Устойчивое равновесие по Мертенсу

Стабильность по Мертенсу - это концепция решения, используемая для прогнозирования исхода некооперативной игры. Предварительное определение устойчивости было предложено Илоном Кольбергом и Жан-Франсуа Мертенсом ^[1] для игр с конечным числом игроков и стратегий. Позже Мертенс ^[2] предложил более сильное определение, которое было развито Шрихари Говинданом и Мертенсом. ^[3] Эта концепция решения теперь называется стабильностью Мертенса или просто стабильностью.

Подобно другим уточнениям равновесия по Нэшу ^[4], используемым в теории игр, стабильность выбирает подмножества множества равновесий по Нэшу, которые имеют желаемые свойства. Стабильность требует более строгих критериев, чем другие уточнения, и тем самым обеспечивает выполнение более желаемых свойств.

Желаемые свойства уточнения [ править ]

Уточнения часто мотивировались аргументами в пользу допустимости, обратной индукции и прямой индукции. В игре для двух игроков допустимое правило принятия решения для игрока - это такое правило , которое не использует какую-либо стратегию, в которой другой слабо доминирует (см. Стратегическое доминирование ). Обратная индукция утверждает, что оптимальное действие игрока в любом случае предполагает, что его и другие действия будут оптимальными. Уточнение, называемое идеальным равновесием в подиграх, реализует слабую версию обратной индукции, а все более сильными версиями являются последовательное равновесие , идеальное равновесие , квази-совершенное равновесие и собственное равновесие.. Прямая индукция утверждает, что оптимальное действие игрока в любом случае предполагает оптимальность прошлых действий других, если это согласуется с его наблюдениями. Прямая индукция ^[5] удовлетворяется последовательным равновесием, при котором вера игрока в набор информации приписывает вероятность только оптимальным стратегиям других, которые позволяют достичь этой информации.

Кольберг и Мертенс далее подчеркнули, что концепция решения должна удовлетворять принципу инвариантности , не зависящему от того, какое из многих эквивалентных представлений стратегической ситуации в виде игры в развернутой форме используется. Таким образом, он должен зависеть только от сокращенной игры в нормальной форме, полученной после исключения чистых стратегий, которые являются избыточными, потому что их выигрыши для всех игроков могут быть воспроизведены смесью других чистых стратегий. Мертенс ^{[6] [7]} также подчеркивал важность малых миров. принцип, согласно которому концепция решения должна зависеть только от порядковых свойств предпочтений игроков и не должна зависеть от того, есть ли в игре посторонние игроки, действия которых не влияют на возможные стратегии и выплаты исходных игроков.

Колберг и Мертенс продемонстрировали на примерах, что не все эти свойства могут быть получены из концепции решения, которая выбирает одно равновесие по Нэшу. Поэтому они предложили, чтобы концепция решения выбирала замкнутые связные подмножества множества равновесий по Нэшу. ^[8]

Свойства конюшен [ править ]

• Допустимость и совершенство: каждое равновесие в стабильном множестве является совершенным и, следовательно, допустимым.
• Обратная индукция и прямая индукция: стабильный набор включает в себя собственное равновесие нормальной формы игры, которое индуцирует квази-совершенное и, следовательно, последовательное равновесие в каждой игре расширенной формы с идеальным воспроизведением, имеющей такую ​​же нормальную форму. Подмножество стабильного набора выживает итеративное исключение слабо доминируемых стратегий и стратегий, которые являются неполноценными ответами при каждом равновесии в наборе.
• Инвариантность и малые миры: стабильные множества игры - это проекции стабильных множеств любой более крупной игры, в которую она встроена, с сохранением возможных стратегий и выигрышей исходных игроков. ^[9]
• Разложение и разделение игроков. Стабильные множества продукта двух независимых игр являются продуктами их стабильных множеств. На стабильные наборы не влияет разделение игрока на агентов, так что ни один путь по дереву игры не включает действия двух агентов.

Для игр для двух игроков с идеальным воспроизведением и общими выигрышами стабильность эквивалентна только трем из этих свойств: стабильное множество использует только недоминируемые стратегии, включает квази-совершенное равновесие и невосприимчиво к встраиванию в более крупную игру. ^[10]

Определение стабильного набора [ править ]

Стабильное множество математически определяется существенностью отображения проекции из замкнутой связной окрестности в графе состояний равновесия Нэша над пространством возмущенных игр, полученных путем возмущения стратегий игроков в сторону полностью смешанных стратегий. Это определение требует большего, чем любая соседняя игра, имеющая близкое равновесие. Существенность требует, кроме того, что никакая деформация проекции не отображается на границу, что гарантирует, что возмущения задачи о неподвижной точке, определяющей равновесия Нэша, имеют близкие решения. Очевидно, это необходимо для получения всех желаемых свойств, перечисленных выше.

Мертенс дал несколько формальных определений в зависимости от модуля коэффициентов, используемых для гомологии или когомологии .

Формальное определение требует некоторых обозначений. Для данной игры позвольте быть произведением симплексов смешанных стратегий игроков. Для каждого , пусть и пусть будет его топологической границей . Ибо пусть будет минимальной вероятностью любой чистой стратегии. Для любого определите нарушенную игру как игру, в которой набор стратегий каждого игрока такой же, как в , но где выигрыш из профиля стратегии является выигрышем из профиля . Скажем, что это нарушенное равновесие, если это равновесие . Пусть - график соответствия возмущенного равновесия над${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ Displaystyle 0 <\ дельта \ leq 1}$${\ Displaystyle P _ {\ delta} = \ {\, \ epsilon \ tau \ mid 0 \ leq \ epsilon \ leq \ delta, \ tau \ in \ Sigma \, \}}$${\ displaystyle \ partial P _ {\ delta}}$${\ displaystyle \ eta \ in P_ {1}}$${\ displaystyle {\ bar {\ eta}}}$${\ displaystyle \ eta \ in P_ {1}}$${\ Displaystyle G (\ eta)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ sigma = (1 - {\ bar {\ eta}}) \ tau + \ eta}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle G (\ eta)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle G (\ eta)}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$, а именно, граф - это набор таких пар , которые являются нарушенным равновесием . Для , - соответствующее равновесие . Обозначим естественным отображением проекции из в . Ибо пусть и пусть . Наконец, относится к когомологиям Чеха с целыми коэффициентами.${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle (\ eta, \ sigma) \ в P_ {1} \ times \ Sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle G (\ eta)}$${\ displaystyle (\ eta, \ sigma) \ in {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle \ тау (\ эта, \ сигма) \ экв (\ сигма - \ эта) / (1 - {\ бар {\ эта}})}$${\ Displaystyle G (\ eta)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ Displaystyle E \ substeq {\ mathcal {E}}}$${\displaystyle E_{0}=\{\,(0,\sigma )\in E\,\}}$${\displaystyle 0<\delta \leq 1}$${\displaystyle (E_{\delta },\partial E_{\delta })=p^{-1}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\cap E}$${\displaystyle {\check {H}}}$

Ниже приводится версия наиболее исчерпывающего определения Мертенса, называемого * -стабильностью.

Определение * -stable набор :есть * -stable множествоесли для некоторого замкнутого подмножестваизсимеет следующие два свойства:${\displaystyle S\subseteq \Sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle E_{0}=\{\,0\,\}\times S}$

• Связность : Для каждой окрестности из в , множество имеет связную компоненту, замыкание окрестность в .${\displaystyle V}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle V\setminus \partial E_{1}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle E}$
• Когомологическая сущность : для некоторых отлична от нуля .${\displaystyle p^{*}:{\check {H}}^{*}(P_{\delta },\partial P_{\delta })\to {\check {H}}^{*}(E_{\delta },\partial E_{\delta })}$${\displaystyle \delta >0}$

Если существенность в когомологиях или гомологиях ослабляется до гомотопии , то получается более слабое определение, которое отличается главным образом более слабой формой свойства декомпозиции. ^[11]

Ссылки [ править ]