Список установленных идентичностей и отношений

В этой статье перечислены математические свойства и закономерности множеств , связанных с теоретико-множественных операций из объединения , пересечения и дополнения и отношения из множества равенства и множества включения . Он также предоставляет систематические процедуры для оценки выражений и выполнения вычислений, включающих эти операции и отношения.

В Бинарные операции из множества объединения ( ) и пересечения ( ) удовлетворяют множество идентичностей . Некоторые из этих идентичностей или «законов» имеют хорошо зарекомендовавшие себя названия. ${\ Displaystyle \ чашка}$${\ displaystyle \ cap}$

Обозначение [ править ]

На протяжении всей статьи заглавные буквы, такие как и, будут обозначать множества и будут обозначать набор степеней. Если это необходимо, то, если не указано иное, следует предполагать, что это обозначает набор юниверсов , что означает, что все наборы, которые используются в формуле, являются подмножества В частности, дополнение набора будет обозначаться где, если не указано иное, следует предполагать, что обозначает дополнение in (вселенная)${\ displaystyle A, B, C,}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {C}}$${\ displaystyle A ^ {C}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X.}$

Для наборов и определите:${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A\cup B&&~=~\{~x~:~x\in A\;&&{\text{ or }}\;\,&&\;x\in B~\}\\A\cap B&&~=~\{~x~:~x\in A\;&&{\text{ and }}&&\;x\in B~\}\\A\setminus B&&~=~\{~x~:~x\in A\;&&{\text{ and }}&&\;x\notin B~\}.\\\end{alignedat}}}$

Симметричная разница в и это: ^{[1] [2]}${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A\;\triangle \;B~&=~(A~\setminus ~&&B)~\cup ~&&(B~\setminus ~&&A)\\~&=~(A~\cup ~&&B)~\setminus ~&&(A~\cap ~&&B)\end{alignedat}}}$

и дополнение набора :${\displaystyle B}$

${\displaystyle B^{C}=X\setminus B}$

где Это определение может зависеть от контекста. Например, были объявлены как подмножество наборов и не обязательно связаны друг с другом каким-либо образом, тогда , скорее всего, вместо${\displaystyle B\subseteq X.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B^{C}}$${\displaystyle Y\setminus B}$${\displaystyle X\setminus B.}$

Алгебра множеств [ править ]

Семейство подмножеств множества называется алгеброй множеств , если и для всех всех трех множеств и элементы ^[3] статьи по этой теме списки установленных идентичностей и других отношений эти три операции.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \in \Phi }$${\displaystyle A,B\in \Phi ,}$${\displaystyle X\setminus A,}$ ${\displaystyle A\cap B,}$${\displaystyle A\cup B}$${\displaystyle \Phi .}$

Всякая алгебра множеств также является кольцом множеств ^[3] и π-системой .

Алгебра, порожденная семейством множеств

Для любого семейства подмножеств существует единственная наименьшая ^{[примечание 1]} алгебра множеств в содержащем ^[3]. Она называется алгеброй, порожденной посредством, и мы будем обозначать ее через. Эта алгебра может быть построена следующим образом: ^[3]${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}.}$

1. Если тогда и мы закончили. В качестве альтернативы, если пусто, то его можно заменить на или и продолжить строительство.${\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing }$${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}=\left\{\varnothing ,X\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \left\{\varnothing \right\},}$ ${\displaystyle \left\{X\right\},}$${\displaystyle \left\{\varnothing ,X\right\}}$
2. Позвольте быть семейство всех наборов вместе с их дополнениями (взятыми ).${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$
3. Позвольте быть семейство всевозможных конечных пересечений множеств в ^{[примечание 2]}${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}.}$
4. Тогда алгебра, порожденная, - это множество, состоящее из всех возможных конечных объединений множеств в${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}.}$

Базовый набор отношений [ править ]

Позвольте и быть подмножествами${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X.}$

Коммутативность : ^[4]

• ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$
• ${\displaystyle A\,\triangle B=B\,\triangle A}$

Ассоциативность : ^[4]

• ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$
• ${\displaystyle (A\,\triangle B)\,\triangle C=A\,\triangle (B\,\triangle C)}$

Распределительность : ^[4]

• ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$
• ${\displaystyle A\cap (B\,\triangle C)=(A\cap B)\,\triangle (A\cap C)}$
• ${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$
• ${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$
• ${\displaystyle A\times (B\,\setminus C)=(A\times B)\,\setminus (A\times C)}$

Личность: ^[4]

• ${\displaystyle A\cap X=A}$
• ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$
• ${\displaystyle A\,\triangle \varnothing =A}$

Дополнение: ^[4]

• ${\displaystyle A\cup A^{C}=X}$
• ${\displaystyle A\cap A^{C}=\varnothing }$
• ${\displaystyle A\,\triangle A^{C}=X}$

Идемпотент : ^[4]

• ${\displaystyle A\cup A=A}$
• ${\displaystyle A\cap A=A}$

Доминирование: ^[4]

• ${\displaystyle A\cup X=X}$
• ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$
• ${\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing }$

Законы поглощения :

• ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$
• ${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$

Дополнения [ править ]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A\setminus B&=A\setminus (A\cap B)\\\end{alignedat}}}$

Пересечение можно выразить через разность множеств:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A\cap B&=A\setminus (A\setminus B)\\&=B\setminus (B\setminus A)\end{alignedat}}}$

Вычитание множества и пустой набор: ^[4]

${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\varnothing &=A&&\setminus A\\&=\varnothing &&\setminus A\\&=A&&\setminus X~~~~{\text{ where }}A\subseteq X\\\end{alignedat}}}$

Дополнения в наборе вселенной

Предположить, что ${\displaystyle A,B,C\subseteq X.}$

${\displaystyle A^{C}=X\setminus A}$ (по определению этого обозначения)

Законы Де Моргана :

• ${\displaystyle (A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}}$
• ${\displaystyle (A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}}$

Закон двойного дополнения или инволюции :

• ${\displaystyle {(A^{C})}^{C}=A}$

Законы дополнения для множества вселенной и пустого множества:

• ${\displaystyle \varnothing ^{C}=X}$
• ${\displaystyle X^{C}=\varnothing }$

Уникальность дополнений:

• Если и тогда${\displaystyle A\cup B=X}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$${\displaystyle B=A^{C}}$

Дополнения и вычитание множеств

• ${\displaystyle B\setminus A=A^{C}\cap B}$

• ${\displaystyle (B\setminus A)^{C}=A\cup B^{C}}$

• ${\displaystyle B^{C}\setminus A^{C}=A\setminus B}$

Включение подмножества [ править ]

Следующие варианты эквивалентны: ^[4]

1. ${\displaystyle A\subseteq B}$
2. ${\displaystyle A\cap B=A}$
3. ${\displaystyle A\cup B=B}$
4. ${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$
5. ${\displaystyle B^{C}\subseteq A^{C}}$

Включение - это частичный порядок

На словах, следующие три свойство говорит о том , что бинарное отношение на включении является частичным порядком . ^[4]${\displaystyle \subseteq }$

Рефлексивность :

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

Антисимметрия :

• ${\displaystyle A\subseteq B}$и тогда и только тогда, когда${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A=B}$

Транзитивность :

• Если и тогда${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\subseteq C,}$${\displaystyle A\subseteq C}$

Свойства решетки

Следующее предложение говорит , что для любого набора набора мощности в упорядоченном по включения, является ограниченной решеткой , и , следовательно , вместе с распределительными и комплементом законами выше, показывает , что это булева алгебра .${\displaystyle S,}$${\displaystyle S,}$

Существование наименьшего элемента и наибольшего элемента :

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq X}$

Наличие объединений : ^[4]

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• Если и тогда${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle B\subseteq C}$${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

Наличие встреч : ^[4]

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• Если и тогда${\displaystyle C\subseteq A}$${\displaystyle C\subseteq B}$${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

Прочие свойства

• Если и затем ^[4]${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$${\displaystyle A\times B\subseteq X\times Y}$

• Если тогда${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle C\setminus B\subseteq C\setminus A}$

Операции с множественными наборами [ править ]

Выражение основных операций над множеством [ править ]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}A\cap B&=A&&\,\,\setminus \,&&(A&&\,\,\setminus &&B)\\&=B&&\,\,\setminus \,&&(B&&\,\,\setminus &&A)\\&=A&&\,\,\setminus \,&&(A&&\,\triangle \,&&B)\\&=A&&\,\triangle \,&&(A&&\,\,\setminus &&B)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}A\cup B&=(&&A\,\triangle \,B)&&\,\,\cup &&&&A&&&&\\&=(&&A\,\triangle \,B)&&\,\triangle \,&&(&&A&&\cap \,&&B)\\&=(&&B\,\setminus \,A)&&\,\,\cup &&&&A&&&&~~~~~{\text{(Disjoint union)}}\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}A\setminus B&=&&A&&\,\,\setminus &&(A&&\,\,\cap &&B)\\&=&&A&&\,\,\cap &&(A&&\,\triangle \,&&B)\\&=&&A&&\,\triangle \,&&(A&&\,\,\cap &&B)\\&=&&B&&\,\triangle \,&&(A&&\,\,\cup &&B)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}A\,\triangle \,B&=&&B\,\triangle \,A&&&&\\&=(&&A\,\cup \,B)&&\,\,\setminus \,(&&A\,\,\cap \,B)\\&=(&&A^{C})&&\,\triangle \,(&&B^{C})\\&=(&&A\,\triangle \,C)&&\,\triangle \,(&&C\,\triangle \,B)\\\end{alignedat}}}$

Идентичности, включающие вычитание множества и другую операцию над множеством [ править ]

В левых частях следующих тождеств, является L  EFT наиболее множество, является М  множество iddle, и является R  IGHT наиболее набор. ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R}$

Вычитание множества, появляющееся слева от другой операции над множеством

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\setminus (M\cup R)&=(L\setminus M)&&\,\cap \,(&&L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\&=(L\setminus M)&&\,\,\setminus &&R\\&=(L\setminus R)&&\,\,\setminus &&M\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\setminus (M\cap R)&=(L\setminus M)\cup (L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\setminus (M\setminus R)&=(L\setminus M)\cup (L\cap R)\\\end{alignedat}}}$

• Так что если тогда${\displaystyle L\subseteq M}$${\displaystyle L\setminus (M\setminus R)=L\cap R}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\setminus (M~\triangle ~R)&=(L\setminus (M\cup R))\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(L\setminus M\right)\cup R&=(L\cup R)\setminus (M\setminus R)\\&=(L\setminus (M\cup R))\cup R~~~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(L\setminus M)\cap R&=(&&L\cap R)\setminus (M\cap R)~~~{\text{ (distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap R)\setminus M\\&=&&L\cap (R\setminus M)\\\end{alignedat}}}$^[5]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(L\setminus M)\setminus R&=&&L\setminus (M\cup R)\\&=(&&L\setminus M)\cap (L\setminus R)\\&=(&&L\setminus R)\setminus M\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(L\setminus M)~\triangle ~R&=(L\setminus (M\cup R))\cup (R\setminus L)\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$

Вычитание множества появляется справа от другой операции над множеством

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(L\cup M)\setminus R&=(L\setminus R)\cup (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(L\cap M)\setminus R&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\&=&&L&&\cap (M\setminus R)\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(L\,\triangle \,M)\setminus R&=(L\setminus R)~&&\triangle ~(M\setminus R)\\&=(L\cup R)~&&\triangle ~(M\cup R)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\cup (M\setminus R)&=&&&&L&&\cup \;&&(M\setminus (R\cup L))&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=[&&(&&L\setminus M)&&\cup \;&&(R\cap L)]\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=&&(&&L\setminus (M\cup R))\;&&\;\cup &&(R\cap L)\,\,\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\cap (M\setminus R)&=(&&L\cap M)&&\setminus (L\cap R)~~~{\text{ (distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap M)&&\setminus R\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}$^[5]

Если тогда ^[5]${\displaystyle L\subseteq M}$${\displaystyle L\setminus R=L\cap (M\setminus R).}$

Идентичности, включающие две операции над множеством, кроме вычитания множества [ править ]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\cap (M\cup R)&=(L\cap M)~&&\cup ~(L\cap R)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\cup (M\cap R)&=(L\cup M)~&&\cap ~(L\cup R)\\\end{alignedat}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}L\cap (M\,\triangle \,R)&=(L\cap M)~&&\,\triangle \,~(L\cap R)\\\end{alignedat}}}$

Произвольные семейства множеств [ править ]

Позвольте и быть семействами наборов . Всякий раз, когда требуется предположение, все наборы индексации, такие как и, считаются непустыми. ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I},}$ ${\displaystyle \left(B_{j}\right)_{j\in J},}$${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J,}$

Определения [ править ]

Определение произвольных союзов

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}~~\colon =~\{x~:~{\text{ there exists }}i\in I{\text{ such that }}x\in A_{i}\}}$[4]

(По умолчанию 1 )

Если then - это что-то, называемое соглашением об объединении с нулевым значением (несмотря на то, что оно называется соглашением, это равенство следует из определения).${\displaystyle I=\varnothing }$${\displaystyle \bigcup _{i\in \varnothing }A_{i}=\{x~:~{\text{ there exists }}i\in \varnothing {\text{ such that }}x\in A_{i}\}=\varnothing ,}$

Определены произвольные пересечения

Если тогда ^[4]${\displaystyle I\neq \varnothing }$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}~~\colon =~\{x~:~x\in A_{i}{\text{ for every }}i\in I\}~=~\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in I{\text{ then }}x\in A_{i}\}.}$

(По умолчанию 2 )

Нулевые пересечения

Если тогда${\displaystyle I=\varnothing }$

${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }A_{i}=\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnothing {\text{ then }}x\in A_{i}\}}$

где каждая возможная вещь во Вселенной бессодержательно выполняется условие: «если тогда ». Следовательно, состоит из всего во Вселенной.${\displaystyle x}$${\displaystyle i\in \varnothing }$${\displaystyle x\in A_{i}}$${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }A_{i}=\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnothing {\text{ then }}x\in A_{i}\}=\{x:{\text{ for all }}i,{\text{ true }}\}}$

Итак, если и:${\displaystyle I=\varnothing }$

1. если вы работаете в модели, в которой существует некоторый набор вселенной, тогда${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }A_{i}=\{x~:~x\in A_{i}{\text{ for every }}i\in \varnothing \}~=~X.}$
2. в противном случае, если вы работаете в модели, в которой «класс всех вещей » не является набором (наиболее распространенная ситуация), то он не определен . Это происходит потому , что состоит из всего , что делает в собственный класс и не набор.${\displaystyle x}$${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }A_{i}}$${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }A_{i}=\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnothing {\text{ then }}x\in A_{i}\}}$${\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }A_{i}}$

Предположение : отныне всякий раз, когда формула требует, чтобы некоторый набор индексации был непустым, чтобы произвольное пересечение было четко определено, это будет автоматически предполагаться без упоминания.

Следствием этого является следующее предположение / определение:

Конечное пересечение множеств или пересечение конечного числа множеств относится к пересечению конечного набора одного или нескольких наборов.

Некоторые авторы принимают так называемое соглашение о нулевом пересечении , согласно которому пустое пересечение множеств равно некоторому каноническому множеству. В частности, если все наборы являются подмножествами некоторого набора, то какой-то автор может объявить, что пустое пересечение этих множеств равно значению. Однако соглашение о нулевом пересечении не столь общепринято, и эта статья не будет его принимать (это связано с тот факт, что в отличие от пустого объединения, значение пустого пересечения зависит от X, поэтому, если есть несколько рассматриваемых множеств, что обычно имеет место, тогда значение пустого пересечения рискует стать неоднозначным).${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Коммутативность и ассоциативность [ править ]

${\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~\colon =~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcup _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)}$^[4]

${\displaystyle \bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~\colon =~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcap _{i\in I}S_{i,j}\right)}$^[4]

Союзы союзов и пересечения перекрестков

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cup B~=~\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}\cup B\right)}$^[4]

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cap B~=~\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}\cap B\right)}$^[4]

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cup \left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(A_{i}\cup B_{j}\right)}$[4]

( Уравнение 2a )

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(A_{i}\cap B_{j}\right)}$[4]

( Уравнение 2b )

а если то также: ^{[примечание 3]}${\displaystyle I=J}$

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cup \left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)~=~\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}\cup B_{i}\right)}$[4]

( Уравнение 2c )

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}\cap B_{i}\right)}$[4]

( Уравнение 2d )

Распределение союзов и пересечений [ править ]

Бинарное пересечение произвольных объединений [ править ]

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cap B~=~\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}\cap B\right)}$

( Уравнение 3a )

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(A_{i}\cap B_{j}\right)}$[5]

( Уравнение 3b )

Важно , если то в целом (см. Пример в сноске ^{[примечание 4]} ). Единственное объединение в правой части должно происходить по всем парам : то же самое обычно верно для других аналогичных нетривиальных наборов равенств и отношений, которые зависят от двух (потенциально несвязанных) наборов индексации и (таких как уравнение 4b или уравнение 7g). ^[5] ). Двумя исключениями являются уравнение. 2c (союзы профсоюзов) и уравнение. 2d (пересечения пересечений), но оба они являются одними из самых тривиальных из множества равенств, и, более того, даже для этих равенств есть еще кое-что, что необходимо доказать. ^{[заметка 3]}${\displaystyle I=J}$${\displaystyle ~\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)~~\neq ~~\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}\cap B_{i}\right)~}$${\displaystyle (i,j)\in I\times I}$${\displaystyle ~\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)~=~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(A_{i}\cap B_{j}\right).~}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

Бинарное объединение произвольных пересечений [ править ]

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cup B~=~\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}\cup B\right)}$

( Ур. 4a )

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{j\in J}B_{j}\right)~=~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}\left(A_{i}\cup B_{j}\right)}$[5]

( Ур. 4b )

Произвольные пересечения и произвольные союзы [ править ]

Наивно меняет местами и может выдать другой набор${\displaystyle \bigcup _{i\in I}}$${\displaystyle \bigcap _{j\in J}}$

Всегда имеет место следующее включение:

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~\subseteq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)}$

( Включение 1 ∪∩ является подмножеством ∩∪ )

В общем, равенство не обязательно, и, более того, правая часть зависит от того, как для каждого фиксированного набора помечены (см. Эту сноску ^{[примечание 5]} для примера), и аналогичное утверждение также верно для левой части, поскольку хорошо. Равенство может соблюдаться при определенных обстоятельствах, например, в 7e и 7f , которые являются, соответственно, особыми случаями, когда и (для 7f , и меняются местами). ${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{j\in J}}$${\displaystyle S_{i,j}\colon =A_{i}\setminus B_{j}}$${\displaystyle \left({\hat {S}}_{j,i}\right)_{(j,i)\in J\times I}\colon =\left(A_{i}\setminus B_{j}\right)_{(j,i)\in J\times I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

Формула равенства

Для равенства множеств, расширяющего законы распределения, необходим подход, отличный от простого переключения и . Предположим, что для каждого есть некоторый непустой набор индексов и для каждого пусть будет любой набор (например, с использованием для всех и использования для всех и всех ). Позволять${\displaystyle \cup }$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle j\in J_{i},}$${\displaystyle R_{i,j}}$${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$${\displaystyle J_{i}\colon =J}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle R_{i,j}\colon =S_{i,j}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle j\in J_{i}=J}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}~\colon =~\prod _{i\in I}J_{i}}$

- декартово произведение , которое можно интерпретировать как набор всех функций, таких что для каждого Then ${\displaystyle f~:~I~\to ~\bigcup _{i\in I}J_{i}}$${\displaystyle f(i)\in J_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left[\;\bigcup _{j\in J_{i}}R_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\left[\;\bigcap _{i\in I}R_{i,f(i)}\right]}$

( Уравнение от 5 ∩∪ до )

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left[\;\bigcap _{j\in J_{i}}R_{i,j}\right]=\bigcap _{f\in {\mathcal {F}}}\left[\;\bigcup _{i\in I}R_{i,f(i)}\right]}$

( Уравнение от 6 ∪∩ до )

где ${\displaystyle {\mathcal {F}}~=~\prod _{i\in I}J_{i}.}$

Пример применения : в частном случае, когда все равны (то есть, для всех, что имеет место, например, в случае с семьей ), тогда, позволяя обозначить этот общий набор, этот набор будет ; то есть будет набор всех функций в форме Вышеупомянутые равенства Ур. 5 ∩∪ к ∪∩ и уравнение. От 6 ∪∩ до become соответственно становятся:${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle J_{i}=J_{i_{2}}}$${\displaystyle i,i_{2}\in I,}$${\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}$${\displaystyle J}$${\displaystyle {\mathcal {F}}~\colon =~\prod _{i\in I}J_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=J^{I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f~:~I~\to ~J.}$

• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left[\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in J^{I}}\left[\;\bigcap _{i\in I}S_{i,f(i)}\right]}$^[4]

• ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left[\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right]=\bigcap _{f\in J^{I}}\left[\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}\right]}$^[4]

что в сочетании с включением 1 является подмножеством ∩∪, влечет:

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left[\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right]=\bigcap _{f\in J^{I}}\left[\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}\right]~\subseteq ~\bigcup _{g\in I^{J}}\left[\;\bigcap _{j\in J}S_{g(j),j}\right]=\bigcap _{j\in J}\left[\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right]}$

где индексы и (для ) используются с правой стороны, а и (для ) используются с левой стороны. ${\displaystyle g\in I^{J}}$${\displaystyle g(j)\in I}$${\displaystyle j\in J}$${\displaystyle f\in J^{I}}$${\displaystyle f(i)\in J}$${\displaystyle i\in I}$

Пример приложения : применить общую формулу к случаю и использовать и позволить для всех и позволить для всех Каждая карта может быть биективно идентифицирована с парой (обратная отправка отправляет на карту, определенную и ; это технически просто изменение обозначения ). Расширяя и упрощая левую часть уравнения. От 5 до ∪∩ , что было напоминанием ${\displaystyle \left(C_{k}\right)_{k\in K}}$${\displaystyle \left(D_{l}\right)_{l\in L},}$${\displaystyle I\colon =\{1,2\},}$ ${\displaystyle J_{1}\colon =K,}$ ${\displaystyle J_{2}\colon =L,}$${\displaystyle R_{1,k}\colon =C_{k}}$${\displaystyle k\in J_{1}}$${\displaystyle R_{2,l}\colon =D_{l}}$${\displaystyle l\in J_{2}.}$${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}~\colon =~\prod _{i\in I}J_{i}=J_{1}\times J_{2}=K\times L}$${\displaystyle \left(f(1),f(2)\right)\in K\times L}$${\displaystyle (k,l)\in K\times L}$${\displaystyle f_{(k,l)}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 1\mapsto k}$${\displaystyle 2\mapsto l}$

${\displaystyle ~\bigcap _{i\in I}\left[\;\bigcup _{j\in J_{i}}R_{i,j}\right]=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\left[\;\bigcap _{i\in I}R_{i,f(i)}\right]~}$

дает

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}\left[\;\bigcup _{j\in J_{i}}R_{i,j}\right]=\left(\bigcup _{j\in J_{1}}R_{1,j}\right)\cap \left(\;\bigcup _{j\in J_{2}}R_{2,j}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}R_{1,k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}R_{2,l}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}D_{l}\right)}$

и то же самое с правой стороны дает:

${\displaystyle \bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\left[\;\bigcap _{i\in I}R_{i,f(i)}\right]=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\left(R_{1,f(1)}\cap R_{2,f(2)}\right)=\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}\left(C_{f(1)}\cap D_{f(2)}\right)=\bigcup _{(k,l)\in K\times L}\left(C_{k}\cap D_{l}\right)=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}$

Таким образом, общее тождество Eq. 5 ∩∪ к ∪∩ сводится к ранее заданному равенству набора Eq. 3b :

• ${\displaystyle \left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}D_{l}\right)=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}$

Распределение вычитания [ править ]

${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)\;\setminus \;B~=~\bigcup _{i\in I}\left(A_{i}\;\setminus \;B\right)}$

( Уравнение 7a )

${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\;\setminus \;B~=~\bigcap _{i\in I}\left(A_{i}\;\setminus \;B\right)}$

( Уравнение 7b )

${\displaystyle A\;\setminus \;\left(\bigcup _{j\in J}B_{j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(A\;\setminus \;B_{j}\right)}$       (Закон Де Моргана) [5]

( Уравнение 7c )