Расширение (обычно обозначается знаком ⊕ ) - одна из основных операций в математической морфологии . Первоначально разработанный для двоичных изображений , он был расширен сначала до изображений в градациях серого , а затем до полных решеток . Операция расширения обычно использует элемент структурирования для исследования и расширения форм, содержащихся во входном изображении.
Бинарное расширение
В бинарной морфологии дилатация - это инвариантный к сдвигу ( инвариант сдвига ) оператор, эквивалентный сложению Минковского .
Двоичное изображение рассматривается в математической морфологии как подмножество из в евклидовом пространстве R D или целое число сетки Z D , для некоторой размерности г . Пусть E - евклидово пространство или целочисленная сетка, A - двоичное изображение в E , а B - элемент структурирования, рассматриваемый как подмножество R d .
Расширение A на B определяется формулой
где A b перевод A на b .
Расширение коммутативно, также определяется выражением .
Если B имеет центр на нуле, то расширение А с помощью B может быть понято как геометрическое место точек , охватываемых B , когда центр B движется внутри A . Расширение квадрата размера 10 с центром в начале координат диском радиуса 2, также центрированным в начале координат, представляет собой квадрат со стороной 14 и закругленными углами с центром в начале координат. Радиус закругленных углов - 2.
Расширение также можно получить с помощью , Где B сек обозначает симметричные из B , то есть,.
Пример
Предположим, что A - это следующая матрица 11 x 11, а B - следующая матрица 3 x 3:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Для каждого пикселя в A, имеющего значение 1, наложите B, чтобы центр B был выровнен с соответствующим пикселем в A.
Каждый пиксель каждого наложенного B включен в расширение A на B.
Расширение A на B задается этой матрицей 11 x 11.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
Свойства бинарной дилатации
Вот некоторые свойства бинарного оператора растяжения
- Он инвариантен к переводу .
- Он увеличивается , то есть если, тогда .
- Он коммутативен .
- Если происхождение E принадлежит структурирующему элементу B , то оно обширное , т. Е..
- Он ассоциативен , т. Е..
- Это дистрибутивный над множественным объединением
Расширение оттенков серого
В морфологии оттенков серого изображения - это функции, отображающие евклидово пространство или сетку E в, где это набор действительных чисел , является элементом, большим, чем любое действительное число, и является элементом, меньшим, чем любое действительное число.
Элементы структурирования шкалы серого также являются функциями того же формата, называемыми «функциями структурирования».
Обозначая изображение через f ( x ), а функцию структурирования через b ( x ), расширение f в градациях серого через b определяется выражением
где «sup» обозначает верхнюю грань .
Функции плоского структурирования
Плоские структурирующие элементы широко используются в морфологических приложениях. Функции плоского структурирования - это функции b ( x ) в форме
где .
В этом случае расширение значительно упрощается и определяется выражением
(Предположим, что x = ( px , qx ), z = ( pz , qz ), тогда x - z = ( px - pz , qx - qz ).)
В ограниченном дискретном случае ( E - сетка, а B ограничена) оператор супремума можно заменить на максимум . Таким образом, расширение является частным случаем фильтров статистики порядка , возвращающих максимальное значение в пределах движущегося окна (симметрично поддержке функции структурирования B ).
Расширение на полных решетках
Полные решетки - это частично упорядоченные множества , в которых каждое подмножество имеет точную нижнюю грань и верхнюю грань . В частности, он содержит наименьший элемент и наибольший элемент (также обозначаемый «вселенная»).
Позволять - полная решетка, нижняя и верхняя грань которой символизируются а также , соответственно. Его вселенная и наименьший элемент обозначены буквами U и, соответственно. Кроме того, пустьбыть коллекцией элементов из L .
Расширение - это любой оператор который распределяется по супремуму и сохраняет наименьший элемент. То есть верно следующее: