Теорема Сильвермана – Теплица.

В математике , то теорема Silverman-Теплица , впервые доказала Отто Теплица , является результатом в теории суммирования , характеризующая матрица методы суммирования , которые являются регулярными. Метод суммирования регулярных матриц - это матричное преобразование сходящейся последовательности, сохраняющее предел . ^[1]

Бесконечная матрица с комплексными значными записями определяет регулярный метод суммирования рядов , если и только если он удовлетворяет все следующие свойства:${\displaystyle (a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} &&{\text{(Every column sequence converges to 0.)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j}=1&&{\text{(The row sums converge to 1.)}}\\[3pt]&\sup _{i}\sum _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j}\vert <\infty &&{\text{(The absolute row sums are bounded.)}}\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что второе условие подразумевает третье. Примером является суммирование по Чезаро , метод суммирования матриц с

${\displaystyle a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{pmatrix}},}$

использованная литература

Цитаты

дальнейшее чтение

• Теплиц, Отто (1911) " Über allgemeine lineare Mittelbildungen. " Prace mat.-fiz. , 22 , 113–118 (оригинал статьи на немецком языке )
• Сильверман, Луи Лазарус (1913) "Об определении суммы расходящегося ряда". Университет Миссури исследований, математика. Серия I, 1–96
• Харди, GH (1949), расходящиеся серии , Оксфорд: Clarendon Press, 43-48.
• Боос, Иоганн (2000). Классические и современные методы суммирования . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 019850165X.