В математике , особенно в интегральном исчислении , теорема локализации позволяет при определенных условиях сделать вывод о ничтожности функции, зная только информацию о ее непрерывности и значении ее интеграла.
Пусть F ( x ) — вещественная функция , определенная на некотором открытом интервале Ω действительной прямой , непрерывной в Ω. Пусть D — произвольный подинтервал, содержащийся в Ω. Теорема утверждает следующее импликацию:
Простое доказательство таково: если бы внутри Ω существовала точка x0 , для которой F ( x0 ) ≠ 0 , то непрерывность F требовала бы существования окрестности x0 , в которой значение F было бы отличным от нуля, и, в частности, того же знака, что и у x 0 . Поскольку такая окрестность N , которую можно считать сколь угодно малой, должна, однако, иметь ненулевую ширину на действительной линии, интеграл от F по N будет иметь ненулевое значение. Однако, поскольку x 0 является частью открытого множества Ω, все окрестности x 0, меньшие, чем расстояние от x 0 до границы Ω, включены в него, и поэтому интеграл от F по ним должен быть равен нулю. Достигнув противоречия, что ∫ N F ( x ) dx должно быть одновременно нулевым и ненулевым, исходная гипотеза должна быть неверной, и, следовательно, не существует x 0 в Ω, для которого F ( x 0 ) ≠ 0 .
Теорему легко обобщить на функции многих переменных , заменив интервалы более общим понятием связных открытых множеств , то есть областей , а исходную функцию - некоторым F ( x ): Rn → R , с ограничениями непрерывности и ничтожности его интеграл по любой подобласти D ⊂ Ω . Доказательство полностью аналогично случаю одной переменной и заканчивается невозможностью найти точку x 0 ∈ Ω такую, что F ( x 0 ) ≠ 0 .
Примером использования этой теоремы в физике является закон сохранения массы жидкостей, который гласит, что масса любого объема жидкости не должна меняться:
Применяя транспортную теорему Рейнольдса , можно изменить ссылку на произвольный (нежидкий) контрольный объем V c . Далее, если предположить, что функция плотности непрерывна (т.е. что наша жидкость монофазна и термодинамически метастабильна) и что V c не движется относительно выбранной системы отсчета, уравнение принимает вид: