Задний план
Отклик линейной системы с вязкозатухающей одной степенью свободы (SDOF) на изменяющееся во времени механическое возбуждение p ( t ) дается следующим обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка
где m - (эквивалентная) масса, x - амплитуда колебаний, t - время, c - коэффициент вязкого демпфирования, а k - жесткость системы или конструкции.
Если система изначально находится в положении равновесия , откуда на нее воздействует единичный импульс в момент t = 0, то есть p ( t ) в приведенном выше уравнении является дельта-функцией Дирака δ ( t ),, то, решая дифференциальное уравнение, можно получить фундаментальное решение (известное как функция отклика единичного импульса )
где называется коэффициентом демпфирования системы,- собственная угловая частота незатухающей системы (при c = 0) и- круговая частота с учетом демпфирующего эффекта (когда). Если импульс происходит при t = τ вместо t = 0, т. Е., импульсная характеристика равна
- ,
Заключение
Рассматривая произвольно изменяющееся возбуждение p ( t ) как суперпозицию серии импульсов:
тогда из линейности системы известно, что общий отклик можно также разбить на суперпозицию серии импульсных откликов:
Сдача , и заменяя суммирование интегрированием , приведенное выше уравнение строго верно
Подстановка выражения h ( t - τ ) в приведенное выше уравнение приводит к общему выражению интеграла Дюамеля
Математическое доказательство
Приведенное выше уравнение динамического равновесия SDOF в случае p ( t ) = 0 является однородным уравнением :
- , где
Решение этого уравнения:
Замена: приводит к:
Одно частное решение неоднородного уравнения: , где , может быть получен лагранжевым методом для получения частного решения неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений .
Это решение имеет вид:
Теперь подставляем:,где является примитивным из й ( т ) , вычисленных при т = г , в случае г = т этого интеграл примитивных сам по себе, дает:
Наконец, общее решение вышеупомянутого неоднородного уравнения представляется как:
с производной по времени:
- , где
Чтобы найти неизвестные константы , будут применены нулевые начальные условия:
- ⇒
- ⇒
Теперь, объединив оба начальных условия вместе, наблюдается следующая система уравнений:
Обратная подстановка констант а также в приведенное выше выражение для x ( t ) дает:
Замена а также (разница между примитивами при t = t и t = 0) с определенными интегралами (по другой переменной τ ) выявит общее решение с нулевыми начальными условиями, а именно:
Наконец, подставив , соответственно , где ξ <1 дает:
- , где и я - мнимая единица .
Подстановка этих выражений в приведенное выше общее решение с нулевыми начальными условиями и использование экспоненциальной формулы Эйлера приведет к сокращению мнимых членов и обнаружит решение Дюамеля: