Связать группу

В теории узлов , области математики , группа ссылок ссылки является аналогом группы узлов узла . Они были описаны Джоном Милнором в его докторской диссертации. диссертация ( Милнор, 1954 ). Примечательно, что группа ссылок вообще не является фундаментальной группой дополнения ссылок .

Определение

Ссылка Уайтхеда — это ссылка, гомотопная развязке , но не изотопная развязке.

Группа ссылок n - компонентной ссылки — это, по существу, множество ( n  + 1)-компонентных ссылок, расширяющих эту ссылку, вплоть до гомотопии ссылок. Другими словами, каждому компоненту расширенного звена разрешено проходить через регулярную гомотопию (гомотопию через погружения ), завязывая или развязывая себя, но не разрешается проходить через другие компоненты. Это более слабое условие, чем изотопия: например, зацепление Уайтхеда имеет номер зацепления  0, и, таким образом, зацепление гомотопно незацеплению , но не изотопно незацеплению.

Группа ссылок не является фундаментальной группой дополнения ссылок , так как компоненты ссылки могут перемещаться через себя, хотя и не друг через друга, но, таким образом, является частной группой фундаментальной группы дополнения ссылок, поскольку можно начать с элементов фундаментальной группы, а затем, завязывая или развязывая компоненты, некоторые из этих элементов могут стать эквивалентными друг другу.

Примеры

Группа ссылок n -компонентного unlink является свободной группой на n порождающих, поскольку группа ссылок одиночной ссылки является группой узлов unknot , которая является целыми числами, а группа ссылок несвязанного объединения является свободной . произведение групп связей компонентов.${\ Displaystyle F_ {п}}$

Группа ссылок ссылки Хопфа${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {2}.}$

Группа зацеплений зацепления Хопфа , простейшая нетривиальная ссылка - две окружности, соединенные один раз, - это свободная абелева группа на двух образующих . Обратите внимание, что группа зацеплений двух незацепленных окружностей - это свободная неабелева группа на двух образующих, из что свободная абелева группа по двум образующим является фактором . В этом случае группа зацеплений является фундаментальной группой дополнения зацепления, поскольку деформация дополнения зацепления стягивается на тор.${\ Displaystyle \ mathbf {Z} ^ {2}.}$

Ссылка Уайтхеда является связью, гомотопной развязке, хотя она и не изотопна развязке, и, таким образом, имеет группу ссылок свободную группу на двух генераторах.

Инварианты Милнора

Милнор определил инварианты ссылки (функции на группе ссылок) в ( Milnor 1954 ), используя символ , который, таким образом, стал называться « инвариантами μ -bar Милнора» или просто «инвариантами Милнора». Для каждого k существует k -местная функция , определяющая инварианты, согласно которым выбираются k связей и в каком порядке.${\ Displaystyle {\ бар {\ му}},}$${\ Displaystyle {\ бар {\ му}},}$

Инварианты Милнора могут быть связаны с произведениями Мэсси по зацеплению (дополнению зацепления); это было предложено в ( Сталлингс, 1965 ) и уточнено в ( Тураев, 1976 ) и ( Портер, 1980 ).

Как и в случае с произведениями Масси, инварианты Милнора длины k  + 1 определяются, если все инварианты Милнора длины, меньшей или равной k , равны нулю. Первый (двухкратный) инвариант Милнора - это просто число зацепления (точно так же, как двукратное произведение Масси является чашечным произведением, двойственным пересечению), в то время как трехкратный инвариант Милнора измеряет, являются ли 3 попарно несцепленные окружности борромеанскими. колец , и если да, то в каком-то смысле, сколько раз (то есть кольца Борромео имеют 3-кратный инвариант Милнора, равный 1 или –1, в зависимости от порядка, но другие 3-элементные звенья могут иметь инвариант 2 или более, так как число связей может быть больше 1).

Другое определение следующее: рассмотрите ссылку . Предположим, что для и . Выберите любые поверхности Зейферта для соответствующих компонентов зацепления, скажем, такие, что для всех . Тогда 3-кратный инвариант Милнора равен минус количество точек пересечения при счете со знаками; ( Кокран, 1990 ).${\ Displaystyle L = L_ {1} \ чашка L_ {2} \ чашка L_ {3}}$${\ displaystyle {\ rm {lk}} (L_ {i}, L_ {j}) = 0}$${\ Displaystyle я, j = 1,2,3}$${\ Displaystyle я <j}$${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}, F_ {3}}$${\ displaystyle F_ {i} \ cap L_ {j} = \ emptyset}$${\ Displaystyle я \ neq j}$${\ Displaystyle F_ {1} \ крышка F_ {2} \ крышка F_ {3}}$

Инварианты Милнора также могут быть определены, если инварианты более низкого порядка не обращаются в нуль, но тогда возникает неопределенность, зависящая от значений инвариантов более низкого порядка. Эта неопределенность может быть понята геометрически как неопределенность в выражении ссылки как замкнутой струнной связи, как обсуждается ниже (ее также можно рассматривать алгебраически как неопределенность произведений Масси, если произведения Масси более низкого порядка не обращаются в нуль).

Инварианты Милнора можно рассматривать как инварианты строковых ссылок , и в этом случае они определены универсально, а неопределенность инварианта Милнора ссылки именно из-за множества способов, которыми заданные ссылки могут быть сокращены до строковой ссылки; это позволяет классифицировать ссылки до гомотопии ссылок, как в ( Habegger & Lin 1990 ). С этой точки зрения, инварианты Милнора являются инвариантами конечного типа , и фактически они (и их произведения) являются единственными рациональными инвариантами согласования конечного типа строковых ссылок; ( Хабеггер и Масбаум, 2000 ).

Число линейно независимых инвариантов Милнора длины для m -компонентных звеньев равно , где - число базисных коммутаторов длины k в свободной алгебре Ли на m порождающих, а именно:${\ Displaystyle к + 1}$${\ displaystyle mN_ {k} -N_ {k + 1}}$${\ Displaystyle Н_ {к}}$

${\ displaystyle N_ {k} = {\ frac {1} {k}} \ sum _ {d | m} \ phi (d) \ left (m ^ {k / d} \ right)}$,

где функция Мёбиуса ; см. например ( Orr 1989 ). Это число растет на порядок .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle m^{k+1}/k^{2}}$

Приложения

Группы ссылок можно использовать для классификации брунновских ссылок .

Смотрите также

• Группа узлов
• Регулярная гомотопия

использованная литература

• Кокран, Тим Д. (1990), «Производные ссылок: инварианты согласования Милнора и произведения Мэсси», Мемуары Американского математического общества , Американское математическое общество, 427
• Хабеггер, Натан; Линь, Сяо Сун (1990), «Классификация связей до гомотопии», Журнал Американского математического общества , 2, Американское математическое общество, 3 (2): 389–419, doi : 10.2307/1990959 , JSTOR  1990959
• Хабеггер, Натан; Масбаум, Грегор (2000), «Интеграл Концевича и инварианты Милнора», Topology , 39 (6): 1253–1289, doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5 , MR  1783857 , препринт . {{citation}}: Внешняя ссылка в |postscript=( помощь ) CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Милнор, Джон (март 1954 г.), «Группы ссылок», Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, 59 (2): 177–195, doi : 10.2307/1969685 , JSTOR  1969685 , MR  0071020
• Орр, Кент Э. (1989), «Гомотопические инварианты связей», Inventiones Mathematicae , 95 (2): 379–394, doi : 10.1007/BF01393902 , MR  0974908
• Портер, Ричард Д. (1980), « μ - инварианты Милнора и произведения Мэсси», Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 257 (1): 39–71, doi : 10.2307/1998124 , JSTOR  1998124 , MR  0549154
• Столлингс, Джон Р. (1965), «Гомологии и центральные ряды групп», Journal of Algebra , 2 (2): 170–181, doi : 10.1016/0021-8693 (65) 90017-7 , MR  0175956
• Тураев, Владимир Г. (1976), "Инварианты Милнора и произведения Масси", Зап. научн. Сем. Ленинград. Отдел. Мат. Инст. Стеклов. (ЛОМИ) , Исследования по топологии-II, 66 : 189–203, MR  0451251