В математике , А модульные инвариантный из группы является инвариантом конечной группы , действующей на векторном пространстве положительной характеристики (обычно деление порядка группы). Изучение модульных инвариантов было начато примерно в 1914 году Диксоном (2004) .
Инвариант Диксона
Когда G - конечная общая линейная группа GL n ( F q ) над конечным полем F q порядка степени простого q, действующая на кольцо F q [ X 1 , ..., X n ] естественным образом, Диксон ( 1911) нашел полный набор инвариантов следующим образом. Запись [ е 1 , ..., е п ] для определителя на матрицу , элементы которой являются Xq e j
i, где e 1 , ..., e n - целые неотрицательные числа . Например, определитель Мура [0,1,2] порядка 3 равен
Тогда под действием элемента g из GL n ( F q ) все эти определители умножаются на det ( g ), поэтому все они являются инвариантами SL n ( F q ) и отношений [ e 1 , ..., e n ] / [0, 1, ..., n - 1] - инварианты GL n ( F q ), называемые инвариантами Диксона . Диксон доказал, что полное кольцо инвариантов F q [ X 1 , ..., X n ] GL n ( F q ) является алгеброй полиномов над n инвариантами Диксона [0, 1, ..., i - 1, i + 1, ..., n ] / [0, 1, ..., n - 1] для i = 0, 1, ..., n - 1. Стейнберг (1987) дал более короткое доказательство теоремы Диксона.
Матрицы [ e 1 , ..., e n ] делятся на все ненулевые линейные формы от переменных X i с коэффициентами в конечном поле F q . В частности, определитель Мура [0, 1, ..., n - 1] является произведением таких линейных форм, взятых по 1 + q + q 2 + ... + q n - 1 представителям ( n - 1) -мерное проективное пространство над полем. Эта факторизация аналогична факторизации определителя Вандермонда на линейные множители.
Смотрите также
Рекомендации
- Dickson, Леонард Евгений (1911), «Фундаментальная система Инварианты General Modular линейной группы с решением вида задачи», Труды Американского математического общества , 12 (1): 75-98, DOI : 10,2307 / 1988736 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988736
- Диксон, Леонард Юджин (2004) [1914], Об инвариантах и теории чисел , Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43828-3, MR 0201389
- Резерфорд, Дэниел Эдвин (2007) [1932], Модульные инварианты , Кембриджские трактаты по математике и математической физике, № 27, Ramsay Press, ISBN 978-1-4067-3850-6, MR 0186665
- Sanderson, Милдред (1913), "Формальные Модульные Инварианты с приложением к Binary Modular коварианты", Труды Американского математического общества , 14 (4): 489-500, DOI : 10,2307 / 1988702 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988702
- Стейнберг, Роберт (1987), "О теореме Диксона об инвариантах" (PDF) , журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 34 (3): 699-707, ISSN 0040-8980 , MR 0927606 , архивируются с оригинала (PDF) на 2012-03-05 , извлекаются 2010-12-02