Ядро Мелера

Mehler ядро является комплексная функция установлено, что распространитель от квантового гармонического осциллятора .

Формула Мелера [ править ]

Мелер ( 1866 ) определил функцию ^[1]

${\ displaystyle E (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ rho ^ {2}}}} \ exp \ left (- {\ frac {\ rho ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 2 \ rho xy} {(1- \ rho ^ {2})}} \ right) ~,}$

и показал в модернизированных обозначениях ^[2], что его можно разложить в терминах многочленов Эрмита $H$ (.) на основе весовой функции exp (- $x$ ²) как

{\ displaystyle E (x, y) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ rho / 2) ^ {n}} {n!}} ~ {\ mathit {H} } _ {n} (x) {\ mathit {H}} _ {n} (y) ~.}

Этот результат в модифицированной форме полезен в квантовой физике, теории вероятностей и гармоническом анализе.

Физическая версия [ править ]

В физике фундаментальное решение ( функция Грина ) или пропагатор гамильтониана для квантового гармонического осциллятора называется ядром Мелера . Он обеспечивает фундаментальное решение --- наиболее общее решение ^[3] $φ (x, t)$ для

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial x ^ {2}}} - x ^ {2} \ varphi \ Equiv D_ {x} \ varphi ~.}

Ортонормированные собственные функции оператора $D$ - это функции Эрмита ,

\psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},

с соответствующими собственными значениями (2 $n$ +1), дающими частные решения

\varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)\exp(-x^{2}/2)~.

В таком случае общее решение представляет собой их линейную комбинацию; при подгонке к начальному условию $φ (x, 0)$ общее решение сводится к

\varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,

где ядро $K$ имеет сепарабельное представление

K(x,y;t)\equiv \sum _{n\geq 0}{\frac {e^{-(2n+1)t}}{{\sqrt {\pi }}2^{n}n!}}~H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)~.

Используя формулу Мелера, получаем

\displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp(-(x^{2}+y^{2})/2)={1 \over {\sqrt {(1-\rho ^{2})}}}\exp {4xy\rho -(1+\rho ^{2})(x^{2}+y^{2}) \over 2(1-\rho ^{2})}}~.

Подставив это в выражение для $K$ со значением exp (−2 $t$ ) для $ρ$ , ядро Мелера окончательно прочитает

$K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sinh(2t)}}}~\exp {\Bigl (}-\coth(2t)~(x^{2}+y^{2})/2+{\text{cosech}}(2t)~xy{\Bigr )}.$

Когда $t$ = 0, переменные $x$ и $y$ совпадают, в результате получается предельная формула, необходимая для начального условия

K(x,y;0)=\delta (x-y)~.

В качестве фундаментального решения ядро является аддитивным,

\int dyK(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t+t')~.

Это дополнительно связано с симплектической структурой вращения ядра $K$ . ^[4]

Версия вероятности [ править ]

Результат Мелера также можно связать с вероятностью. Для этого переменные должны быть перемасштабированы как $x \to x / \sqrt 2$ , $y \to y / \sqrt 2$ , чтобы перейти от «физических» многочленов Эрмита $H$ (.) (С весовой функцией exp (- $x$ ²)) к "вероятностные" многочлены Эрмита $He$ (.) (с весовой функцией exp (- $x$ ² / 2)). Тогда $E$ становится

{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.

Левая часть здесь p (x, y) / p (x) p (y), где p (x, y) - двумерная гауссова функция плотности вероятности для переменных $x, y,$ имеющих нулевые средние и единичные дисперсии:

p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,

и $p (x), p (y)$ - соответствующие плотности вероятности $x$ и $y$ (оба стандартные нормальные).

Далее следует обычно цитируемая форма результата (Kibble 1945) ^[5]

p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~{\mathit {He}}_{n}(x){\mathit {He}}_{n}(y)~.

Это разложение легче всего получить, используя двумерное преобразование Фурье функции $p (x, y)$ , которое имеет вид

c(iu_{1},iu_{2})=\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2})/2)~.

Это может быть расширено как

\exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.

Обратное преобразование Фурье немедленно дает приведенную выше формулу разложения.

Этот результат может быть распространен на многомерный случай (Kibble 1945, Slepian 1972, ^[6] Hörmander 1985 ^[7] ).

Дробное преобразование Фурье [ править ]

Поскольку функции Эрмита $ψ n$ являются ортонормированными собственными функциями преобразования Фурье ,

{\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=(-i)^{n}\psi _{n}(y)~,

в гармоническом анализе и обработке сигналов они диагонализируют оператор Фурье,

{\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.

Таким образом, непрерывное обобщение для действительного угла $α$ может быть легко определено ( Wiener , 1929; ^[8] Condon , 1937 ^[9] ) дробным преобразованием Фурье (FrFT) с ядром

{\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.

Это непрерывное семейство линейных преобразований, обобщающих преобразование Фурье , такое, что при $α = π / 2$ оно сводится к стандартному преобразованию Фурье, а при $α = - π / 2 -$ к обратному преобразованию Фурье.

Таким образом, формула Мелера для $ρ$ = exp (−i $α$ ) непосредственно дает

{\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{i{\frac {\cot(\alpha )}{2}}y^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )~yx-{\frac {\cot(\alpha )}{2}}x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x~.

Квадратный корень определяется таким образом, что аргумент результата лежит в интервале [- π / 2, π / 2].

Если $α$ является целым кратным $π$ , то указанные выше функции котангенса и косеканса расходятся. В пределе ядро переходит в дельта-функцию Дирака в подынтегральном выражении, $δ (x - y)$ или $δ (x + y)$ , для $α$ , четного или нечетного кратного $π$ , соответственно. Поскольку [ $f$ ] = $f$ (- $x$ ), [ $f$ ] должно быть просто $f$ $($ $x$ $)$ или $f$ $(-$ $x$ $)$ для ${\mathcal {F}}^{2}$ ${\mathcal {F}}_{\alpha }$ $α$ четное или нечетное кратное $π$ соответственно.

См. Также [ править ]

Представление осциллятора # Гармонический осциллятор и функции Эрмита
Тепловое ядро
Полиномы Эрмита
Функции параболического цилиндра
Многочлен Лагерра # формула Харди-Хилле

Ссылки [ править ]

^ Mehler, FG (1866), "Ueber умереть Entwicklung етег Функция фон beliebig Vielen Variabeln Laplaceschen Functionen нах höherer Ordnung" , Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ) (66): 161-176, ISSN 0075-4102 , ERAM 066.1720cj (см. стр. 174, уравнение (18) и стр. 173, уравнение (13))
^ Erdélyi, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции. Vol. II , Макгроу-Хилл( скан : стр.194 10,13 (22) )
^ Паули, В. , Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 ; См. Раздел 44.
^ Квадратичная форма в показателе, вплоть до коэффициента -1/2, включаетсебя простейший (унимодулярную, симметричный) симплектическую матрицу в Sp (2, ℝ). То есть,
$(x,y){\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}}~,~$ где
${\mathbf {M} }\equiv {\text{cosech}}(2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)&-1\\-1&\cosh(2t)\end{pmatrix}}~,$
поэтому он сохраняет симплектическую метрику,
${\mathbf {M} }^{\text{T}}~{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~{\mathbf {M} }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~.$
^ Киббл, WF (1945), "Расширение теоремы Мелера о многочленах Эрмита", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 41 : 12-15, DOI : 10,1017 / S0305004100022313 , МР 0012728
^ Слепиан, Дэвид (1972), "О симметризованном Кронекере степени матрицы и расширений формулы Mehler для полиномов Эрмита", SIAM журнал по математическому анализу , 3 (4): 606-616, DOI : 10,1137 / 0503060 , ISSN 0036 -1410 , Руководство по ремонту 0315173
^ Хермандер Lars (1995). «Симплектическая классификация квадратичных форм и общие формулы Мелера». Mathematische Zeitschrift . 219 : 413–449. DOI : 10.1007 / BF02572374 .
^ Винер , N (1929), "Эрмитовы многочлены и анализ Фурье", журнал математики и физики 8 : 70–73.
^ Кондон, ЕС (1937). «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Тр. Natl. Акад. Sci. USA 23 , 158–164. онлайн

Николь Берлин, Эзра Гетцлер и Мишель Вернь (2013). Тепловые ядра и операторы Дирака , (Springer: Grundlehren Text Editions) ISBN в мягкой обложке 3540200622
Louck, JD (1981). «Расширение формулы Киббла-Слепяна для полиномов Эрмита с использованием методов бозонных операторов». Успехи в прикладной математике . 2 (3): 239–249. DOI : 10.1016 / 0196-8858 (81) 90005-1 .
HM Srivastava и JP Singhal (1972). «Некоторые расширения формулы Мелера», Proc. Амер. Математика. Soc. 31 : 135–141. ( онлайн )

[1] Mehler, FG (1866), "Ueber умереть Entwicklung етег Функция фон beliebig Vielen Variabeln Laplaceschen Functionen нах höherer Ordnung" , Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ) (66): 161-176, ISSN 0075-4102 , ERAM 066.1720cj (см. стр. 174, уравнение (18) и стр. 173, уравнение (13))

[2] Erdélyi, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции. Vol. II , Макгроу-Хилл( скан : стр.194 10,13 (22) )

[3] Паули, В. , Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620 ; См. Раздел 44.

[4] Квадратичная форма в показателе, вплоть до коэффициента -1/2, включаетсебя простейший (унимодулярную, симметричный) симплектическую матрицу в Sp (2, ℝ). То есть,
$(x,y){\mathbf {M} }{\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}}~,~$ где
${\mathbf {M} }\equiv {\text{cosech}}(2t){\begin{pmatrix}\cosh(2t)&-1\\-1&\cosh(2t)\end{pmatrix}}~,$
поэтому он сохраняет симплектическую метрику,
${\mathbf {M} }^{\text{T}}~{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~{\mathbf {M} }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}~.$

[5] Киббл, WF (1945), "Расширение теоремы Мелера о многочленах Эрмита", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 41 : 12-15, DOI : 10,1017 / S0305004100022313 , МР 0012728

[6] Слепиан, Дэвид (1972), "О симметризованном Кронекере степени матрицы и расширений формулы Mehler для полиномов Эрмита", SIAM журнал по математическому анализу , 3 (4): 606-616, DOI : 10,1137 / 0503060 , ISSN 0036 -1410 , Руководство по ремонту 0315173

[7] Хермандер Lars (1995). «Симплектическая классификация квадратичных форм и общие формулы Мелера». Mathematische Zeitschrift . 219 : 413–449. DOI : 10.1007 / BF02572374 .

[8] Винер , N (1929), "Эрмитовы многочлены и анализ Фурье", журнал математики и физики 8 : 70–73.

[9] Кондон, ЕС (1937). «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Тр. Natl. Акад. Sci. USA 23 , 158–164. онлайн

[1]