В абстрактной алгебре , Моноид кольцо представляет собой кольцо построено из кольца и моноида , так же , как группа кольцо строится из кольца и группы .
Определение [ править ]
Пусть R - кольцо и G - моноид. Моноид кольцо или моноид алгебра из G над R , обозначается R [ G ] или RG , есть множество формальных сумм , где для каждого и т г = 0 для всех , кроме конечного числа г , оборудованных с коэффициентом-накрест Кроме того, и умножение в которой элементы R коммутируют с элементами G . Более формально R [ G ] - это множество функций φ: G→ R такое, что { g : φ ( g ) ≠ 0 } конечно, снабжено сложением функций и умножением, определяемым формулой
- .
Если G является группой , то R [ G ] также называется кольцом группы из G над R .
Универсальная собственность [ править ]
Для R и G существует гомоморфизм колец α: R → R [ G ], переводящий каждое r в r 1 (где 1 - единичный элемент группы G ), и гомоморфизм моноидов β: G → R [ G ] (где последнее рассматривается как моноид при умножении), переводя каждый g в 1 g (где 1 - мультипликативная единица R ). Имеем, что α ( r ) коммутирует с β ( g ) для всех rв R и г в G .
Универсальное свойство моноидного кольца утверждает, что дано кольцо S , гомоморфизм колец α ': R → S и гомоморфизм моноида β': G → S в мультипликативный моноид кольца S , такие что α '( r ) коммутирует с β '( g ) для всех r в R и g в G существует единственный гомоморфизм колец γ: R [ G ] → S, такой, что составление α и β с γ дает α' и β '.
Дополнение [ править ]
Увеличение является кольцевой гомоморфизм η : R [ G ] → R определяется
Ядро из п называется увеличение идеал . Это свободный R - модуль с базой , состоящей из 1 - г для всех г в G не равно 1.
Примеры [ править ]
С учетом кольцом R и (аддитивный) моноидом натуральных чисел N (или { х п } просматривался мультипликативно), получает кольцо R [{ х п }] =: R [ х ] из многочленов над R . Моноид N n (с добавлением) дает кольцо многочленов с n переменными: R [ N n ] =: R [ X 1 , ..., X n ].
Обобщение [ править ]
Если G - полугруппа , та же конструкция дает полугрупповое кольцо R [ G ].
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике . 211 (Rev. 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-95385-X.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Р. Гилмер. Коммутативные полугрупповые кольца . Издательство Чикагского университета, Чикаго – Лондон, 1984 г.