В теории моделей , первый порядок теория называется модель полной , если каждое вложение своих моделей является элементарным вложением . Эквивалентно, каждая формула первого порядка эквивалентна универсальной формуле. Это понятие было введено Авраамом Робинсоном .
Сопутствующая модель и завершение модели [ править ]
Спутник из теории Т теория T * такие , что каждая модель Т может быть встроена в модели T * и наоборот.
Модель спутник из теории T является спутником T , который является модельно полным. Робинсон доказал, что у теории есть не более одного модельного компаньона. Не всякая теория совместима с моделями, например теория групп. Однако если это - категориальная теория , то у нее всегда есть модельный компаньон. [1] [2]
Полноты модели для теории Т представляет собой модель компаньон Т * такие , что для любой модели М из Т , теорий T * вместе с диаграммой из М является полной. Грубо говоря, это означает, что каждая модель T уникальным образом встраивается в модель T *.
Если T * является модельным компаньоном T, то следующие условия эквивалентны: [3]
- T * - модельное завершение T
- T обладает свойством слияния .
Если T также имеет универсальную аксиоматизацию, оба из вышеперечисленных также эквивалентны:
- T * имеет исключение кванторов
Примеры [ править ]
- Любая теория без кванторов является законченной моделью.
- Теория алгебраически замкнутых полей является модельным завершением теории полей. Это полная модель, но не полная.
- Модельным завершением теории отношений эквивалентности является теория отношений эквивалентности с бесконечным числом классов эквивалентности, каждый из которых содержит бесконечное количество элементов.
- Теория реальных замкнутых полей на языке упорядоченных колец является модельным завершением теории упорядоченных полей (или даже упорядоченных областей ).
- Теория реальных замкнутых полей на языке колец является модельным дополнением теории формально реальных полей , но не завершением модели.
Не примеры [ править ]
- Теория плотных линейных порядков с первым и последним элементами завершена, но модель не завершена.
- Теория групп (на языке с символами идентичности, продукта и инверсий) обладает свойством объединения, но не имеет модельного компаньона.
Достаточное условие полноты модельно-законченных теорий [ править ]
Если T является полной модельной теорией и существует модель T, которая встраивается в любую модель T , то T завершена. [4]
Заметки [ править ]
- ^ D. Saracino. Модель компаньоны для ℵ 0 - категоричные теории . Труды Американского математического общества Vol. 39, № 3 (август 1973 г.), стр. 591–598
- ^ Х. Симмонс. Большие и малые экзистенциально замкнутые структуры . J. Symb. Бревно. 41 (2): 379–390 (1976).
- ^ Чанг, CC; Кейслер, Х. Джером (2012). Теория моделей (Третье издание). Dover Publications. С. 672 стр.
- ^ Дэвид Маркер (2002). Теория моделей: Введение . Springer-Verlag New York.
Ссылки [ править ]
- Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973], Теория моделей , Исследования в области логики и основ математики (3-е изд.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Хиршфельд, Иорам; Уилер, Уильям Х. (1975), "Модель-доработки и модель-спутники", Принудительный, Арифметика, Дивизион Кольцо , Lecture Notes в области математики, 454 , Springer, С. 44-54,. DOI : 10.1007 / BFb0064085 , ISBN 978-3-540-07157-0, Руководство по ремонту 0389581
