Чезаро суммирование

В математическом анализе , Чезаро суммирование (также известное как среднее Чезаро ^[1]^[2] ) присваивает значения некоторых бесконечных сумм , которые не обязательно сходящиеся в обычном смысле. Сумма Чезаро определяется как предел, когда n стремится к бесконечности, последовательности средних арифметических первых n частичных сумм ряда.

Этот частный случай метода суммирования матриц назван в честь итальянского аналитика Эрнесто Чезаро (1859–1906).

Термин « суммирование» может вводить в заблуждение, поскольку можно сказать, что некоторые утверждения и доказательства, касающиеся суммирования Чезаро, подразумевают мошенничество Эйленберга – Мазура . Например, его обычно применяют к ряду Гранди с выводом, что сумма этого ряда равна 1/2.

Определение

Позволять ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$ быть последовательность , и пусть

{\ displaystyle s_ {k} = a_ {1} + \ cdots + a_ {k} = \ sum _ {n = 1} ^ {k} a_ {n}}

- его $k-$ я частичная сумма .

Последовательность $(a n)$ называется суммируемой по Чезаро с суммой Чезаро $A \in ℝ$ , если при стремлении $n$ к бесконечности среднее арифметическое ее первых n частичных сумм $s 1, s 2, ..., s n$ стремится к $A$ :

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} s_ {k} = A.}

Величина полученного предела называется суммой Чезаро ряда ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}.}$ Если этот ряд сходится, то он суммируемый по Чезаро и его сумма Чезаро является обычной суммой.

Примеры

Первый пример

Пусть $a n = (-1) n$ для $n \geq 0$ . Это, ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п = 0} ^ {\ infty}}$ это последовательность

{\ displaystyle (1, -1,1, -1, \ ldots).}

Обозначим через $G$ ряд

{\ displaystyle G = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = 1-1 + 1-1 + 1- \ cdots}

Серия $G$ известна как серия Гранди .

Позволять ${\ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 0} ^ {\ infty}}$ обозначим последовательность частичных сумм $G$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {k} & = \ sum _ {n = 0} ^ {k} a_ {n} \\ (s_ {k}) & = (1,0,1,0, \ ldots). \ end {выравнивается}}}

Эта последовательность частичных сумм не сходится, поэтому ряд $G$ расходится. Тем не менее, $G$ является Чезаро суммирует. Позволять ${\ Displaystyle (т_ {п}) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$ - последовательность средних арифметических первых $n$ частичных сумм:

{\ displaystyle {\ begin {align} t_ {n} & = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} s_ {k} \\ (t_ {n} ) & = \ left ({\ frac {1} {1}}, {\ frac {1} {2}}, {\ frac {2} {3}}, {\ frac {2} {4}}, {\ frac {3} {5}}, {\ frac {3} {6}}, {\ frac {4} {7}}, {\ frac {4} {8}}, \ ldots \ right). \ конец {выровнено}}}

Затем

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} t_ {n} = 1/2,}

следовательно, сумма Чезаро ряда $G$ равна $1/2$ .

Второй пример

В качестве другого примера, пусть $a n = n$ для $n \geq 1$ . Это, ${\ Displaystyle (а_ {п}) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$ это последовательность

{\ displaystyle (1,2,3,4, \ ldots).}

Обозначим теперь через $G$ ряд

{\ displaystyle G = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = 1 + 2 + 3 + 4 + \ cdots}

Тогда последовательность частичных сумм ${\ displaystyle (s_ {k}) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$ является

{\ displaystyle (1,3,6,10, \ ldots).}

Поскольку последовательность частичных сумм неограниченно растет, ряд $G$ расходится до бесконечности. Последовательность $(t n)$ средних частных сумм группы G равна

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {1}}, {\ frac {4} {2}}, {\ frac {10} {3}}, {\ frac {20} {4}}, \ ldots \ right).}

Эта последовательность расходится до бесконечности, так что $G$ является не Чезаро суммирует. Фактически, для любой последовательности, расходящейся до бесконечности (положительной или отрицательной), метод Чезаро также приводит к последовательности, которая расходится аналогичным образом, и, следовательно, такой ряд не суммируется по Чезаро.

$(C, α)$ суммирование

В 1890 году Эрнесто Чезаро сформулировал более широкое семейство методов суммирования, которые с тех пор называются $(C, α)$ для неотрицательных целых чисел $α$ . Метод $(C, 0)$ - это обычное суммирование, а $(C, 1)$ - это суммирование Чезаро, как описано выше.

Методы высшего порядка можно описать следующим образом: для ряда $\sum a n$ определить величины

{\ displaystyle {\ begin {align} A_ {n} ^ {- 1} & = a_ {n} \\ A_ {n} ^ {\ alpha} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} A_ {к} ^ {\ альфа -1} \ конец {выровнено}}}

(где верхние индексы не обозначают показатели) и определим $E α n$ быть $А α n$ для серии 1 + 0 + 0 + 0 +… . Тогда $(С, α)$ сумма $Е п$ обозначается через $(C, α) -Σ н$ и имеет значение

{\ displaystyle (\ mathrm {C}, \ alpha) {\ text {-}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ гидроразрыв {A_ {n} ^ {\ alpha}} {E_ {n} ^ {\ alpha}}}}

если он существует ( Shawyer & Watson 1994 , стр. 16-17). Это описание представляет собой повторенное $α-$ кратное применение метода начального суммирования и может быть переформулировано как

{\ displaystyle (\ mathrm {C}, \ alpha) {\ text {-}} \ sum _ {j = 0} ^ {\ infty} a_ {j} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ frac {\ binom {n} {j}} {\ binom {n + \ alpha} {j}}} a_ {j}.}

В более общем случае, если $α ∈ ℝ \ ℤ -$ , пусть $A α n$ неявно задаваться коэффициентами ряда

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} A_ {n} ^ {\ alpha} x ^ {n} = {\ frac {\ displaystyle {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } a_ {n} x ^ {n}}} {(1-x) ^ {1+ \ alpha}}},}

и $E α n$ как указано выше. В частности, $E α n$ - биномиальные коэффициенты степени $-1 - α$ . Тогда $(C, α)$ сумма $\sum a n$ определяется, как указано выше.

Если $\sum a n$ имеет $(C, α)$ сумму, то она также имеет $(C, β)$ сумму для любого $β > α$ , и суммы согласованы; Кроме того , мы имеем $в п = уплотнительное (п & alpha; )$ , если $α > -1$ (см мало- $о$ нотации ).

Суммируемость интеграла по Чезаро

Пусть $α \geq 0$ . интеграл ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$ является $(C, α)$ суммируемым, если

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (х) \, dx}

существует и конечно ( Titchmarsh 1948 , §1.15) . Значение этого предела, если оно существует, представляет собой $(C,$ $α$ $)$ сумму интеграла. Аналогично случаю суммы ряда, если $α$ $= 0$ , результатом является сходимость несобственного интеграла . В случае $& alpha$ $; = 1$ , $(С, 1)$ сходимость эквивалентна существованию предела

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} {\ frac {1} {\ lambda}} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ int _ {0} ^ {x} f (y) \, dy \, dx}

что является пределом средних частных интегралов.

Как и в случае с рядами, если интеграл суммируем $(C, α)$ для некоторого значения $α \geq 0$ , то он также суммируется $(C, β)$ для всех $β > α$ , а значение результирующего предела равно такой же.

См. Также

Ссылки

^ Харди, GH (1992). Расходящиеся серии . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2649-2.
^ Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.

Шоуер, Брюс; Уотсон, Брюс (1994), Борелевские методы суммирования: теория и приложения , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
Титчмарш, EC (1986) [1948], Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0324-5
Волков, И.И. (2001) [1994], "Методы суммирования Чезаро" , Энциклопедия математики , EMS Press
Зигмунд, Антони (1988) [1968], Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9

[Hardy-1] Харди, GH (1992). Расходящиеся серии . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2649-2.

[Katznelson-2] Кацнельсон, Ицхак (1976). Введение в гармонический анализ . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63331-2.

[1]