Математическая ошибка

Эта статья содержит контент, который написан как реклама . Пожалуйста, помогите улучшить его , удалив рекламный контент и неприемлемые внешние ссылки , а также добавив энциклопедический контент, написанный с нейтральной точки зрения . ( Январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике некоторые виды ошибочных доказательств часто выставляются, а иногда и собираются в качестве иллюстраций концепции, называемой математической ошибкой . Существует различие между простой ошибкой и математической ошибкой в доказательстве в том, что ошибка в доказательстве приводит к недействительному доказательству, в то время как в наиболее известных примерах математических ошибок присутствует некоторый элемент сокрытия или обмана в представлении доказательство. ^[1]

Например, причина, по которой не действует достоверность, может быть отнесена к делению на ноль , которое скрыто алгебраической записью. Есть определенное качество математической ошибки: в том виде, в котором она обычно представлена, она приводит не только к абсурдному результату, но и делает это хитрым или хитрым способом. ^[2] Поэтому эти заблуждения по педагогическим причинам обычно принимают форму ложных доказательств очевидных противоречий . Хотя доказательства ошибочны, ошибки, как правило, преднамеренные, являются сравнительно малозаметными или предназначены для демонстрации того, что определенные шаги являются условными и неприменимы в случаях, которые являются исключениями из правил.

Традиционный способ представления математической ошибки состоит в том, чтобы дать неверный шаг вывода, смешанный с действительными шагами, так что значение ошибки здесь немного отличается от логической ошибки . Последнее обычно применяется к форме аргументации, которая не соответствует действующим правилам логического вывода, тогда как проблемный математический шаг обычно представляет собой правильное правило, применяемое с неявным неверным предположением. Помимо педагогики, решение о заблуждении может привести к более глубокому пониманию предмета (например, введение аксиомы паша в евклидовой геометрии , ^[3] теорема пятицветной из теории графов ). ПсевдарияДревняя утерянная книга ложных доказательств приписывается Евклиду . ^[4]

Математические ошибки существуют во многих областях математики. В элементарной алгебре типичные примеры могут включать этап, на котором выполняется деление на ноль , когда корень извлекается неправильно или, в более общем смысле, приравниваются разные значения многозначной функции . Хорошо известные заблуждения существуют также в элементарной евклидовой геометрии и исчислении . ^{[5] [6]}

Howlers [ править ]

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} \; \; \; {\ dfrac {d} {dx}} {\ dfrac {1} {x}} \\ = {\ dfrac {d} {d} } {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = {\ dfrac {d \! \! \! \ backslash} {d \! \! \! \ backslash}} {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \\ = - {\ dfrac {1} {x ^ {2}}} \ end {массив}}}$

Аномальная
отмена
в исчислении

Существуют примеры математически правильных результатов, полученных в результате неправильных рассуждений. Такой аргумент, каким бы верным он ни казался, математически неверен и обычно известен как вопль . ^[1] Ниже приводится пример ревуна, включающего аномальную отмену :

${\displaystyle {\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.}$

Здесь, хотя вывод 16/64 знак равно 1/4правильно, на среднем этапе происходит ошибочная, недействительная отмена. ^{[примечание 1]} Другой классический пример ревуна - доказательство теоремы Кэли – Гамильтона путем простой замены скалярных переменных характеристического многочлена на матрицу.

Поддельные доказательства, вычисления или выводы, построенные для получения правильного результата, несмотря на неправильную логику или операции, Максвелл назвал «воплями». ^[7] За пределами математики термин « ревун» имеет различные значения, как правило, менее конкретные.

Деление на ноль [ править ]

У ошибки деления на ноль есть много вариантов. В следующем примере используется замаскированное деление на ноль, чтобы «доказать», что 2 = 1, но его можно изменить, чтобы доказать, что любое число равно любому другому числу.

1. Пусть a и b равны, ненулевые величины

   ${\displaystyle a=b}$

2. Умножьте а

   ${\displaystyle a^{2}=ab}$

3. Вычтем b ²

   ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}}$

4. Разложите на множители обе стороны: левые множители как разность квадратов , правая множители путем извлечения b из обоих членов

   ${\displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)}$

5. Разделить ( а - б )

   ${\displaystyle a+b=b}$

6. Заметив, что a = b

   ${\displaystyle b+b=b}$

7. Объедините похожие термины слева

   ${\displaystyle 2b=b}$

8. Разделить на ненулевое b

   ${\displaystyle 2=1}$

QED ^[8]

Ошибка в строке 5: переход от строки 4 к строке 5 включает деление на a  -  b , которое равно нулю, поскольку a  =  b . Поскольку деление на ноль не определено, аргумент недопустим.

Анализ [ править ]

Математический анализ, как математическое исследование изменений и ограничений, может привести к математическим ошибкам, если игнорировать свойства интегралов и дифференциалов . Например, наивное использование интегрирования по частям может быть использовано для ложного доказательства того, что 0 = 1. ^[9] Положив u  = 1/журнал xи dv  = dx/Икс, мы можем написать:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx}$

после чего первообразные может быть отменена с получением 0 = 1. Проблема состоит в том, что первообразные определены только до более постоянной и сдвига их на 1 или действительно любое число допускается. Ошибка действительно обнаруживается, когда мы вводим произвольные пределы интегрирования a и b .

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx}$

Поскольку разница между двумя значениями постоянной функции равна нулю, по обе стороны уравнения появляется один и тот же определенный интеграл.

Многозначные функции [ править ]

Многие функции не имеют уникального обратного . Например, возведение числа в квадрат дает уникальное значение, но есть два возможных квадратных корня из положительного числа. Квадратный корень многозначен . Одно значение может быть выбрано условно как главное значение ; в случае квадратного корня неотрицательное значение является главным значением, но нет гарантии, что квадратный корень, заданный как главное значение квадрата числа, будет равен исходному числу (например, главный квадратный корень квадрата −2 равно 2). Это остается верным для корней n-й степени .

Положительные и отрицательные корни [ править ]

Необходимо соблюдать осторожность при извлечении квадратного корня из обеих частей равенства . Несоблюдение этого правила приводит к «доказательству» ^[10] 5 = 4.

Доказательство:

Начать с

${\displaystyle -20=-20}$

Напишите это как

${\displaystyle 25-45=16-36}$

Перепишите как

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$

Добавлять 81 год/4 с обеих сторон:

${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$

Это идеальные квадраты:

${\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}$

Извлеките квадратный корень из обеих частей:

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}$

Добавлять 9/2 с обеих сторон:

${\displaystyle 5=4}$

QED

Ошибка заключается в предпоследней строке, где берется квадратный корень из обеих сторон: a ²  =  b ² означает, что a  =  b, только если a и b имеют одинаковый знак, что здесь не так. В этом случае это означает, что a  = - b , поэтому уравнение должно читать

${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=-\left(4-{\frac {9}{2}}\right)}$

который, добавив 9/2 с обеих сторон правильно уменьшается до 5 = 5.

Другой пример, иллюстрирующий опасность извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения, включает следующее фундаментальное тождество ^[11]

${\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}$

которое выполняется как следствие теоремы Пифагора . Затем, извлекая квадратный корень,

${\displaystyle \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$

так что

${\displaystyle 1+\cos x=1+{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}.}$

Но оценивая это при x  =  π , мы получаем, что

${\displaystyle 1-1=1+{\sqrt {1-0}}}$

или же

${\displaystyle 0=2}$

что неверно.

Ошибка в каждом из этих примеров в основном заключается в том, что любое уравнение вида

${\displaystyle x^{2}=a^{2}}$

где , имеет два решения:${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle x=\pm a}$

и важно проверить, какое из этих решений имеет отношение к рассматриваемой проблеме. ^[12] В вышеупомянутой ошибке квадратный корень, который позволил вывести второе уравнение из первого, действителен только тогда, когда cos  x положителен. В частности, когда x установлен в π , второе уравнение становится недействительным.

Квадратные корни отрицательных чисел [ править ]

Недействительные доказательства, использующие силы и корни, часто бывают следующего вида:

${\displaystyle 1={\sqrt {1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=i\cdot i=-1.}$

Заблуждение состоит в том, что правило справедливо только в том случае, если оба значения и являются неотрицательными (при работе с действительными числами), что здесь не так. ^[13]${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

В качестве альтернативы мнимые корни запутываются в следующем:

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}=\left(-1\right)^{\frac {2}{4}}=\left(\left(-1\right)^{2}\right)^{\frac {1}{4}}=1^{\frac {1}{4}}=1}$

Ошибка здесь заключается в последнем равенстве, где мы игнорируем другие корни четвертой степени из 1 ^{[примечание 2],} которые являются -1, i и -i (где i - мнимая единица ). Поскольку мы возводили нашу фигуру в квадрат, а затем пустили корни, мы не всегда можем предположить, что все корни будут правильными. Таким образом, правильные корни четвертой степени - это i и - i , которые представляют собой мнимые числа, возведенные в квадрат до −1.

Сложные показатели [ править ]

Когда число возводится в комплексную степень, результат не определяется однозначно (см. Несостоятельность степеней и тождества логарифма ). Если это свойство не распознается, могут возникнуть следующие ошибки:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i}&=1\\\left(e^{2\pi i}\right)^{i}&=1^{i}\\e^{-2\pi }&=1\\\end{aligned}}}$

Ошибка здесь в том, что правило умножения показателей степени, как при переходе к третьей строке, не применяется без изменений с комплексными показателями, даже если при установке обеих сторон в степень i выбирается только главное значение. Когда они рассматриваются как многозначные функции , обе стороны производят один и тот же набор значений, равный { e ^{2 π n} | n ∈ ℤ} .

Геометрия [ править ]

Многие математические ошибки в геометрии возникают из-за использования аддитивного равенства, включающего ориентированные величины (например, добавление векторов вдоль заданной линии или добавление ориентированных углов на плоскости) к действительной идентичности, но которое фиксирует только абсолютное значение (одной из) этих величин . Затем эта величина включается в уравнение с неправильной ориентацией, чтобы сделать абсурдный вывод. Эта неправильная ориентация обычно подразумевается путем предоставления неточной схемы ситуации, в которой относительное положение точек или линий выбирается таким образом, который фактически невозможен в соответствии с гипотезами аргумента, но неочевидно.

В общем, такое заблуждение легко выявить, нарисовав точную картину ситуации, в которой некоторые относительные положения будут отличаться от тех, что указаны на представленной диаграмме. Чтобы избежать таких заблуждений, правильный геометрический аргумент с использованием сложения или вычитания расстояний или углов должен всегда доказывать, что величины включаются с их правильной ориентацией.

Ошибка равнобедренного треугольника [ править ]

Ошибочность равнобедренного треугольника, из ( Maxwell , 1959 , Глава II, § 1), имеет целью показать , что каждый треугольник является равнобедренным , а это означает , что две стороны треугольника конгруэнтны . Это заблуждение приписывают Льюису Кэрроллу . ^[14]

Для треугольника △ ABC докажите, что AB = AC:

1. Проведите линию, разделяющую ∠A пополам .
2. Нарисуйте серединный перпендикуляр к отрезку BC, который делит BC пополам в точке D.
3. Пусть эти две прямые пересекаются в точке O.
4. Проведите линию OR перпендикулярно AB, линию OQ перпендикулярно AC.
5. Нарисуйте линии OB и OC.
6. По AAS , RAO ≅ △ QAO (∠ORA = ∠OQA = 90 °; ∠RAO = ∠QAO; AO = AO (общая сторона)).
7. Согласно RHS , ^{[примечание 3]} △ ROB ≅ △ QOC (∠BRO = ∠CQO = 90 °; BO = OC (гипотенуза); RO = OQ (нога)).
8. Таким образом, AR = AQ, RB = QC и AB = AR + RB = AQ + QC = AC.

QED

Как следствие, можно показать, что все треугольники равносторонние, показав, что AB = BC и AC = BC таким же образом.

Ошибка доказательства состоит в предположении на диаграмме, что точка O находится внутри треугольника. Фактически, O всегда лежит в описанной окружности треугольника ABC (за исключением равнобедренных и равносторонних треугольников, в которых AO и OD совпадают). Более того, можно показать, что если AB длиннее, чем AC, то R будет лежать внутри AB, а Q будет лежать вне AC, и наоборот (фактически, любая диаграмма, нарисованная с помощью достаточно точных инструментов, подтвердит два вышеупомянутых факта. ). Из-за этого AB по-прежнему AR + RB, но AC на самом деле AQ - QC; и, следовательно, длины не обязательно одинаковы.

Доказательство по индукции [ править ]

Существует несколько ошибочных доказательств с помощью индукции, в которых один из компонентов, базисный случай или индуктивный шаг, неверен. Интуитивно, индукционные доказательства работают, утверждая, что если утверждение истинно в одном случае, оно истинно в следующем, и, следовательно, многократно применяя это утверждение, можно показать, что оно истинно для всех случаев. Следующее «доказательство» показывает, что все лошади одного цвета . ^{[15] [примечание 4]}

1. Предположим, что любая группа из N лошадей одного цвета.
2. Если мы удалим лошадь из группы, мы получим группу из N  - 1 лошадей одного цвета. Если мы добавим еще одну лошадь, у нас будет еще одна группа из N лошадей. По нашему предыдущему предположению, все лошади в этой новой группе одного цвета, поскольку это группа из N лошадей.
3. Таким образом, мы построили две группы из N лошадей одного цвета с N  - 1 общей лошадью. Поскольку у этих двух групп есть несколько общих лошадей, они должны быть одного цвета.
4. Таким образом, объединив всех используемых лошадей, мы получим группу из N  + 1 лошадей одного цвета.
5. Таким образом, если все N лошадей одного цвета, все N  + 1 лошадей одного цвета.
6. Это явно верно для N  = 1 (т.е. одна лошадь - это группа, в которой все лошади одного цвета). Таким образом, по индукции, N лошади имеют такой же цвет для любого натурального N . т.е. все лошади одного цвета.

Ошибка в этом доказательстве возникает в строке 3. При N  = 1 две группы лошадей имеют N  - 1 = 0 общих лошадей и, следовательно, не обязательно одного цвета, поэтому группа из N  + 1 = 2 лошади не обязательно должны быть одного цвета. Импликация «все N лошадей одного цвета, тогда N  + 1 лошадей одного цвета» работает для любого N  > 1, но не выполняется, когда N  = 1. Базовый случай верен, но шаг индукции имеет фундаментальный недостаток.

См. Также [ править ]

• Аномальная отмена  - арифметическая ошибка
• Деление на ноль  - результат деления действительного числа на ноль.
• Список неполных доказательств  - статья со списком Википедии
• Математическое совпадение  - совпадение в математике
• Парадокс  - утверждение, которое явно противоречит самому себе
• Доказательство запугиванием  - метод убедить кого-либо, используя жаргон или заявляя, что он ясен.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с недействительными доказательствами .

• Недействительные доказательства в Cut-the knot (включая литературные ссылки)
• Классические заблуждения с некоторым обсуждением
• Больше недействительных доказательств с AhaJokes.com
• Математические анекдоты с недействительным доказательством