3821. Bibcode : 1992JMP .... 33.3813K . DOI : 10.1063 / 1.529990 .
Клибанов М.В.; Мешки, ЧП (1994). «Использование частичного знания потенциала в фазовой задаче обратной задачи рассеяния». J. Comput. Phys . 112 (2): 273–281. Bibcode : 1994JCoPh.112..273K . DOI : 10,1006 / jcph.1994.1099 .
Клибанов М.В.; Мешки полиэтиленовые; Тихонравов, А.В. (1995). «Проблема поиска фазы». Обратные задачи . 11 (1): 1-28. Bibcode : 1995InvPr..11 .... 1K . DOI : 10.1088 / 0266-5611 / 11/1/001 .
Клибанов М.В. (2006). «О восстановлении двумерной функции по модулю ее преобразования Фурье». J. Math. Анальный. Прил . 323 (2): 818–843. DOI : 10.1016 / j.jmaa.2005.10.079 .

[:0-1] Файенуп-младший (1 августа 1982 г.). «Алгоритмы фазового поиска: сравнение» . Прикладная оптика . 21 (15): 2758–69. DOI : 10,1364 / AO.21.002758 . ISSN 0003-6935 . PMID 20396114 .

[2] Marchesini, S. (25 января 2007 г.). «Приглашенная статья: унифицированная оценка алгоритмов итеративного проецирования для поиска фазы». Обзор научных инструментов . 78 (1): 011301. arXiv : Physics / 0603201 . DOI : 10.1063 / 1.2403783 . ISSN 0034-6748 . PMID 17503899 .

[3] Fienup, JR; Вакерман, CC (1986-11-01). «Проблемы и решения фазового застоя» . Журнал Оптического общества Америки A . 3 (11): 1897. DOI : 10,1364 / JOSAA.3.001897 . ISSN 1084-7529 .

[4] Marchesini, S .; Он, H .; Chapman, HN; Hau-Riege, SP; Ной, А .; Хауэллс, MR; Weierstall, U .; Спенс, JCH (2003-10-28). «Реконструкция рентгеновского изображения только по дифракционной картине». Physical Review B . 68 (14): 140101. arXiv : Physics / 0306174 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.140101 . ISSN 0163-1829 .

[5] Fienup, JR (1993-04-01). «Алгоритмы восстановления фазы для сложной оптической системы» . Прикладная оптика . 32 (10): 1737–1746. DOI : 10,1364 / AO.32.001737 . ISSN 2155-3165 . PMID 20820307 .

[1]