Математическая морфология

Форма (синий) и ее морфологическое расширение (зеленый) и эрозия (желтый) ромбовидным структурирующим элементом.

Математическая морфология ( ММ ) является теория и методика анализа и обработки геометрических структур, основанный на теории множеств , решетки теории , топологии и случайных функций . ММ чаще всего применяется к цифровым изображениям , но его также можно использовать на графиках , поверхностных сетках , твердых телах и многих других пространственных структурах.

Топологические и геометрические концепции непрерывного пространства, такие как размер, форма , выпуклость , связность и геодезическое расстояние , были введены ММ как для непрерывных, так и для дискретных пространств . MM также является основой морфологической обработки изображений , которая состоит из набора операторов, которые преобразуют изображения в соответствии с вышеуказанными характеристиками.

Основные морфологические операторы - эрозия , расширение , открытие и закрытие .

Изначально MM был разработан для двоичных изображений , а затем был расширен до функций шкалы серого и изображений. Последующее обобщение на полные решетки сегодня широко принято в качестве теоретической основы ММ.

История [ править ]

Математическая морфология была разработана в 1964 году в результате совместной работы Жоржа Матерона и Жана Серры в Горной школе Парижа , Франция . Матерон руководил докторской диссертацией Серры, посвященной количественной оценке характеристик минералов по тонким поперечным сечениям , и эта работа привела к новому практическому подходу, а также к теоретическим достижениям в интегральной геометрии и топологии .

В 1968 году Центр морфологии математики был основан Горной школой Парижа в Фонтенбло , Франция, во главе с Матероном и Серрой.

В течение оставшейся части 1960-х и большей части 1970-х годов ММ в основном имела дело с двоичными изображениями , рассматриваемыми как наборы , и генерировала большое количество бинарных операторов и техник: преобразование типа « попадал или промах» , расширение , эрозия , открытие , закрытие , гранулометрия , истончение , скелетонизация , предельная эрозия , условная биссектриса и другие. Был также разработан случайный подход, основанный на новых моделях изображений. Большая часть работ того периода была разработана в Фонтенбло.

С середины 1970-х до середины 1980-х годов ММ также была распространена на функции оттенков серого и изображения . Помимо расширения основных понятий (таких как расширение, эрозия и т. Д.) На функции, это обобщение дало новые операторы, такие как морфологические градиенты , преобразование в виде цилиндра и водораздел (основной подход к сегментации MM ).

В 1980-х и 1990-х годах ММ получила более широкое признание, поскольку исследовательские центры в нескольких странах начали применять и исследовать этот метод. MM начал применяться к большому количеству задач и приложений визуализации.

В 1986 году Серра еще больше обобщил ММ, на этот раз до теоретической основы, основанной на полных решетках . Это обобщение внесло гибкость в теорию, сделав возможным ее применение к гораздо большему количеству структур, включая цветные изображения, видео, графики , сетки и т. Д. В то же время Матерон и Серра также сформулировали теорию морфологической фильтрации , основанную на новый решетчатый каркас.

В 1990-е и 2000-е годы также произошел дальнейший теоретический прогресс, в том числе концепции связей и выравнивания .

В 1993 году в Барселоне , Испания, прошел первый Международный симпозиум по математической морфологии (ISMM) . С тех пор ISMM организуются каждые 2–3 года: Фонтенбло , Франция (1994); Атланта , США (1996); Амстердам , Нидерланды (1998 г.); Пало-Альто , Калифорния , США (2000 г.); Сидней , Австралия (2002 г.); Париж , Франция (2005 г.); Рио-де-Жанейро , Бразилия (2007 г.); Гронинген ,Нидерланды (2009 г.); Интра ( Вербания ), Италия (2011 г.); Упсала , Швеция (2013 г.); Рейкьявик , Исландия (2015); и Фонтенбло , Франция (2017).

Ссылки [ править ]

• «Введение» Пьера Сойля, в ( Serra et al. (Eds.) 1994 ), стр. 1-4.
• «Приложение A:« Центр морфологии математики », обзор» Жана Серра, в ( Серра и др. (Ред.) 1994 ), стр. 369-374.
• «Предисловие» в ( Ronse et al. (Eds.) 2005 )

Бинарная морфология [ править ]

В двоичной морфологии, изображение рассматривается как подмножество из в евклидовом пространстве или целой сеткой , для некоторой размерности г .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$

Структурирующий элемент [ править ]

Основная идея бинарной морфологии состоит в том, чтобы исследовать изображение с помощью простой, заранее заданной формы, делая выводы о том, как эта форма соответствует или не соответствует формам на изображении. Этот простой «зонд» называется структурирующим элементом и сам по себе является двоичным изображением (т. Е. Подмножеством пространства или сетки).

Вот несколько примеров широко используемых элементов структурирования (обозначенных буквой B ):

• Пусть ; B - открытый диск радиуса r с центром в начале координат.${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {2}}$
• Пусть ; B - квадрат 3 × 3, то есть B = {(−1, −1), (−1, 0), (−1, 1), (0, −1), (0, 0), ( 0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}.${\ Displaystyle E = \ mathbb {Z} ^ {2}}$
• Пусть ; B - это «крест», задаваемый формулой B = {(−1, 0), (0, −1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)}.${\ Displaystyle E = \ mathbb {Z} ^ {2}}$

Основные операторы [ править ]

Основные операции - это инвариантные к сдвигу ( инвариантные к сдвигу ) операторы, сильно связанные со сложением Минковского .

Пусть E будет евклидово пространство или целое число сетки, и бинарное изображение в E .

Эрозия [ править ]

Эрозии бинарного изображения A с помощью структурного элемента B определяется

${\ Displaystyle A \ ominus B = \ {z \ in E | B_ {z} \ substeq A \},}$

где B _z - перенос B на вектор z , т. е. , .${\ displaystyle B_ {z} = \ {b + z \ mid b \ in B \}}$${\ displaystyle \ forall z \ in E}$

Когда структурирующий элемент B имеет центр (например, B представляет собой диск или квадрат), и этот центр расположен в начале E , тогда размывание A посредством B можно понимать как геометрическое место точек, достигаемых центром из B , когда B перемещается внутри A . Например, эрозия квадрата со стороной 10 с центром в начале координат диском с радиусом 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 6 с центром в начале координат.

Размывание A за счет B также дается выражением .${\ Displaystyle A \ ominus B = \ bigcap _ {b \ in B} A _ {- b}}$

Пример заявки: Предположим, мы получили факс с темной фотокопией. Все выглядит так, будто написано пером, которое кровоточит. Процесс эрозии позволит более толстым линиям стать тонкими и обнаружить дырку внутри буквы «о».

Расширение [ править ]

Дилатация из A с помощью структурного элемента B определяется

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}.}$

Расширение коммутативно, также определяется выражением .${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}}$

Если B имеет центр по происхождению, как и прежде, то расширение А с помощью B может быть понято как геометрическое место точек , охватываемых B , когда центр B движется внутри A . В приведенном выше примере расширение квадрата стороны 10 диском радиуса 2 представляет собой квадрат со стороной 14 с закругленными углами с центром в начале координат. Радиус закругленных углов - 2.

Дилатация также может быть получена , где B ^сек обозначает симметричные из B , то есть .${\displaystyle A\oplus B=\{z\in E\mid (B^{s})_{z}\cap A\neq \varnothing \}}$${\displaystyle B^{s}=\{x\in E\mid -x\in B\}}$

Пример применения: дилатация - это двойная операция эрозии. Фигуры, которые нарисованы очень слабо, при «расширении» становятся толстыми. Самый простой способ описать это - представить, что тот же факс / текст написан более толстым пером.

Открытие [ править ]

Отверстие из A с помощью B получают путем эрозии A по B , с последующим расширением получаемого изображения с помощью B :

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B.}$

Открытие также дается , что означает , что она представляет собой геометрическое место сдвигов структурного элемента B внутри изображения A . В случае квадрата стороны 10 и диска с радиусом 2 в качестве структурирующего элемента проем представляет собой квадрат со стороной 10 со скругленными углами, где радиус угла равен 2.${\displaystyle A\circ B=\bigcup _{B_{x}\subseteq A}B_{x}}$

Пример применения: предположим, что кто-то написал записку на не промокшей бумаге, и надпись выглядит так, будто на всем ее протяжении отрастают крошечные волосатые корни. Открытие по существу устраняет внешние крошечные "волосяные утечки" и восстанавливает текст. Побочный эффект в том, что он завершает все. Острые края начинают исчезать.

Закрытие [ править ]

Закрытия из A с помощью B получается дилатации A по B , с последующей эрозией полученной структуры путем B :

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B.}$

Закрывания также может быть получена , где Х ^с обозначает дополнение в X по отношению к E (то есть ). Сказанное означает , что закрытие является дополнением локуса сдвигов симметричного структурирующего элемента вне изображения A .${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$${\displaystyle X^{c}=\{x\in E\mid x\notin X\}}$

Свойства основных операторов [ править ]

Вот некоторые свойства основных бинарных морфологических операторов (расширение, эрозия, открытие и закрытие):

• Они инвариантны к переводу .
• Они растут , то есть если , то и т. Д.${\displaystyle A\subseteq C}$${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• Дилатация коммутативной : .${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$
• Если происхождение E принадлежит элементу структурирования B , то .${\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}$
• Дилатация ассоциативно , то есть . Тем более что эрозия удовлетворяет .${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$
• Эрозия и расширение удовлетворяют двойственность .${\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}}$
• Открытие и закрытие удовлетворяют двойственности .${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$
• Расширение распределительно по множеству union
• Эрозия распределяется по множеству пересечений.
• Расширение - это псевдообратное состояние эрозии, и наоборот, в следующем смысле: тогда и только тогда, когда .${\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)}$${\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}$
• Открытие и закрытие идемпотентны .
• Открытие является анти-обширно , то есть , в то время как закрытия обширны , т.е. .${\displaystyle A\circ B\subseteq A}$${\displaystyle A\subseteq A\bullet B}$

Другие операторы и инструменты [ править ]

• Преобразование попадания или промаха
• Преобразование обрезки
• Морфологический скелет
• Фильтрация по реконструкции
• Конечные эрозии и условные биссектрисы
• Гранулометрия
• Функции геодезического расстояния

Морфология оттенков серого [ править ]

В оттенках серого морфологии, изображения функции отображения а евклидово пространство или сетки Е в , где есть множество действительных чисел , является элементом больше , чем любое действительное число, и является элементом меньше любого действительного числа.${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$

Структурирующие элементы в градациях серого также являются функциями того же формата, называемыми «функциями структурирования».

Обозначая изображение через f ( x ), а функцию структурирования через b ( x ), расширение f в градациях серого через b определяется выражением

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{y\in E}[f(y)+b(x-y)],}$

где «sup» обозначает верхнюю грань .

Точно так же эрозия f на b дается формулой

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{y\in E}[f(y)-b(y-x)],}$

где «inf» обозначает нижнюю грань .

Как и в бинарной морфологии, открытие и закрытие задаются соответственно

${\displaystyle f\circ b=(f\ominus b)\oplus b,}$

${\displaystyle f\bullet b=(f\oplus b)\ominus b.}$

Функции плоского структурирования [ править ]

Плоские структурирующие элементы широко используются в морфологических приложениях. Функции плоского структурирования - это функции b ( x ) в форме

${\displaystyle b(x)={\begin{cases}0,&x\in B,\\-\infty &{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

где .${\displaystyle B\subseteq E}$

В этом случае расширение и эрозия значительно упрощены и соответственно задаются формулой

${\displaystyle (f\oplus b)(x)=\sup _{z\in B^{s}}f(x+z),}$

${\displaystyle (f\ominus b)(x)=\inf _{z\in B}f(x+z).}$

В ограниченном дискретном случае ( E - сетка, а B ограничена) операторы супремума и инфимума могут быть заменены на максимальные и минимальные . Таким образом, расширение и эрозия являются частные случаи статистики порядка фильтров, при дилатации возвращающего значения максимального в пределах окна двигающегося (симметричный опорной функция структурирования B ), а также эрозия возвращении минимального значения в пределах скользящего окна B .

В случае плоского структурирующего элемента морфологические операторы зависят только от относительного упорядочения значений пикселей , независимо от их числовых значений, и поэтому особенно подходят для обработки двоичных изображений и изображений в градациях серого , функция передачи света которых неизвестна.

Другие операторы и инструменты [ править ]

• Морфологические градиенты
• Преобразование в цилиндре
• Алгоритм водораздела

Путь объединения этих операторов можно получить алгоритмы для многих задач обработки изображений, таких как обнаружение признака , сегментации изображения , резкости изображения , фильтрации изображений и классификация . Вдоль этой линии следует также изучить непрерывную морфологию ^[1]

Математическая морфология на полных решетках [ править ]

Полные решетки - это частично упорядоченные множества , где каждое подмножество имеет точную нижнюю грань и верхнюю грань . В частности, он содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также обозначаемый «вселенная»).

Приросты (расширение и эрозия) [ править ]

Позвольте быть полной решеткой, с точной гранью и супремумом, обозначенными и , соответственно. Его вселенная и наименьший элемент обозначены буквами U и соответственно. Кроме того, пусть будет совокупность элементов из L .${\displaystyle (L,\leq )}$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle \{X_{i}\}}$

Расширение - это любой оператор, который распределяет по супремуму и сохраняет наименьший элемент. Т.е.:${\displaystyle \delta \colon L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigvee _{i}\delta (X_{i})=\delta \left(\bigvee _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \delta (\emptyset )=\emptyset }$.

Эрозия - это любой оператор, который распределяет по инфимуму и сохраняет вселенную. Т.е.:${\displaystyle \varepsilon \colon L\rightarrow L}$

• ${\displaystyle \bigwedge _{i}\varepsilon (X_{i})=\varepsilon \left(\bigwedge _{i}X_{i}\right)}$,
• ${\displaystyle \varepsilon (U)=U}$.

Расширения и эрозии образуют связи Галуа . То есть для каждого расширения существует одна и только одна эрозия , удовлетворяющая${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle X\leq \varepsilon (Y)\Leftrightarrow \delta (X)\leq Y}$

для всех .${\displaystyle X,Y\in L}$

Точно так же для каждой эрозии существует одно и только одно расширение, удовлетворяющее вышеуказанной связи.

Кроме того, если два оператора удовлетворяют соединению, тогда должно быть расширение и эрозия.${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$

Пары эрозий и расширений, удовлетворяющие вышеуказанной связи, называются «присоединениями», а эрозия называется сопутствующей эрозией расширения, и наоборот.

Открытие и закрытие [ править ]

Для каждого присоединения морфологическое открытие и морфологическое закрытие определяются следующим образом:${\displaystyle (\varepsilon ,\delta )}$${\displaystyle \gamma \colon L\to L}$${\displaystyle \phi \colon L\to L}$

${\displaystyle \gamma =\delta \varepsilon ,}$

${\displaystyle \phi =\varepsilon \delta .}$

Морфологическое открытие и закрытие - частные случаи алгебраического открытия (или просто открытия) и алгебраического закрытия (или просто закрытия). Алгебраические открытия - это идемпотентные, возрастающие и антиэкстенсивные операторы в L. Алгебраические замыкания - это идемпотентные, возрастающие и экстенсивные операторы в L.

Частные случаи [ править ]

Бинарная морфология - это частный случай морфологии решетки, где L - это набор степеней E (евклидово пространство или сетка), то есть L - это множество всех подмножеств E и является включением множества . В этом случае нижняя грань устанавливается пересечением , а верхняя грань устанавливается объединением .${\displaystyle \leq }$

Точно так же, полутоновая морфология является еще одним частным случаем, где L представляет собой набор функций , отображающие Е в , и , и , является точка-накрест порядка, супремум и инфимума, соответственно. То есть, is f и g - функции в L , тогда и только тогда, когда ; нижняя грань дается ; и супремум дается .${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x),\forall x\in E}$${\displaystyle f\wedge g}$${\displaystyle (f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)}$${\displaystyle f\vee g}$${\displaystyle (f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)}$

См. Также [ править ]

• Преобразование H-максимума

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Анализ изображений и математическая морфология Жан Серра, ISBN  0-12-637240-3 (1982)
• Анализ изображений и математическая морфология, том 2: теоретические достижения Жана Серра, ISBN 0-12-637241-1 (1988) 
• Введение в обработку морфологических изображений Эдварда Р. Догерти, ISBN 0-8194-0845-X (1992) 
• Морфологический анализ изображений; Принципы и приложения Пьера Сойля, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2-е издание (2003) 
• Математическая морфология и ее приложение к обработке сигналов , J. Serra и Ph. Salembier (Eds.), Труды 1-го Международного семинара по математической морфологии и ее приложениям к обработке сигналов (ISMM'93), ISBN 84-7653-271-7 (1993) 
• Математическая морфология и ее приложения к обработке изображений , J. Serra и P. Soille (Eds.), Труды 2-го международного симпозиума по математической морфологии (ISMM'94), ISBN 0-7923-3093-5 (1994) 
• Математическая морфология и ее приложения к обработке изображений и сигналов , Henk JAM Heijmans и Jos BTM Roerdink (Eds.), Труды 4-го международного симпозиума по математической морфологии (ISMM'98), ISBN 0-7923-5133-9 (1998) 
• Математическая морфология: 40 лет спустя , Кристиан Ронс, Лоран Найман и Этьен Десенсьер (ред.), ISBN 1-4020-3442-3 (2005) 
• Математическая морфология и ее приложения к обработке сигналов и изображений , Джеральд Дж. Ф. Бэнон, Джуниор Баррера, Улисс М. Брага-Нето (ред.), Труды 8-го международного симпозиума по математической морфологии (ISMM'07), ISBN 978-85-17 -00032-4 (2007) 
• Математическая морфология: от теории к приложениям , Лоран Наджман и Хьюг Талбот (ред.). ISTE-Wiley. ISBN 978-1-84821-215-2 . (520 стр.) Июнь 2010 г. 

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-курс по математической морфологии Жана Серра (на английском, французском и испанском языках)
• Центр математической морфологии Парижской горной школы
• История математической морфологии , Жорж Матерон и Жан Серра
• Morphology Digest, информационный бюллетень по математической морфологии Пьера Сойля.
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекции 16-18 посвящены математической морфологии Алана Петерса.
• Математическая морфология; из лекций по компьютерному зрению Робин Оуэнс
• Бесплатная оптимизированная библиотека обработки изображений SIMD
• Демонстрация Java-апплета
• ФИЛЬТРЫ: бесплатная библиотека обработки изображений с открытым исходным кодом
• Быстрые морфологические эрозии, расширения, открытия и закрытия
• Морфологический анализ нейронов с помощью Matlab