Локально нильпотентное происхождение

В математике, вывод из коммутативного кольца называется локально нильпотентной вывод ( LND ) , если каждый элемент аннулируются некоторой степенью . ${\ displaystyle \ partial}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ partial}$

Одна из причин для изучения локально нильпотентных дифференцирований исходит из того факта, что некоторые контрпримеры к 14-й проблеме Гильберта получаются как ядра дифференцирования на кольце многочленов. ^[1]

Над полем нулевой характеристики получение локально нильпотентного дифференцирования в области целостности , конечно порожденной над полем, эквивалентно заданию действия аддитивной группы аффинному многообразию . Грубо говоря, аффинное многообразие, допускающее «множество» действий аддитивной группы, считается подобным аффинному пространству. ^{[ расплывчато ] [2]}${\ displaystyle k}$${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle (к, +)}$${\ Displaystyle X = \ OperatorName {Spec} (A)}$

Определение [ править ]

Пусть будет кольцо . Напомним , что вывод из является отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница для любого . Если - алгебра над полем , мы дополнительно требуем, чтобы она была -линейной, поэтому .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ partial \ двоеточие \, от A \ до A}$ ${\ Displaystyle \ partial (ab) = (\ partial a) b + a (\ partial b)}$${\displaystyle a,b\in A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\subseteq \ker \partial }$

Вывод называется локально нильпотентным выводом (LND), если для каждого существует положительное целое число такое, что .${\displaystyle \partial }$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial ^{n}(a)=0}$

Если это сортовой , мы говорим , что локально нильпотентный вывод является однородным (степени ) , если для каждого .${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle d}$${\displaystyle \deg \partial a=\deg a+d}$${\displaystyle a\in A}$

Множество локально нильпотентных дифференцирований кольца обозначается через . Обратите внимание, что это множество не имеет очевидной структуры: оно не замкнуто ни по сложению (например, если , то, но , так ), ни по умножению на элементы (например , но ). Однако если тогда следует ^[3], а если , то .${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial _{1}=y{\tfrac {\partial }{\partial x}}}$${\displaystyle \partial _{2}=x{\tfrac {\partial }{\partial y}}}$${\displaystyle \partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (k[x,y])}$${\displaystyle (\partial _{1}+\partial _{2})^{2}(x)=x}$${\displaystyle \partial _{1}+\partial _{2}\not \in \operatorname {LND} (k[x,y])}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x}}\in \operatorname {LND} (k[x])}$${\displaystyle x{\tfrac {\partial }{\partial x}}\not \in \operatorname {LND} (k[x])}$${\displaystyle [\partial _{1},\partial _{2}]=0}$${\displaystyle \partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial _{1}+\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle h\in \ker \partial }$${\displaystyle h\partial \in \operatorname {LND} (A)}$

Связь с -действиями ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$[ править ]

Позвольте быть алгеброй над полем характеристики нуль (например ). Тогда существует взаимно однозначное соответствие одному между локально нильпотентными -дифференцирование на и действиях аддитивной группы из на аффинном многообразии , следующим образом . ^[3] A -действие на соответствует гомоморфизму -алгебр . Любые такие определяет локально нильпотентный вывод о взяв ее производную в нуле, а именно , где обозначает оценку на . Наоборот, любое локально нильпотентное дифференцирование определяет гомоморфизм формулой${\displaystyle A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \rho \colon A\to A[t]}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial =\epsilon \circ {\tfrac {d}{dt}}\circ \rho ,}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \rho \colon A\to A[t]}$${\displaystyle \rho =\exp(t\partial )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\partial ^{n}.}$

Легко видеть, что сопряженные действия соответствуют сопряженным выводам, т. Е. If and then и${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Aut} A}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1}\in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \exp(t\cdot \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1})=\alpha \circ \exp(t\partial )\circ \alpha ^{-1}}$

Алгоритм ядра [ править ]

Алгебра состоит из инвариантов соответствующего -действия. Он алгебраически и факториально замкнут в . ^[3] Частный случай 14-й проблемы Гильберта спрашивает, конечно порождена или, если , фактор аффинен. По теореме конечности Зариской , ^[4] это верно , если . С другой стороны, этот вопрос является весьма нетривиальным даже , . Ибо ответ, в общем, отрицательный. ^[5] Дело открыто. ^[3]${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle A=k[X]}$ ${\displaystyle X/\!/\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \dim X\leq 3}$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle n=4}$

Однако на практике часто бывает, что конечно порожденная конечная порождена: в частности, по теореме Маурера – Вайтценбека ^[6] это имеет место для линейных LND алгебры многочленов над полем нулевой характеристики (под линейной мы понимаем однородную нулевой степени по стандартной градации).${\displaystyle \ker \partial }$

Предположим , конечно порождено. Если - конечно порожденная алгебра над полем нулевой характеристики, то может быть вычислена с использованием алгоритма Ван ден Эссена ^[7] следующим образом. Выбираем локальный кусочек , т.е. элемент и ставим . Позвольте быть Диксмье отображение, данное . Теперь для каждого выберите минимальное целое число, такое что , положим и определим индуктивно как подкольцо, порожденное . По индукции доказывается, что они конечно порождены, а если то , то так и с некоторыми . Нахождение генераторов каждого${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle A=k[g_{1},\dots ,g_{n}]}$${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle r\in \ker \partial ^{2}\setminus \ker \partial }$${\displaystyle f=\partial r\in \ker \partial }$${\displaystyle \pi _{r}\colon \,A\to (\ker \partial )_{f}}$${\displaystyle \pi _{r}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial ^{n}(a){\frac {r^{n}}{f^{n}}}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle h_{i}\colon =f^{m_{i}}\pi _{r}(g_{i})\in \ker \partial }$${\displaystyle B_{0}=k[h_{1},\dots ,h_{n},f]\subseteq \ker \partial }$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{h\in A:fh\in B_{i-1}\}}$${\displaystyle B_{0}\subset B_{1}\subset \dots \subset \ker \partial }$${\displaystyle B_{i}=B_{i+1}}$${\displaystyle B_{i}=\ker \partial }$${\displaystyle B_{N}=\ker \partial }$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{i}}$и проверка того, является ли вычисление стандартным с использованием базисов Грёбнера . ^[7]${\displaystyle B_{i}=B_{i+1}}$

Теорема среза [ править ]

Предположим, что допускает срез , т.е. такой, что . Теорема среза ^[3] утверждает, что алгебра многочленов и .${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle s\in A}$${\displaystyle \partial s=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\ker \partial )[s]}$${\displaystyle \partial ={\tfrac {d}{ds}}}$

Для любого локального срезе мы можем применить теорему среза к локализации , и , таким образом , получаем , что является локально алгебра многочленов с помощью стандартного вывода. В геометрических терминах, если геометрический фактор аффинно (например , когда по теореме Зариской ), то она имеет Зариский открытое подмножество такое , что изоморфный над к , где действует перевод на втором факторе.${\displaystyle r\in \ker \partial \setminus \ker \partial ^{2}}$ ${\displaystyle A_{\partial r}}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \pi \colon \,X\to X//\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \dim X\leq 3}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

Однако в целом это неправда, что это локально тривиально. Например, ^[8] пусть . Тогда является координатным кольцом особого многообразия, и слои фактор-отображения по особым точкам двумерны.${\displaystyle X\to X//\mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \partial =u{\tfrac {\partial }{\partial x}}+v{\tfrac {\partial }{\partial y}}+(1+uy^{2}){\tfrac {\partial }{\partial z}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x,y,z,u,v])}$${\displaystyle \ker \partial }$

Если то кривая. Чтобы описать действие, важно понимать геометрию . Предположим далее , что и является гладкой и сжимаемым (в этом случае является гладкой и сжимаемым , а также ^[9] ) и выбрать , будет минимальным (по включению). Затем Калиман доказал ^[10], что каждая неприводимая компонента кривой является полиномиальной кривой , т. Е. Ее нормализация изоморфна . Кривая действия, задаваемая (2,5) -дифференцированием Фрейденбурга (см. Ниже ), представляет собой объединение двух прямых в${\displaystyle \dim X=3}$${\displaystyle \Gamma =X\setminus U}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, поэтому не может быть неприводимым. Однако есть предположение, что всегда можно сжимать . ^[11]${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$

Примеры [ править ]

Пример 1

Стандартные координатные дифференцирования алгебры полиномов локально нильпотентны. Соответствующие -действия переводы: , для .${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle t\cdot x_{i}=x_{i}+t}$${\displaystyle t\cdot x_{j}=x_{j}}$${\displaystyle j\neq i}$

Пример 2 ((2,5) -однородный вывод Фройденбурга ^[12] )

Пусть , и пусть якобиан вывод . Затем и (см. Ниже ); то есть не аннулирует никакую переменную. Множество фиксированных точек соответствующего действия равно .${\displaystyle f_{1}=x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}}$${\displaystyle f_{2}=x_{3}f_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}f_{1}+x^{5}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial (f_{3})=\det[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}]_{i,j=1,2,3}}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (k[x_{1},x_{2},x_{3}])}$${\displaystyle \operatorname {rank} \partial =3}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \{x_{1}=x_{2}=0\}}$

Пример 3

Подумайте . Локально нильпотентное дифференцирование его координатного кольца соответствует естественному действию on посредством правого умножения верхнетреугольных матриц. Это действие дает нетривиальную связку . Однако если тогда это расслоение тривиально в гладкой категории ^[13]${\displaystyle Sl_{2}(k)=\{ad-bc=1\}\subseteq k^{4}}$${\displaystyle a{\tfrac {\partial }{\partial b}}+c{\tfrac {\partial }{\partial d}}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle Sl_{2}(k)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

LND полиномиальной алгебры [ править ]

Пусть - поле характеристики нуль (с помощью теоремы Камбаяши можно свести большинство результатов к случаю ^[14] ) и пусть - алгебра многочленов.${\displaystyle k}$${\displaystyle k=\mathbb {C} }$${\displaystyle A=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle n=2}$( -действия на аффинной плоскости) ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$[ править ]

Теорема Рентшлера

Каждый LND из может быть сопряжен с некоторыми . Этот результат тесно связан с тем , что каждый автоморфизм из аффинной плоскости является ручным , и не имеет места в более высоких измерениях. ^[15]${\displaystyle k[x_{1},x_{2}]}$${\displaystyle f(x_{1}){\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}}$${\displaystyle f(x_{1})\in k[x_{1}]}$

${\displaystyle n=3}$( -действия на аффинном 3-м пространстве) ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$[ править ]

Miyanishi «s теорема

Ядро любого нетривиального LND изоморфно кольцу многочленов от двух переменных; то есть множество неподвижных точек каждого нетривиального -действия на изоморфно . ^{[16] [17]}${\displaystyle A=k[x_{1},x_{2},x_{3}]}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$

Другими словами, для каждого существует такое, что (но, в отличие от случая , не обязательно является полиномиальным кольцом над ). В этом случае, является якобиан вывод: . ^[18]${\displaystyle 0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle f_{1},f_{2}\in A}$${\displaystyle \ker \partial =k[f_{1},f_{2}]}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial (f_{3})=\det[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}]_{i,j=1,2,3}}$

Теорема Зурковского

Предположим, что и является однородным относительно некоторой положительной градуировки таких, которые являются однородными. Потом по какой-то однородной . Более того, ^[18] если взаимно просты, то и взаимно просты. ^{[19] [3]}${\displaystyle n=3}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle \ker \partial =k[f,g]}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle \deg x_{1},\deg x_{2},\deg x_{3}}$${\displaystyle \deg f,\deg g}$

Теорема Бонне

Фактор морфизм из -действию является сюръективны . Другими словами, для каждого вложение индуцирует сюръективный морфизм . ^{[20] [10]}${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\to \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle 0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \ker \partial \subseteq A}$${\displaystyle \operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} \ker \partial }$

Это больше не верно , например, для изображения факторной карты по- действию (что соответствует LND, заданному равным .${\displaystyle n\geqslant 4}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}\to \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle t\cdot (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1},x_{2},x_{3}-tx_{2},x_{4}+tx_{1})}$${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{4}}}-x_{2}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}})}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus \{(x_{1},x_{2},x_{3}):x_{1}=x_{2}=0,x_{3}\neq 0\}}$

Теорема Калимана

Каждое действие on без неподвижной точки сопряжено сдвигу. Другими словами, каждое такое, что изображение порождает единичный идеал (или, что то же самое, определяет нигде не исчезающее векторное поле), допускает срез. Это ответ на одну из гипотез из списка Крафт . ^[10]${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \partial }$

Опять же, этот результат неверен для : ^[21] например, рассмотрим . Точки и находятся на одной орбите соответствующего действия тогда и только тогда, когда ; следовательно, (топологический) фактор не является даже хаусдорфовым, не говоря уже о гомеоморфном .${\displaystyle n\geqslant 4}$${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+x_{2}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}+(x_{2}^{2}-2x_{1}x_{3}-1){\tfrac {\partial }{\partial x_{4}}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}])}$${\displaystyle (x_{1},1,0,0)}$${\displaystyle (x_{1},-1,0,0)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle x_{1}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Теорема о главном идеале

Пусть . Тогда это точно плоско над . Кроме того, идеальный является основным в . ^[14]${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ker \partial }$${\displaystyle \ker \partial \cap \operatorname {im} \partial }$${\displaystyle A}$

Треугольные отводы [ править ]

Позвольте быть любой системой переменных ; то есть . Вывод называется треугольным по отношению к этой системе переменных, если и для . Деривация называется триангулируемой, если она сопряжена с треугольной или, что то же самое, если она треугольная относительно некоторой системы переменных. Всякое треугольное дифференцирование локально нильпотентно. Обратное верно для вышеупомянутой теоремы Рентшлера, но неверно для .${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A=k[f_{1},\dots ,f_{n}]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \partial f_{1}\in k}$${\displaystyle \partial f_{i}\in k[f_{1},\dots ,f_{i-1}]}$${\displaystyle i=2,\dots ,n}$${\displaystyle \leq 2}$${\displaystyle n\geq 3}$

Пример Басса

Вывод данного по не является триангулируемым. ^[22] Действительно, множество неподвижных точек соответствующего -действия является квадратичным конусом , в то время как по результату Попова ^[23] множество неподвижных точек триангулируемого -действия изоморфно некоторому аффинному многообразию ; и поэтому не может иметь изолированной особенности.${\displaystyle k[x_{1},x_{2},x_{3}]}$${\displaystyle x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+2x_{2}x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle x_{2}x_{3}=x_{2}^{2}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle Z\times \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle Z}$

Теорема Фройденбурга

Вышеупомянутое необходимое геометрическое условие было позже обобщено Фройденбургом. ^[24] Чтобы сформулировать его результат, нам понадобится следующее определение:

Коранг из является максимальное число такое , что существует система переменных , таких , что . Определите как минус коранг .${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}}$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{j}\in \ker \partial }$${\displaystyle \operatorname {rank} \partial }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \partial }$

У нас есть и тогда и только тогда, когда в каких-то координатах, в каких-то . ^[24]${\displaystyle 1\leq \operatorname {rank} \partial \leq n}$${\displaystyle \operatorname {rank} (\partial )=1}$${\displaystyle \partial =h{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}}$${\displaystyle h\in k[x_{1},\dots ,x_{n-1}]}$

Теорема: Если является триангулируемым, то любая гиперповерхность, содержащаяся в множестве неподвижных точек соответствующего -действия, изоморфна . ^[24]${\displaystyle \partial \in \operatorname {LND} (A)}$${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle Z\times \mathbb {A} ^{\operatorname {rank} \partial }}$

В частности, LND максимального ранга не могут быть триангулированы. Такие выводы действительно существуют : первый пример - это (2,5) -однородный вывод (см. Выше), и его можно легко обобщить для любого . ^[12]${\displaystyle n}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle n\geq 3}$

Инвариант Макара-Лиманова [ править ]

Пересечение ядер всех локально нильпотентных дифференцирований координатного кольца, или, что то же самое, кольца инвариантов всех -действий, называется «инвариантом Макара – Лиманова» и является важным алгебраическим инвариантом аффинного многообразия. Например, для аффинного пространства это тривиально; но для трехмерной кубики Koras-Рассела , который является диффеоморфен к , это не так . ^[25]${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Новицкий, четырнадцатая проблема Гильберта для полиномиальных выводов