Теорема момент-площадь

Теорема момент-площадь - это инженерный инструмент для вычисления наклона, поворота и отклонения балок и рам. Эта теорема была разработана Мором и позже сформулирована Чарльзом Эзрой Грин в 1873 году. Этот метод полезен при решении задач, связанных с балками, особенно для тех, которые подвергаются серии сосредоточенных нагрузок или имеют сегменты с разными моментами инерции .

Теорема 1 [ править ]

Изменение наклона между любыми двумя точками на упругой кривой равно площади диаграммы M / EI (момент) между этими двумя точками.

${\ displaystyle \ theta _ {A / B} = {\ int _ {A}} ^ {B} \ left ({\ frac {M} {EI}} \ right) dx}$где,

• ${\ displaystyle M}$ = момент
• ${\ displaystyle EI}$ = жесткость на изгиб
• ${\ displaystyle \ theta _ {A / B}}$ = изменение наклона между точками A и B
• ${\ displaystyle A, B}$= точки на упругой кривой ^[1]

Теорема 2 [ править ]

Вертикальное отклонение точки A на упругой кривой относительно касательной, которая продолжается от другой точки B, равно моменту площади под диаграммой M / EI между этими двумя точками (A и B). Этот момент вычисляется относительно точки A, где необходимо определить отклонение от точки B до точки A.

${\ displaystyle t_ {A / B} = {\ int _ {A}} ^ {B} {\ frac {M} {EI}} x \; dx}$

где,

• ${\ displaystyle M}$ = момент
• ${\ displaystyle EI}$ = жесткость на изгиб
• ${\ displaystyle t_ {A / B}}$ = отклонение касательной в точке A относительно касательной в точке B
• ${\ displaystyle A, B}$= точки на упругой кривой ^[2]

Правила подписи [ править ]

Отклонение в любой точке упругой кривой положительное, если точка лежит выше касательной, отрицательное, если точка находится ниже касательной; мы измеряли его от левого касательного, если θ направлено против часовой стрелки, изменение наклона положительное, отрицательное, если θ направлено по часовой стрелке. ^[3]

Процедура анализа [ править ]

Следующая процедура предоставляет метод, который можно использовать для определения смещения и наклона в точке упругой кривой балки с использованием теоремы момент-площадь.

• Определите силы реакции конструкции и начертите диаграмму M / EI конструкции.
• Если на конструкцию действуют только сосредоточенные нагрузки, будет легко нарисовать диаграмму M / EI, в результате которой получится серия треугольных форм.
• Если есть смешанные с распределенными нагрузками и сосредоточенные, диаграмма моментов (M / EI) даст параболические кривые, кубические и т. Д.
• Затем предположите и нарисуйте форму отклонения конструкции, глядя на диаграмму M / EI.
• Найдите повороты, изменение наклона и прогиб конструкции с помощью геометрической математики.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Площадь-моментный метод. (nd)